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2020-2021学年山东省日照市校际高二（下）期末
数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
2．已知函数f（x）＝x3﹣2x+2，在下列区间中，一定包含f（x）零点的区间是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
3．已知a，b∈R，则“ab＝0”是“a2+b2＝0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．若a，b都是正数，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．函数y＝f（x）的图像如图所示，则f（x）的解析式可以为（ ）
A．y＝﹣ex B．y＝﹣x5 C．y＝﹣x4 D．y＝﹣lnx
6．对于一个给定的数列，从第二项开始，每一项减去前一项得出第二个数列，又将第二个数列从第二项开始，每一项减去前一项得出第三个数列，这样一直做下去，假如减了P（P≥2，P∈N）次之后，得到了一个非零常数列，那么我们就称第一个数列为P阶等差数列，即为高阶等差数列．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》和《算法通变本末》中研究了高阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（ ）
A．99 B．131 C．139 D．141
7．已知函数f（x）＝则不等式f（x+1）＜1的解集为（ ）
A．（1，7） B．（0，7） C．（1，8） D．（﹣∞，7）
8．已知函数f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）（其中x1＜x2＜x3），g（x）＝ex﹣e﹣x，且函数f（x）的两个极值点为α，β（α＜β）．设λ＝，μ＝，则（ ）
A．g（α）＜g（λ）＜g（β）＜g（μ） B．g（λ）＜g（α）＜g（β）＜g（μ）
C．g（λ）＜g（α）＜g（μ）＜g（β） D．g（α）＜g（λ）＜g（μ）＜g（β）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．A∩（B∪C） B．A∪（B∩C）
C．A∩∁U（B∩C） D．（A∩B）∪（A∩C）
10．已知函数f（x）＝，则（ ）
A．f（x）为奇函数 B．f（x）为减函数
C．f（x）有且只有一个零点 D．f（x）的值域为（﹣1，1）
11．函数f（x）＝x+cosx（x＞0）的所有极值点从小到大排列成数列{an}，设Sn是{an}的前n项和，则（ ）
A．数列{an}为等差数列
B．a4＝
C．a3为函数f（x）的极小值点
D．sinS2021＝
12．记＜x＞表示与实数x最接近的整数，数列{an}通项公式为an＝（n∈N*），其前n项和为Sn，设k＝＜＞，则（ ）
A．＝k﹣ B．＜k+ C．n≥k2﹣k+1 D．＜S2021＞＝89
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等比数列{an}满足log2（a1a2a3a4a5）＝5，等差数列{bn}满足b3＝a3，则b1+b2+b3+b4+b5＝ ．
14．已知奇函数f（x）＝，则f（﹣1）+g（2）＝ ．
15．函数f （x）＝（x﹣2）ex﹣x2+ax（a∈R）在R上为增函数，则实数a的值为 ．
16．对于函数y＝f（x），若存在x0，使f（﹣x0）＝﹣f（x0），则点（x0，f（x0））与点（﹣x0，f（﹣x0））均称为函数f（x）的“准奇点”．已知函数f（x）＝，若函数f （x）存在5个“准奇点”，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．设不等式x2≤5x﹣4的解集为A，关于x的不等式x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0的解集为M．
（1）求集合A；
（2）条件p：x∈M，条件q：x∈A，p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
18．数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，a1＝1，且Sn+Sn+1＝an+12．
（1）证明：数列{an}为等差数列；
（2）若数列{bn}满足bn+bn+1＝an，求数列{bn}的前2n项和T2n．
19．已知函数f（x）＝log4（4x+1）+kx是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）若函数g（x）＝log4（a•2x﹣a），函数F（x）＝f（x）﹣g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围．
20．设数列{an}是等差数列，数列{bn}是公比大于0的等比数列，已知a1＝1，b1＝3，b2＝3a3，b3＝12a2+3．
（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}满足cn＝，求数列{ancn}的前n项和Tn．
21．如图，某广场内有一半径为50米的圆形区域，圆心为O，其内接矩形ABCD的内部区域为居民的健身活动场所，已知AB＝100米，为扩大居民的健身活动场所，打算对该圆形区域内部进行改造，方案如下：过圆心O作直径MN，使得MN∥AB，在劣弧上取一点E，过点E作圆O的内接矩形EFGH，使EF∥MN，把这两个矩形所包括的内部区域均作为居民的健身活动场所，其余部分进行绿化，设∠MOE＝x．
（1）记改造后的居民健身活动场所比原来增加的用地面积为f（x）（单位：平方米），求f（x）的表达式（不需要注明x的范围）；
（2）当f（x）取最大值时，求x的值．
22．已知函数f（x）＝lnx．
（1）若y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝kx+b，求k+b的最小值；
（2）若A（a，lna），B（b，lnb）为函数y＝f（x）图像上不同的两点，直线AB与y轴相交于正半轴，求证：ab＞e2．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
解：集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，
四个选项中，只有0∈A，
故选：C．
2．已知函数f（x）＝x3﹣2x+2，在下列区间中，一定包含f（x）零点的区间是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
解：由f（x）＝x3﹣2x+2，得f′（x）＝3x2﹣2，
由f′（x）＝3x2﹣2＝0，得x＝±．
当x∈（﹣∞，）∪（，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（，）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的增区间为（﹣∞，），（，+∞），减区间为（，）．
∵f（﹣）＞0，f（）＞0，且f（﹣2）＝﹣2＜0，f（﹣1）＝3＞0，
∴一定包含f（x）零点的区间是（﹣2，﹣1），
故选：A．
3．已知a，b∈R，则“ab＝0”是“a2+b2＝0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
解：∵a2+b2＝0⇔a＝0且b＝0，
ab＝0⇔a＝0或b＝0，
∴“ab＝0”是“a2+b2＝0”的必要不充分条件．
故选：B．
4．若a，b都是正数，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
解：∵a，b都是正数，则＝5++≥5+2＝9，当且仅当b＝2a＞0时取等号．
故选：C．
5．函数y＝f（x）的图像如图所示，则f（x）的解析式可以为（ ）
A．y＝﹣ex B．y＝﹣x5 C．y＝﹣x4 D．y＝﹣lnx
解：根据题意，用排除法分析：
对于B，f（x）＝﹣x5，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝﹣（﹣x5）＝﹣f（x），f（x）为奇函数，排除B，
对于C，f（x）＝﹣x4，当f（﹣2）＝﹣，f（﹣1）＝﹣2，f（x）不会是减函数，排除C，
对于D，y＝﹣lnx，其定义域为（0，+∞），排除D，
故选：A．
6．对于一个给定的数列，从第二项开始，每一项减去前一项得出第二个数列，又将第二个数列从第二项开始，每一项减去前一项得出第三个数列，这样一直做下去，假如减了P（P≥2，P∈N）次之后，得到了一个非零常数列，那么我们就称第一个数列为P阶等差数列，即为高阶等差数列．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》和《算法通变本末》中研究了高阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（ ）
A．99 B．131 C．139 D．141
解：由题意可知：1，5，11，21，37，61，95，…的差的数列为：
4，6，10，16，24，34，…
这个数列的差组成的数列为：2，4，6，8，10，12…是等差数列，
所以前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，
则该数列的第8项为：95+34+12＝141．
故选：D．
7．已知函数f（x）＝则不等式f（x+1）＜1的解集为（ ）
A．（1，7） B．（0，7） C．（1，8） D．（﹣∞，7）
解：①当x+1≤1，即x≤0时，
∴e2﹣（x+1）＜1，即e1﹣x＜1，
∴1﹣x＜0，
∴x＞1，
又∵x≤0，
∴无解．
②当x+1＞1，即x＞0时，
∴lg（x+1+2）＜1，
∴lg（x+3）＜1，
∴0＜x+3＜10，
∴﹣3＜x＜7，
又∵x＞0，
∴0＜x＜7，
故选：B．
8．已知函数f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）（其中x1＜x2＜x3），g（x）＝ex﹣e﹣x，且函数f（x）的两个极值点为α，β（α＜β）．设λ＝，μ＝，则（ ）
A．g（α）＜g（λ）＜g（β）＜g（μ） B．g（λ）＜g（α）＜g（β）＜g（μ）
C．g（λ）＜g（α）＜g（μ）＜g（β） D．g（α）＜g（λ）＜g（μ）＜g（β）
解：由题意，f′（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2）+（x﹣x2）（x﹣x3）+（x﹣x1）（x﹣x3），
∵f′（）＝﹣＜0，f′（）＝﹣＜0，
∵f（x）在（﹣∞，α），（β，+∞）上递增，（α，β）上递减，
∴α＜λ＜μ＜β，
∵g（x）＝ex﹣e﹣x单调递增，
∴g（α）＜g（λ）＜g（μ）＜g（β）
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．A∩（B∪C） B．A∪（B∩C）
C．A∩∁U（B∩C） D．（A∩B）∪（A∩C）
解：图中阴影部分用集合符号可以表示为：
A∩（B∪C）或（A∩B）∪（A∩C）．
故选：AD．
10．已知函数f（x）＝，则（ ）
A．f（x）为奇函数 B．f（x）为减函数
C．f（x）有且只有一个零点 D．f（x）的值域为（﹣1，1）
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝，其定义域为R，有f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），f（x）为奇函数，A正确；
对于B，f（x）＝＝＝1﹣，设t＝2x+1，有t＞0且t＝2x+1在R上为增函数，而y＝1﹣在（0，+∞）为增函数，故f（x）在R上为增函数，B错误；
对于C，由B的结论，f（x）在R上为增函数，且f（0）＝0，故f（x）有且只有一个零点，C正确；
对于D，y＝，变形可得2x＝，则有＞0，解可得﹣1＜y＜1，即f（x）的值域为（﹣1，1），D正确；
故选：ACD．
11．函数f（x）＝x+cosx（x＞0）的所有极值点从小到大排列成数列{an}，设S
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