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2020-2021学年甘肃省武威八中高二(下)期末
数学试卷(文科)
一、单选题(共12小题,每小题5分,共60分).
1.设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},则M∩N=( )
A.{7,9} B.{5,7,9} C.{3,5,7,9} D.{1,3,5,7,9}
2.已知z=2﹣i,则z(+i)=( )
A.6﹣2i B.4﹣2i C.6+2i D.4+2i
3.下列函数中是增函数的为( )
A.f(x)=﹣x B.f(x)=()x C.f(x)=x2 D.f(x)=
4.曲线y=2x2在点(﹣1,2)处的切线方程为( )
A.4x+y+2=0 B.2x﹣y+3=0 C.2x﹣y+1=0 D.x+4y+2=0
5.已知函数f(x)=,若f(a)=2,则a=( )
A.2 B.1 C.2或﹣1 D.1或﹣1
6.已知函数f(x)=2x3,若f(x)在[a﹣2,a+2]上是奇函数,则a的值是( )
A.1 B.﹣1 C.0 D.﹣2
7.设a=21.2,b=30.3,c=40.5,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.b<c<a
8.若函数y=f(x)的定义域是[1,2],则y=f(log2x)的定义域是( )
A. B. C.[4,16] D.[2,4]
9.已知命题p:∃x∈R,sinx<1;命题q:∀x∈R,e|x|≥1,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬(p∨q)
10.函数y=xlnx的图象大致是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数f(x)=,若方程f(x)=k有且仅有两个不等实根,则实数k的取值范围是( )
A.k≥1 B.1≤k<3 C.0<k<1 D.k≤3
12.若函数在区间(﹣1,1)上有两个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A. B. C.(2,+∞) D.(0,2)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填在答题卡上)
13.函数的单调递减区间为 .
14.已知点(4,2)在幂函数y=f(x)的图象上,则不等式f(x)≥2的解集为 .
15.已知函数f(x)=x3(a•2x﹣2﹣x)是偶函数,则a= .
16.函数f(x)=|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为 .
三、解答题(本大题共70分,解答应写出必要分文字说明、演算步骤或证明过程,请把答案填在答题卡上)
17.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了4次试验,得到数据如下:
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(Ⅰ)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;
(Ⅱ)求y关于x的线性回归方程=x+;
(Ⅲ)试预测加工10个零件需要的时间.
参考公式:.
18.已知对数函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(2,1).
(1)求f(x)的解析式;
(2)已知f(x﹣1)>f(8﹣2x),求x的取值范围.
19.已知f(x)=2x3﹣mx2﹣12x+6的一个极值点为2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间[﹣2,2]上的最值.
20.已知函数f(x)=xlnx+ax+b(a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线为3x﹣y﹣2=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若存在实数m,使得m2﹣m﹣1<在x时成立,求m的取值范围.
21.已知函数f(x)=x3﹣x2+ax+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.
22.在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(2,1),半径为1.
(1)写出⊙C的一个参数方程;
(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.
参考答案
一、单选题(共12小题,每小题5分,共60分).
1.设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},则M∩N=( )
A.{7,9} B.{5,7,9} C.{3,5,7,9} D.{1,3,5,7,9}
解:因为N={x|2x>7}={x|x>},M={1,3,5,7,9},
所以M∩N={5,7,9}.
故选:B.
2.已知z=2﹣i,则z(+i)=( )
A.6﹣2i B.4﹣2i C.6+2i D.4+2i
解:∵z=2﹣i,
∴z(+i)=(2﹣i)(2+i+i)=(2﹣i)(2+2i)=4+4i﹣2i﹣2i2=6+2i.
故选:C.
3.下列函数中是增函数的为( )
A.f(x)=﹣x B.f(x)=()x C.f(x)=x2 D.f(x)=
解:由一次函数性质可知f(x)=﹣x在R上是减函数,不符合题意;
由指数函数性质可知f(x)=()x在R上是减函数,不符合题意;
由二次函数的性质可知f(x)=x2在R上不单调,不符合题意;
根据幂函数性质可知f(x)=在R上单调递增,符合题意.
故选:D.
4.曲线y=2x2在点(﹣1,2)处的切线方程为( )
A.4x+y+2=0 B.2x﹣y+3=0 C.2x﹣y+1=0 D.x+4y+2=0
解:由y=2x2,得y′=4x,
∴y′|x=﹣1=﹣4,
则曲线y=2x2在点(﹣1,2)处的切线方程为y﹣2=﹣4(x+1),
即4x+y+2=0.
故选:A.
5.已知函数f(x)=,若f(a)=2,则a=( )
A.2 B.1 C.2或﹣1 D.1或﹣1
解:当a>0时,f(a)=2a﹣2=2,解得a=2;
当a≤0时,f(a)=a2+1=2,解得a=﹣1;
综上,a=2或a=﹣1;
故选:C.
6.已知函数f(x)=2x3,若f(x)在[a﹣2,a+2]上是奇函数,则a的值是( )
A.1 B.﹣1 C.0 D.﹣2
解:根据题意,若f(x)在[a﹣2,a+2]上是奇函数,
则有(a﹣2)+(a+2)=2a=0,则a=0,
故选:C.
7.设a=21.2,b=30.3,c=40.5,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.b<c<a
解:∵a=21.2>21=2,∴a>2,
∵30<b=30.3<30.5,∴1<b<,
∵c=40.5=2,∴a>c>b,
故选:D.
8.若函数y=f(x)的定义域是[1,2],则y=f(log2x)的定义域是( )
A. B. C.[4,16] D.[2,4]
解:∵y=f(x)的定义域是[1,2],
∴函数y=f(log2x)需满足1≤log2x≤2,解得2≤x≤4,
∴函数y=f(log2x)的定义域是:[2,4].
故选:D.
9.已知命题p:∃x∈R,sinx<1;命题q:∀x∈R,e|x|≥1,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬(p∨q)
解:对于命题p:∃x∈R,sinx<1,
当x=0时,sinx=0<1,故命题p为真命题,¬p为假命题;
对于命题q:∀x∈R,e|x|≥1,
因为|x|≥0,又函数y=ex为单调递增函数,故e|x|≥e0=1,
故命题q为真命题,¬q为假命题,
所以p∧q为真命题,¬p∧q为假命题,p∧¬q为假命题,¬(p∨q)为假命题,
故选:A.
10.函数y=xlnx的图象大致是( )
A. B.
C. D.
解:当x→0+时,lnx→﹣∞,∴xlnx<0,排除A、B选项,
当x→+∞时,xlnx→+∞,排除C选项,
故选:D.
11.已知函数f(x)=,若方程f(x)=k有且仅有两个不等实根,则实数k的取值范围是( )
A.k≥1 B.1≤k<3 C.0<k<1 D.k≤3
解:由题意作出函数f(x)的图象,如图,
因为方程f(x)=k有且仅有两个不等实根,
所以函数y=k与函数y=f(x)的图象有且仅有两个交点,
由函数y=f(x)和y=k的图象可得,k≥1.
故选:A.
12.若函数在区间(﹣1,1)上有两个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A. B. C.(2,+∞) D.(0,2)
解:因为函数在区间(﹣1,1)上有两个不同的零点,
所以,
解得0<a<,
故选:B.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填在答题卡上)
13.函数的单调递减区间为 (﹣∞,0) .
解:由函数可知图像为开口向上的抛物线,对称轴为y轴,
所以函数的单调递减区间为(﹣∞,0),
故答案为:(﹣∞,0)
14.已知点(4,2)在幂函数y=f(x)的图象上,则不等式f(x)≥2的解集为 [4,+∞) .
解:设幂函数的解析式为f(x)=xα,
由幂函数f(x)的图象过点(4,2),得2=4α,
解得:α=,
所以f(x)=;
所以f(x)的定义域为[0,+∞),且单调递增;
故f(x)≥2,即≥2,解得:x≥4,
故不等式的解集是[4,+∞),
故答案为:[4,+∞).
15.已知函数f(x)=x3(a•2x﹣2﹣x)是偶函数,则a= 1 .
解:函数f(x)=x3(a•2x﹣2﹣x)是偶函数,
y=x3为R上的奇函数,
故y=a•2x﹣2﹣x也为R上的奇函数,
所以y|x=0=a•20﹣20=a﹣1=0,
所以a=1.
法二:因为函数f(x)=x3(a•2x﹣2﹣x)是偶函数,
所以f(﹣x)=f(x),
即﹣x3(a•2﹣x﹣2x)=x3(a•2x﹣2﹣x),
即x3(a•2x﹣2﹣x)+x3(a•2﹣x﹣2x)=0,
即(a﹣1)(2x﹣2﹣x)x3=0,
所以a=1.
故答案为:1.
16.函数f(x)=|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为 1 .
解:函数f(x)=|2x﹣1|﹣2lnx的定义域为(0,+∞).
当0<x时,f(x)=|2x﹣1|﹣2lnx=﹣2x+1﹣2lnx,
此时函数f(x)在(0,]上为减函数,
所以f(x)≥f()=﹣2×+1﹣2ln=2ln2;
当x>时,f(x)=|2x﹣1|﹣2lnx=2x﹣1﹣2lnx,
则f′(x)==,
当x∈(,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
∴当x=1时f(x)取得最小值为f(1)=2×1﹣1﹣2ln1=1.
∵2ln2=ln4>lne=1,
∴函数f(x)=|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为1.
故答案为:1.
三、解答题(本大题共70分,解答应写出必要分文字说明、演算步骤或证明过程,请把答案填在答题卡上)
17.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了4次试验,得到数据如下:
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(Ⅰ)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;
(Ⅱ)求y关于x的线性回归方程=x+;
(Ⅲ)试预测加工10个零件需要的时间.
参考公式:.
解:(Ⅰ)散点图如图所示:
(Ⅱ)由题中表格数据得=3.5,=3.5,
,
=5.
∴=0.7,=1.05,
∴线性回归方程为=0.7x+1.05
(Ⅲ)当x=10时,=0.7x+1.05=8.05,
所以预测加工10个零件需要8.05小时.
18.已知对数函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(2,1).
(1)求f(x)的解析式;
(2)已知f(x﹣1)>f(8﹣2
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