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2020-2021学年河南省南阳市高二(下)期末
数学试卷(文科)
一、选择题(共12小题,每题5分,共60分).
1.已知,i为虚数单位,则ω2﹣ω+1的值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.i
2.把两条直线的位置关系填入结构图中的M、N、E、F中,顺序较为恰当的是( )
①平行 ②垂直 ③相交 ④斜交.
A.①②③④ B.①④②③ C.①③②④ D.②①③④
3.在二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2;在三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积).应用类比推理,若在四维空间中,“特级球”的三维测度V=12πr3,则其四维测度W=( )
A.4πr4 B.3πr4 C.2πr4 D.πr4
4.已知某产品的销售额y(单位:万元)与广告费用x(单位:万元)之间的关系如表:
x(单位:万元)
0
1
2
3
4
y(单位:万元)
10
15
m
30
35
若根据表中的数据用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为=6.5x+9,则下列说法中错误的是( )
A.当广告费用为10万元时,销售额一定为74万元
B.该回归直线过点(2,22)
C.产品的销售额与广告费用成正相关
D.m的值是20
5.极坐标方程(ρ﹣1)(θ﹣π)=0(ρ≥0)表示的图形是( )
A.两个圆 B.两条直线
C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线
6.执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=( )
A. B. C. D.
7.若复数z满足z(1﹣i)=2i,则下列说法正确的是( )
A.z的虚部为i B.z的共轭复数为=﹣1+i
C.|z|=2 D.z对应的点在第二象限
8.在极坐标系中,两条曲线,的交点为A,B,则|AB|=( )
A.4 B. C.2 D.1
9.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+<m2﹣3m有解,则实数m的取值范围( )
A.(﹣1,4) B.(﹣∞,﹣1)∪(4,+∞)
C.(﹣4,1) D.(﹣∞,0)∪(3,+∞)
10.点P所在轨迹的极坐标方程为ρ=2cosθ,点Q所在轨迹的参数方程为在(t为参数)上,则|PQ|的最小值是( )
A.2 B. C.1 D.
11.某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3…,24这24个整数中等可能随机产生.则按程序框图正确编程运行时输出y的值为3的概率为( )
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)的导函数为f′(x),记f1(x)=f′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x)(n∈N*).若f(x)=xsinx,则f2019(x)+f2021(x)=( )
A.﹣2cosx B.﹣2sinx C.2cosx D.2sinx
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.复数,复数是z的共轭复数,则z•= .
14.已知直线的参数方程为(t为参数),则该直线被圆x2+y2=9截得的弦长为 .
15.若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1,x2,…xn,总满足),称函数f(x)为D上的凸函数;现已知f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数,则△ABC中,sinA+sinB+sinC最大值是 .
16.瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体(即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中,直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体)的顶点数V、棱数E及面数F满足等式V﹣E+F=2,这个等式称为欧拉多面体公式,被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一,现实生活中存在很多奇妙的几何体,现代足球的外观即取自一种不完全正多面体,共有32个面,是由m块白色正六边形面料和32﹣m块黑色正五边形面料构成的.则m的值为 .
三、解答题(共6小题,满分70分)
17.(1)在①,②z为纯虚数,③z为非零实数,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.
已知复数z=(m2﹣2m﹣3)+(m2﹣3m﹣4)i,(i为虚数单位为z的共轭复数,若 ______.求实数m的值;
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个条件给分)
(2)若ω=1﹣i是关于x的实系数一元二次方程:x2+ax+b=0的一个根,求a,b的值及方程的另一个根.
18.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)求证:A,B,C中至少有一个角大于或等于60°;
(2)若角A,B,C成等差数列,证明.
19.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),M为C1上的动点,P点满足,设点P的轨迹为曲线C2.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求线段AB的长度.
20.(1)已知a,b,x均为正数,且a>b,求证:;
(2)根据生活常识“淡糖水再加糖会更甜”,请给出类似第(1)小题的命题,并予以证明;
(3)证明:△ABC中,.(可直接应用第(1)(2)小题的结论)
21.遵守交通规则,人人有责.“礼让行人”是我国《道路交通安全法》的明文规定,也是全国文明城市测评中的重要内容.《道路交通安全法》第47条明确规定:“机动车行经人行横道时,应当减速行驶,遇行人正在通过人行横道,应当停车让行.机动车行经没有交通信号的道路时,遇行人横过道路,应当避让.否则扣3分罚200元”.如表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据:
月份
1
2
3
4
违章驾驶员人数
125
105
100
90
(1)请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程+a,并预测该路囗2021年5月不“礼让行人”驾驶员的大约人数(四舍五入);
(2)交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人,调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系,得到如表:
不礼让行人
礼让行人
驾龄不超过2年
10
20
驾龄2年以上
8
12
能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关?
参考公式:==.
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
K2=,其中n=a+b+c+d.
22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(1)当k=1时,求C1和C2的直角坐标方程;
(2)当k=2时,C1与C2交于A,B两点,设P的直角坐标为(0,1),求的值.
参考答案
一、选择题(共12小题,每题5分,共60分).
1.已知,i为虚数单位,则ω2﹣ω+1的值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.i
解:∵,
∴=,
则ω2﹣ω+1=.
故选:B.
2.把两条直线的位置关系填入结构图中的M、N、E、F中,顺序较为恰当的是( )
①平行 ②垂直 ③相交 ④斜交.
A.①②③④ B.①④②③ C.①③②④ D.②①③④
解:根据两条直线的位置关系,
分析四个答案中的要素之间关系,
①③均为逻辑关系,
②④是从属关系.
故选:C.
3.在二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2;在三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积).应用类比推理,若在四维空间中,“特级球”的三维测度V=12πr3,则其四维测度W=( )
A.4πr4 B.3πr4 C.2πr4 D.πr4
解:二维空间中圆的一维测度 (周长) l=2πr,二维测度 (面积) S=πr2;观察发现S′=l,
三维空间中球的二维测度 ( 表面积 )S=4πr2,三维测度 ( 体积 ),观察发现 V′=S,
四维空间中“特级球“的三维测度 V=8πr3,猜想其四维测度 W,则 W′=V=12πr3,
∴W=3πr4,
故选:B.
4.已知某产品的销售额y(单位:万元)与广告费用x(单位:万元)之间的关系如表:
x(单位:万元)
0
1
2
3
4
y(单位:万元)
10
15
m
30
35
若根据表中的数据用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为=6.5x+9,则下列说法中错误的是( )
A.当广告费用为10万元时,销售额一定为74万元
B.该回归直线过点(2,22)
C.产品的销售额与广告费用成正相关
D.m的值是20
解:因为y与x的回归直线方程为=6.5x+9,
当x=10时,=6.5×10+9=74,则74为估计值,不是确定值,故选项A错误;
由题意,,
因为回归方程必过样本中心,则,
所以该回归直线过点(2,22),故选项B正确;
因为6.5>0,则产品的销售额与广告费用成正相关,故选项C正确;
因为=22,则m=20,故选项D正确.
故选:A.
5.极坐标方程(ρ﹣1)(θ﹣π)=0(ρ≥0)表示的图形是( )
A.两个圆 B.两条直线
C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线
解:方程(ρ﹣1)(θ﹣π)=0⇒ρ=1或θ=π,
ρ=1是半径为1的圆,
θ=π是一条射线.
故选:C.
6.执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=( )
A. B. C. D.
解:由程序框图知:第一次循环M=1+=,a=2,b=,n=2;
第二次循环M=2+=,a=,b=,n=3;
第三次循环M=+=,a=,b=,n=4.
不满足条件n≤3,跳出循环体,输出M=.
故选:D.
7.若复数z满足z(1﹣i)=2i,则下列说法正确的是( )
A.z的虚部为i B.z的共轭复数为=﹣1+i
C.|z|=2 D.z对应的点在第二象限
解:由z(1﹣i)=2i,
得z==﹣1+i,
∴z的虚部为1,故A错误;
z的共轭复数为﹣1﹣i,故B错误;
|z|=,故C错误;
z对应的点的坐标为(﹣1,1),在第二象限,故D正确.
故选:D.
8.在极坐标系中,两条曲线,的交点为A,B,则|AB|=( )
A.4 B. C.2 D.1
解:∵曲线,,
∴曲线C1的直角坐标方程为x+y=1,即=0,
曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=2,
圆心C2(0,0)到直线x+y﹣=0的距离d==1,
∴|AB|=2=2=2.
故选:C.
9.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+<m2﹣3m有解,则实数m的取值范围( )
A.(﹣1,4) B.(﹣∞,﹣1)∪(4,+∞)
C.(﹣4,1) D.(﹣∞,0)∪(3,+∞)
解:∵不等式有解,
∴(x+)min<m2﹣3m,
∵x>0,y>0,且,
∴x+=(x+)()=+2=4,
当且仅当,即x=2,y=8时取“=”,
∴(x+)min=4,
故m2﹣3m>4,即(m+1)(m﹣4)>0,
解得m<﹣1或m>4,
∴实数m的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(4,+∞).
故选:B.
10.点P所在轨迹的极坐标方程为ρ=2cosθ,点Q所在轨迹的参数方程为在(t为参数)上,则|PQ|的最小值是( )
A.2 B. C.1 D.
解:点P所在轨迹的极坐标方程为ρ=2cosθ,化为直角坐标方程为:(x﹣1)2+y2=1,圆心坐标(1,0),半径为:1;点Q所在轨迹的参数方程为在(t为参数)上,
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