河南省南阳市2020-2021学年高二下学期期终评估（期末考试）数学（理科）Word版含解析

河南省南阳市2020-2021学年高二下学期期终质量评估 数学(理)试题 一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是（ ） A. 至多取到1个黑球 B. 至少取到1个白球 C. 取到白球个数 D. 取到的球的个数 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 某数列前10项是，按此规律推理，该数列中奇数项的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 4. 某市有10000人参加期末考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布(试卷满分150分，大于等于120分为优秀)，统计结果显示数学成绩分数位于(90，105]的人数占总人数的，则此次数学考试成绩优秀的人数约为（ ） A. 4000 B. 3000 C. 2000 D. 1000 5. 设离散型随机变量可能取值为，若的均值，则等于（ ） A. B. 0 C. D. 6. 如图，矩形ABCD四个顶点的坐标分别为，，，，正弦曲线和余弦曲线在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 二维空间中，圆的一维测度(周长)，二维测度(面积)，三维空间中，球的二维测度(表面积)，三维测度(体积)应用合情推理，若四维空间中，特级球”的三维测度，则其四维测度（ ） A. B. C. D. 8. 设随机变量，记.在研究的最大值时，某数学兴趣小组的同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，当取的整数部分，则是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的股子并实时记录点数1出现的次数.当投郑到第30次时，记录到此时点数1出现7次，若继续再进行70次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为（ ）的概率最大 A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 9. 如图是某个闭合电路一部分，每个元件的可靠性是，则从到这部分电路畅通的概率为（ ） A B. C. D. 10. 已知直线与曲线在点处相切，则下列说法正确的是（ ） A. 的极大值为 B. 的极小值为 C. 在上单调递增 D. 的极值存在，但随着的变化而变化 11. 为了发挥“名师引领”作用，加强教育资源融合，上级将六位专家型“教学名师”分配到我市第一､第二､第三中学支教，每位专家只去一个学校，且每校至少分配一人，其中不去市一中，则不同的分配方案种数为（ ） A. 160 B. 240 C. 360 D. 420 12. 已知命题不等式恒成立，命题在上存在最小值，且(其中的导数是，若或为假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 的展开式中，项的系数为__________. 14. 同学们，对于本张数学试卷的12个选择题，我们假定：某考生对选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，而对其它三个选项都没有把握，设该生选择题的总得分为分，则__________. 15. 《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，已知取出的两卦有一卦恰有一个阴线，则另一卦至少有两个阴线的概率是__________. 16. 若，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 三､解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 用数学归纳法证明：(其中是正整数). 18. 已知函数. （1）当时，求表达式的展开式中二项式系数的最大值； （2）当时，若，求. 19. 某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据： 每周移动支付次数 1次 2次 3次 4次 5次 6次及以上 总计 男 10 8 7 3 2 15 45 女 5 4 6 4 6 30 55 总计 15 12 13 7 8 45 100 （1）若把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活夭用户”，完成下列列联表，并判断：是否有的把握认为“移动支付活夭用户”与性别有关？ 非移动支付活夭用户 移动支付活夭用户 总计 男 25 45 女 40 总计 60 （2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”､视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户设抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的事件为，求. 附公式及表如下：，其中. 20. 已知函数. （1）当时，证明：； （2）若，对任意，总有，求的取值范围. 21. 已知函数. （1）若函数有两个零点，求的取值范围； （2）若，曲线在点的切线也是曲线的切线，证明. 22. 某中学组织学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子产品．该电子产品由A、B两个系统组成，其中A系统由3个电子元件组成，B系统由5个电子元件组成．各个电子元件能够正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立每个系统中有超过一半的电子元件正常工作，则该系统可以正常工作，否则就需要维修． （1）当时，每个系统维修费用均为200元．设为该电子产品需要维修的总费用，求的分布列与数学期望； （2）当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品A，B两个系统进行检测．从A，B两个系统能够正常工作概率的大小判断，应优先检测哪个系统？ 参考答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1．从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是（　　） A．至多取到1个黑球 B．至少取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到的球的个数 【分析】利用随机变量的定义直接求解． 解：从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球， 对于A，至多取到1个黑球是随机事件，不是随机变量，故A错误； 对于B，至少取到1个白球是随机事件，不是随机变量，故B错误； 对于C，取到白球的个数是随机变量，故C正确； 对于D，取到的球的个数是常量，故D错误． 故选：C． 2．复数，则在复平面内，z对应的点的坐标是（　　） A．（1，0） B．（0，1） C． D． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得z对应的点的坐标，则答案可求． 解：由＝＝＝i； 则在复平面内，z对应的点的坐标是：（0，1）． 故选：B． 3．某数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，按此规律推理，该数列中奇数项的通项公式可以是（　　） A． B． C． D． 【分析】取特殊值代入利用排除法即可求解结论． 解：因为第一项为0，故D错； 第三项为4，故AC错； 故选：B． 4．某市有10000人参加期末考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0）（试卷满分150分，大于等于120分为优秀），统计结果显示数学成绩分数位于（90，105]的人数占总人数的，则此次数学考试成绩优秀的人数约为（　　） A．4000 B．3000 C．2000 D．1000 【分析】根据已知条件，可得P（105≤X＜120）＝P（90＜X≤105）＝，即可得P（X≥120）的概率，即可求解． 解：设数学成绩为X， ∵数学成绩分数位于（90，105]的人数占总人数的， 又∵数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）， ∴P（105≤X＜120）＝P（90＜X≤105）＝， ∴P（X≥120）＝， ∴此次数学考试成绩优秀的人数约10000×． 故选：D． 5．设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，P（X＝k）＝ak+b，若X的均值E（X）＝，则a+b等于（　　） A． B．0 C． D． 【分析】根据已知条件，可得随机变量X的分布列，由分布列的性质，可推得6a+3b＝1，再结合期望的公式，可得，联立两个方程，即可求解． 解：∵离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，P（X＝k）＝ak+b， ∴随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P a+b 2a+b 3a+b 由分布列的性质，可得（a+b）+（2a+b）+（3a+b）＝1，即6a+3b＝1 ①， ∵X的均值E（X）＝， ∴，即②， 联立①②，解得， ∴． 故选：C． 6．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，﹣1），B（π，﹣1），C（π，1），D（0，1），正弦曲线f（x）＝sinx和余弦曲线g（x）＝cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用定积分计算公式，算出曲线y＝sinx与y＝cosx围成的区域包含在区域D内的图形面积为S＝2π，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率． 【解答】解根据题意，可得曲线y＝sinx与y＝cosx围成的区域， 其面积为（sinx﹣cosx）dx＝（﹣cosx﹣sinx）＝1﹣（﹣）＝1+； 又矩形ABCD的面积为2π， 由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是； 故选：B． 7．在二维空间中，圆的一维测度（周长）l＝2πr，二维测度（面积）S＝πr2；在三维空间中，球的二维测度（表面积）S＝4πr2，三维测度（体积）．应用类比推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度V＝12πr3，则其四维测度W＝（　　） A．4πr4 B．3πr4 C．2πr4 D．πr4 【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是低一维的测度，从而得到W′＝V，从而求出所求． 解：二维空间中圆的一维测度 （周长） l＝2πr，二维测度 （面积） S＝πr2；观察发现S′＝l， 三维空间中球的二维测度 （ 表面积 ）S＝4πr2，三维测度 （ 体积 ），观察发现 V′＝S， 四维空间中“特级球“的三维测度 V＝8πr3，猜想其四维测度 W，则 W′＝V＝12πr3， ∴W＝3πr4， 故选：B． 8．设随机变哩X～B（n，p），记．在研究pk的最大值时，某数学兴趣小组的同学发现：若（n+1）p为正整数，则k＝（n+1）p时，pk＝pk﹣1，此时这两项概率均为最大值；若（n+1）p为非整数，当k取（n+1）p的整数部分，则pk是唯一的最大值．以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的股子并实时记录点数1出现的次数．当投郑到第30次时，记录到此时点数1出现7次，若继续再进行70次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为（　　）的概率最大 A．16 B．17 C．18 D．19 【分析】再进行70次投掷试验中，出现点数为1的次数服从二项分布，结合条件求解． 解：由题意知，继续进行70次投掷试验，出现点数为1的次数服从二项分布X～B（70，）， 因为，由条件知当k＝11时，概率最大． 所以总共出现11+7＝18次时概率最大． 故选：C． 9．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从A到B这部分电路畅通的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式求解即可． 解：因为每个元件的可靠性是， 所以从A到B这