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2020-2021学年河南省南阳市高二（下）期末
数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）.
1．已知，i为虚数单位，则ω2﹣ω+1的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．i
2．把两条直线的位置关系填入结构图中的M、N、E、F中，顺序较为恰当的是（ ）
①平行 ②垂直 ③相交 ④斜交．
A．①②③④ B．①④②③ C．①③②④ D．②①③④
3．在二维空间中，圆的一维测度（周长）l＝2πr，二维测度（面积）S＝πr2；在三维空间中，球的二维测度（表面积）S＝4πr2，三维测度（体积）．应用类比推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度V＝12πr3，则其四维测度W＝（ ）
A．4πr4 B．3πr4 C．2πr4 D．πr4
4．已知某产品的销售额y（单位：万元）与广告费用x（单位：万元）之间的关系如表：
x（单位：万元）
0
1
2
3
4
y（单位：万元）
10
15
m
30
35
若根据表中的数据用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为＝6.5x+9，则下列说法中错误的是（ ）
A．当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元
B．该回归直线过点（2，22）
C．产品的销售额与广告费用成正相关
D．m的值是20
5．极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）＝0（ρ≥0）表示的图形是（ ）
A．两个圆 B．两条直线
C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
6．执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝（ ）
A． B． C． D．
7．若复数z满足z（1﹣i）＝2i，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为i B．z的共轭复数为＝﹣1+i
C．|z|＝2 D．z对应的点在第二象限
8．在极坐标系中，两条曲线，的交点为A，B，则|AB|＝（ ）
A．4 B． C．2 D．1
9．若两个正实数x，y满足+＝1，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围（ ）
A．（﹣1，4） B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）
C．（﹣4，1） D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
10．点P所在轨迹的极坐标方程为ρ＝2cosθ，点Q所在轨迹的参数方程为在（t为参数）上，则|PQ|的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
11．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3…，24这24个整数中等可能随机产生．则按程序框图正确编程运行时输出y的值为3的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）的导函数为f′（x），记f1（x）＝f′（x），f2（x）＝f1′（x），…，fn+1（x）＝fn′（x）（n∈N*）．若f（x）＝xsinx，则f2019（x）+f2021（x）＝（ ）
A．﹣2cosx B．﹣2sinx C．2cosx D．2sinx
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．复数，复数是z的共轭复数，则z•＝ ．
14．已知直线的参数方程为（t为参数），则该直线被圆x2+y2＝9截得的弦长为 ．
15．若定义在区间D上的函数f（x）对于D上的n个值x1，x2，…xn，总满足），称函数f（x）为D上的凸函数；现已知f（x）＝sinx在（0，π）上是凸函数，则△ABC中，sinA+sinB+sinC最大值是 ．
16．瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数V、棱数E及面数F满足等式V﹣E+F＝2，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，共有32个面，是由m块白色正六边形面料和32﹣m块黑色正五边形面料构成的．则m的值为 ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（1）在①，②z为纯虚数，③z为非零实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知复数z＝（m2﹣2m﹣3）+（m2﹣3m﹣4）i，（i为虚数单位为z的共轭复数，若 ______．求实数m的值；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）
（2）若ω＝1﹣i是关于x的实系数一元二次方程：x2+ax+b＝0的一个根，求a，b的值及方程的另一个根．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）求证：A，B，C中至少有一个角大于或等于60°；
（2）若角A，B，C成等差数列，证明．
19．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M为C1上的动点，P点满足，设点P的轨迹为曲线C2．
（1）求C1，C2的极坐标方程；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求线段AB的长度．
20．（1）已知a，b，x均为正数，且a＞b，求证：；
（2）根据生活常识“淡糖水再加糖会更甜”，请给出类似第（1）小题的命题，并予以证明；
（3）证明：△ABC中，．（可直接应用第（1）（2）小题的结论）
21．遵守交通规则，人人有责．“礼让行人”是我国《道路交通安全法》的明文规定，也是全国文明城市测评中的重要内容．《道路交通安全法》第47条明确规定：“机动车行经人行横道时，应当减速行驶，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过道路，应当避让．否则扣3分罚200元”．如表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：
月份
1
2
3
4
违章驾驶员人数
125
105
100
90
（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程+a，并预测该路囗2021年5月不“礼让行人”驾驶员的大约人数（四舍五入）；
（2）交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到如表：
不礼让行人
礼让行人
驾龄不超过2年
10
20
驾龄2年以上
8
12
能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？
参考公式：＝＝．
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
K2＝，其中n＝a+b+c+d．
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）当k＝1时，求C1和C2的直角坐标方程；
（2）当k＝2时，C1与C2交于A，B两点，设P的直角坐标为（0，1），求的值．
参考答案
一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）.
1．已知，i为虚数单位，则ω2﹣ω+1的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．i
解：∵，
∴＝，
则ω2﹣ω+1＝．
故选：B．
2．把两条直线的位置关系填入结构图中的M、N、E、F中，顺序较为恰当的是（ ）
①平行 ②垂直 ③相交 ④斜交．
A．①②③④ B．①④②③ C．①③②④ D．②①③④
解：根据两条直线的位置关系，
分析四个答案中的要素之间关系，
①③均为逻辑关系，
②④是从属关系．
故选：C．
3．在二维空间中，圆的一维测度（周长）l＝2πr，二维测度（面积）S＝πr2；在三维空间中，球的二维测度（表面积）S＝4πr2，三维测度（体积）．应用类比推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度V＝12πr3，则其四维测度W＝（ ）
A．4πr4 B．3πr4 C．2πr4 D．πr4
解：二维空间中圆的一维测度 （周长） l＝2πr，二维测度 （面积） S＝πr2；观察发现S′＝l，
三维空间中球的二维测度 （ 表面积 ）S＝4πr2，三维测度 （ 体积 ），观察发现 V′＝S，
四维空间中“特级球“的三维测度 V＝8πr3，猜想其四维测度 W，则 W′＝V＝12πr3，
∴W＝3πr4，
故选：B．
4．已知某产品的销售额y（单位：万元）与广告费用x（单位：万元）之间的关系如表：
x（单位：万元）
0
1
2
3
4
y（单位：万元）
10
15
m
30
35
若根据表中的数据用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为＝6.5x+9，则下列说法中错误的是（ ）
A．当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元
B．该回归直线过点（2，22）
C．产品的销售额与广告费用成正相关
D．m的值是20
解：因为y与x的回归直线方程为＝6.5x+9，
当x＝10时，＝6.5×10+9＝74，则74为估计值，不是确定值，故选项A错误；
由题意，，
因为回归方程必过样本中心，则，
所以该回归直线过点（2，22），故选项B正确；
因为6.5＞0，则产品的销售额与广告费用成正相关，故选项C正确；
因为＝22，则m＝20，故选项D正确．
故选：A．
5．极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）＝0（ρ≥0）表示的图形是（ ）
A．两个圆 B．两条直线
C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
解：方程（ρ﹣1）（θ﹣π）＝0⇒ρ＝1或θ＝π，
ρ＝1是半径为1的圆，
θ＝π是一条射线．
故选：C．
6．执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝（ ）
A． B． C． D．
解：由程序框图知：第一次循环M＝1+＝，a＝2，b＝，n＝2；
第二次循环M＝2+＝，a＝，b＝，n＝3；
第三次循环M＝+＝，a＝，b＝，n＝4．
不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M＝．
故选：D．
7．若复数z满足z（1﹣i）＝2i，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为i B．z的共轭复数为＝﹣1+i
C．|z|＝2 D．z对应的点在第二象限
解：由z（1﹣i）＝2i，
得z＝＝﹣1+i，
∴z的虚部为1，故A错误；
z的共轭复数为﹣1﹣i，故B错误；
|z|＝，故C错误；
z对应的点的坐标为（﹣1，1），在第二象限，故D正确．
故选：D．
8．在极坐标系中，两条曲线，的交点为A，B，则|AB|＝（ ）
A．4 B． C．2 D．1
解：∵曲线，，
∴曲线C1的直角坐标方程为x+y＝1，即＝0，
曲线C2的直角坐标方程为x2+y2＝2，
圆心C2（0，0）到直线x+y﹣＝0的距离d＝＝1，
∴|AB|＝2＝2＝2．
故选：C．
9．若两个正实数x，y满足+＝1，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围（ ）
A．（﹣1，4） B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）
C．（﹣4，1） D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
解：∵不等式有解，
∴（x+）min＜m2﹣3m，
∵x＞0，y＞0，且，
∴x+＝（x+）（）＝+2＝4，
当且仅当，即x＝2，y＝8时取“＝”，
∴（x+）min＝4，
故m2﹣3m＞4，即（m+1）（m﹣4）＞0，
解得m＜﹣1或m＞4，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．
故选：B．
10．点P所在轨迹的极坐标方程为ρ＝2cosθ，点Q所在轨迹的参数方程为在（t为参数）上，则|PQ|的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
解：点P所在轨迹的极坐标方程为ρ＝2cosθ，化为直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2＝1，圆心坐标（1，0），半径为：1；点Q所在轨迹的参数方程为在（t为参数）上，
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