资源描述
2020—2021学年度茂名市普通高中高二年级教学质量监测
数学试卷
本试卷共4页，22题.全卷满分150 分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
2.已知命题，，则为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
3.已知双曲线的一条渐近线为第一象限与第三象限的角平分线，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4.已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5.冼夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这个景区均为广东茂名市的热门旅游景区，现有5名学生决定于今年暑假前往这个景区旅游，若每个景区至少有名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为（ ）
A． B． C． D．
6.某圆柱的轴截面是周长为的矩形，则该圆柱的侧面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7.记的面积为，若， ，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8.草地贪夜蛾是一种起源于美洲的繁殖能力很强的农业害虫，日增长率为，若只草地贪夜蛾经过天后，数量落在区间内，则的值可能为（参考数据：，）（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知复数满足，则（ ）
A．的虚部为 B．的共轭复数为
C． D．在复平面内对应的点位于第二象限
10.茂名市某单位在定点帮扶贫困村村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高. 村村民，，，年这年的人均年纯收入（单位：万元）与年份代号之间的一组数据如表所示：
年份
年份代号
人均年纯收入
若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则下列说法错误的是（ ）
A．人均纯收人（单位：万元）与年份代号负相关
B．
C．从2016年起，每经过年，村民人均年纯收入约增加万元
D．2023年村人均年纯收人约为万元
11.已知函数的部分图象如图所示，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
D．把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是减函数
12.已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则使不等式成立的的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，，，则向量，夹角的余弦值为 ．
14.已知等比数列的前项和为，，，则的值为 ，若，则 ．（本题第一空2分，第二空3分）
15.已知函数为定义在上的偶函数，且在区间内单调递减，在区间上单调递增，写出一个满足条件的函数 ．
16.在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.如图，已知三棱柱是一“堑堵”，，，点为的中点.则三棱锥的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在①，②，③三个条件中任选一个，补充到下面问题并解答.
已知等差数列的前项和为，， ， 若，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.在中，角，，的对边分别为，，且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，且的外接圆半径为，试判断的形状，并说明理由.
19.如图，在四棱锥中，平面，，，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20.随着智能手机的迅速普及，外卖点餐也开始成为不少人日常饮食中的一部分，但方便群众生活的同时，部分外卖派送人员诸如服务态度差、派送不及时、包装损坏等一系列问题也让市民感到不满，影响了整个行业的持续健康发展.市外卖行业协会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平，随机选取了名外卖派送人员，并针对他们的服务质量细化打分（满分分），根据他们的服务质量得分分成以下组：，，，…，，统计得出以下频率分布直方图：
（1）求这名外卖派送人员服务质量的平均得分（每组数据以区间的中点值为代表）；
（2）市外卖派送人员的服务质量得分（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数.若市恰有万名外卖派送人员，试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间的人数；
（3）为答谢外卖派送人员积极参与调查，该协会决定给所抽取的这人一定的现金补助，并准备了两种补助方案.
方案一：按每人服务质量得分进行补助，每分补助元；
方案二：以抽奖的方式进行补助，得分不低于中位数的可抽奖次，反之只能抽奖次.在每次抽奖中，若中奖，则补助元/次，若不中奖，则只补助元/次，且假定每次中奖的概率均为.
问：哪一种补助方案补助总金额更低.
参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，.
21.已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
22.已知圆与抛物线相交于，两点，且.
（1）求的标准方程；
（2）过点的动直线交于，两点，点与点关于原点对称，求证：.
高二数学参考答案及解析
一、选择题
1.
解析：，故中元素的个数为.故选.
2.
解析：先变量词，再否结论，故可知命题的否定为，.故选.
3.
解析：由题意可知双曲线的一条渐近线方程为，即，
所以的离心率.故选.
4.
解析：由已知得，故，故选.
5.
解析：不同的旅游方案种数为.故选.
6.
解析：设该圆柱的底面圆半径为，高为，则，
所以，该圆柱的侧面积，
当且仅当时取等号.故选.
7.
解析：以的中点为原点，直线为轴建立，直角坐标系，由椭圆的定义易知，点的轨迹是分别以，为左、右焦点的椭圆（不含长轴两端点），且，，则，故该椭圆的标准方程为，.当且仅当时取等号.故选.
8.
解析：由题意得，两边取对数得，
所以，且，即，对照各选项，只有符合.故选.
二、多项选择题
9.
解析：因为，
所以的虚部为，的共轭复数为，它在复平面内对应的点位于第二象限，故正确，正确，正确；，故错误.故选.
10.
解析：由回归直线的斜率为，得人均年纯收人（单位：万元）与年份代号正相关；错误；
因为，
所以，于是得，解得，正确；
由每增加，约增，可知每经过年，村民人均年纯收人约增加万元，正确；
2023年的年份代号为，故，故可估计2023年村人均年纯收人约为万元，错误.故选.
11.
解析：设点在轴上的投影为，则，，
.
，
，
，
，
，又，
，即，正确；正确；
，错误；
把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数为，当时，，故函数在时为减函数，正确，故选.
12.
解析：设 ，则.
，
，
，即函数在定义域上单调递减.
，
，
不等式等价于，即，解得.故不等式的解集为.故选.
三、填空题
13.
解析：由，得，
所以，
所以.
14.
解析：由得，
，
.
设公比为，若，则为正数，故，.
15.（答案不唯一）
解析：若，则，
所以为偶函数，当时，显然在区间内单调递减，在区间上单调递增，故的解析式可以是.
16.
解析：如图，
取的中点，的中点，连接，则，且.
所以，又，
所以平面，连接，则，且，
所以平面.
设该球的球心为，设的外心为，连接，则平面，
所以.连接，，，由是的外心得平面，
所以，可得四边形为矩形.
，
所以为等边三角形，可知，
所以，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
四、解答题
17.解：设数列的公差为.
若选①：由，，得
解得，，
所以.
因为，
所以.
则
.
若选②：由，，
得
解得，，
所以.
因为，
所以.
则若选③：因为，
所以，，
所以，解得，
则.
因为满足上式，所以.
因为，
所以
则18.解：（1）由正弦定理及，
得，
，
即，
.
，
，即.
，
.
（2）为等边三角形.
理由如下：，即，
，①
的外接圆半径为，
.
由余弦定理得，即，
，②
由①②得，
为等边三角形.
19.解：（1）在梯形中，过点作于点.
由已知可知，，，.
所以，即.①
因为平面，平面，
所以.②
由①②及，得平面.
又由平面，所以平面平面.
（2）因为，，两两垂直，所以以为原点，
以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
可得，，，，，，.
设平面的法向量为，
则，取，则，，
则.
平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为：.
20.解：（1）由题意知：
中间值
概率
所以样本平均数为.
所以这名外卖派送人员服务质量的平均得分为.
（2）由（1）可知，故，
所以，
而.
故万名外卖派送人员中服务质量得分位于区间的人数约为（人）.
（3）按方案一：所补助的总费用为（元）
按方案二：设一个人所得补助为元，则的可能取值为，，，.
由题意知，，
，
，
，
，
所以的分布列为
，
估算补助的总金额为：（元）.
，
所以选择方案二补助的总金额更低.
21.解：（1）的定义域为，.
当时，令，得；
令，得，或.
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由，得，
当时，，即对恒成立.
设，
则.
设，则.
，
，
在上单调递增，
，即，
在上单调递减，在上单调递增，
，
.
的取值范围是.
22.解：（1）由题意得圆心到弦的距离，
则由拋物线和圆的对称性可得，两点的坐标分别为，
代入的方程可得，解得，
所以的方程为.
（2）法一：当直线垂直于轴时，不适合题意；
当直线不垂直于轴时，
设直线方程为，，.
联立方程，可得，
，，
要证明，
只需要证，
，
.
法二：当直线垂直于轴时，不适合题意；
当直线不垂直于轴时，设直线方程为，，.
要证明，只需要证点关于轴的对称点在直
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