广东省茂名市2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析

2020-2021学年广东省茂名市高二（下）期末 数学试卷 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合，1，2，3，，，则中元素的个数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（5分）已知命题，，则为　　 A．， B．， C．， D．， 3．（5分）已知双曲线的一条渐近线为第一象限与第三象限的角平分线，则的离心率为　　 A． B． C．2 D．3 4．（5分）已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为　　 A． B． C． D．3 5．（5分）冼夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区．现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游，若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为　　 A．120 B．180 C．240 D．360 6．（5分）某圆柱的轴截面是周长为4的矩形，则该圆柱的侧面积的最大值是　　 A． B． C． D． 7．（5分）记的面积为，若，，则的最大值为　　 A．4 B．6 C．12 D．24 8．（5分）草地贪夜蛾是一种起源于美洲的繁殖能力很强的农业害虫，日增长率为，若100只草地贪夜蛾经过天后，数量落在区间，内，则的值可能为　　（参考数据：， A．80 B．120 C．150 D．200 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（5分）已知复数满足，则　　 A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 10．（5分）茂名市某单位在定点帮扶贫困村村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高．村村民2016，2017，2019，2020年这4年的人均年纯收入（单位：万元）与年份代号之间的一组数据如表所示： 年份 2016 2017 2019 2020 年份代号 4 5 7 8 人均年纯收入 2.1 5.9 若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则下列说法错误的是　　 A．人均纯收入（单位：万元）与年份代号负相关 B． C．从2016年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元 D．2023年村人均年纯收入约为11万元 11．（5分）已知函数，的部分图象如图所示，，则下列结论正确的是　　 A． B． C．把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 D．把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是减函数 12．（5分）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的的值不可能为　　 A． B． C．1 D．2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）已知向量，，，则向量，夹角的余弦值为 　　． 14．（5分）已知等比数列的前项和为，，，则的值为 　　，若，则　　． 15．（5分）已知函数为定义在上的偶函数，且在区间内单调递减，在区间上单调递增，写出一个满足条件的函数　　． 16．（5分）16、在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．如图，已知三棱柱是一“堑堵”， ，，点为的中点．则三棱锥的外接球的表面积为 　　． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在①，②，③三个条件中任选一个，补充到下面问题并解答． 已知等差数列的前项和为，，_____，若，求数列的前项和． 18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，且的外接圆半径为，试判断的形状，并说明理由． 19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 20．（12分）随着智能手机的迅速普及，外卖点餐也开始成为不少人日常饮食中的一部分，但方便群众生活的同时，部分外卖派送人员诸如服务态度差、派送不及时、包装损坏等一系列问题也让市民感到不满，影响了整个行业的持续健康发展．市外卖行业协会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平，随机选取了200名外卖派送人员，并针对他们的服务质量细化打分，根据他们的服务质量得分分成以下6组：，，，，，，，，，统计得出以下频率分布直方图： （1）求这200名外卖派送人员服务质量的平均得分（每组数据以区间的中点值为代表）； （2）市外卖派送人员的服务质量得分（单位：分）近似地服从正态分布，，其中近似为样本平均数．若市恰有2万名外卖派送人员，试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间，的人数； （3）为答谢外卖派送人员积极参与调查，该协会决定给所抽取的这200人一定的现金补助，并准备了两种补助方案． 方案一：按每人服务质量得分进行补助，每1分补助4元； 方案二：以抽奖的方式进行补助，得分不低于中位数的可抽奖2次，反之只能抽奖1次．在每次抽奖中，若中奖，则补助200元次，若不中奖，则只补助100元次，且假定每次中奖的概率均为． 问：哪一种补助方案补助总金额更低． 参考数据：若随机变量服从正态分布，即，则，． 21．（12分）已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 22．（12分）已知圆与抛物线相交于，两点，且． （1）求的标准方程； （2）过点的动直线交于，两点，点与点关于原点对称，求证：． 2020-2021学年广东省茂名市高二（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合，1，2，3，，，则中元素的个数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】交集及其运算 【分析】先利用一元二次不等式的解法求出集合，再利用集合交集的定义求出，由元素的定义求解即可． 【解答】解：因为集合，1，2，3，，， 所以，2，， 故中元素的个数为3． 故选：． 【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集定义的应用以及元素定义的应用，属于基础题． 2．（5分）已知命题，，则为　　 A．， B．， C．， D．， 【考点】命题的否定 【分析】根据题意，由全称命题的否定方法，先变量词，再否结论，即可得答案． 【解答】解：根据题意，命题，，是全称命题， 其否定为：，； 故选：． 【点评】本题考查命题的否定，涉及全称命题和特称命题的概念，属于基础题． 3．（5分）已知双曲线的一条渐近线为第一象限与第三象限的角平分线，则的离心率为　　 A． B． C．2 D．3 【考点】双曲线的性质 【分析】由双曲线的渐近线方程可得，再由离心率公式得答案． 【解答】解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程为，即， 双曲线的离心率． 故选：． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线离心率的求法，是基础题． 4．（5分）已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为　　 A． B． C． D．3 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【分析】根据题意，分析可得，又由三角函数的恒等变形公式分析可得答案． 【解答】解：根据题意，倾斜角为的直线与直线平行， 则， 则有， 故选：． 【点评】本题考查三角函数的恒等变形，涉及直线的切斜角与斜率的关系，属于基础题． 5．（5分）冼夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区．现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游，若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为　　 A．120 B．180 C．240 D．360 【考点】排列、组合及简单计数问题 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为4组，②将分好的四组全排列，安排到4个景区旅游，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①将5名学生分为4组，有种分组方法， ②将分好的四组全排列，安排到4个景区旅游，有种安排方法， 则有种安排方法； 故选：． 【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题． 6．（5分）某圆柱的轴截面是周长为4的矩形，则该圆柱的侧面积的最大值是　　 A． B． C． D． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】设该圆柱的底面圆半径为，高为，由题意得到和的关系，由侧面积公式以及基本不等式求解最值即可． 【解答】解：设该圆柱的底面圆半径为，高为， 则， 所以， 该圆柱的侧面积， 当且仅当时取等号， 所以该圆柱的侧面积的最大值是． 故选：． 【点评】本题考查了圆柱几何性质的应用，圆柱的侧面积公式的应用以及基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题． 7．（5分）记的面积为，若，，则的最大值为　　 A．4 B．6 C．12 D．24 【考点】正弦定理；椭圆的性质 【分析】以的中点为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示直角坐标系，结合椭圆的定义和三角形的面积公式，即可求解． 【解答】解：以的中点为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示直角坐标系， 由椭圆的定义易知，点的轨迹是分别以，为左、右焦点的椭圆（不含长轴两端点），且，， 则，故该椭圆的标准方程为， 则三角形面积，当且仅当时取等号． 故选：． 【点评】本题主要考查了椭圆的定义和三角形的面积公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 8．（5分）草地贪夜蛾是一种起源于美洲的繁殖能力很强的农业害虫，日增长率为，若100只草地贪夜蛾经过天后，数量落在区间，内，则的值可能为　　（参考数据：， A．80 B．120 C．150 D．200 【考点】根据实际问题选择函数类型 【分析】由题意可得，两边取对数得，再结合，，即可求解． 【解答】解：由题意可得，两边取对数得， ，且，即，对照各选项，只有符合． 故选：． 【点评】本题考查了对数函数的实际应用，需要学生熟练掌握对数函数的公式，属于基础题． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（5分）已知复数满足，则　　 A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义 【分析】先利用复数的除法运算求出的代数形式，然后由虚部的定义、共轭复数的定义、复数的几何意义以及复数的乘法运算对四个选项逐一判断即可； 【解答】解：因为， 所以的虚部为，的共轭复数为，它在复平面内对应的点位于第二象限， 故正确，正确，正确； ，故错误． 故选：． 【点评】本题考查了复数的综合应用，涉及了复数的乘法和除法运算，虚部的定义、共轭复数的定义、复数的几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题． 10．（5分）茂名市某单位在定点帮扶贫困村村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高．村村民2016，2017，2019，2020年这4年的人均年纯收入（单位：万元）与年份代号之间的一组数据如表所示： 年份 2016 2017 2019 2020 年份代号 4 5 7 8 人均年纯收入 2.1 5.9 若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则下列说法错误的是　　 A．人均纯收入（单位：万元）与年份代号负相关 B． C．从2016年起，每经过1年，村民人均年