【北师大版】1.4角平分线（第2课时）课件

1.4 1.4 角平分线角平分线/1.4 1.4 角平分线角平分线 （第（第2 2课时）课时）北师大版北师大版 八年级八年级 数学数学 下下册册1.4 1.4 角平分线角平分线/在在一个三角形居住区内修有一个学校一个三角形居住区内修有一个学校P，P到到AB、BC、CA三边的距离都相等三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校请在三角形居住区内标出学校P的位的位置置,P在何处？在何处？导入新知入新知ABC1.4 1.4 角平分线角平分线/1.会会证明和运用证明和运用“三角形的三角形的三条角平分线相三条角平分线相交于一点交于一点，并且这一点到三条边的，并且这一点到三条边的距离相等距离相等”.2.经历经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的学生的推理证明意识推理证明意识和和能力能力.素养目标素养目标1.4 1.4 角平分线角平分线/探究新知探究新知知识点三角形的内角平分线三角形的内角平分线画一画：画一画：（1）分分别别画画出出下下列列三三角角形形三三个个内内角角的的平平分分线线，你你发发现现了了什什么？么？发现：发现：三角形三角形的三条角平分线相交于一点的三条角平分线相交于一点.1.4 1.4 角平分线角平分线/（2）分别）分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？每组垂线段，你发现了什么？发现：发现：过过交点作三角形三边的垂线段相等交点作三角形三边的垂线段相等.你能证明这你能证明这个结论吗？个结论吗？探究新知探究新知1.4 1.4 角平分线角平分线/做一做：做一做：剪剪一一个个三三角角形形纸纸片片，通通过过折折叠叠找找出出每每个个角角的的角角平平分分线线，观观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流结论结论：三角形三角形的三条角平分线相交于一点的三条角平分线相交于一点.怎样证明这个结论呢怎样证明这个结论呢?探究新知探究新知1.4 1.4 角平分线角平分线/点拨：点拨：要证明三角形的三条角平分线要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上分线的交点一定在第三条角平分线上即可即可.思路可表示如下：思路可表示如下：试试看，试试看，你能写出你能写出证明过程吗？证明过程吗？AP是是BAC的平分线的平分线BP是是ABC的平分线的平分线PI=PHPG=PIPH=PG点点P在在BCA的平分线上的平分线上ABCPFHDEIG结论证明：结论证明：探究新知探究新知1.4 1.4 角平分线角平分线/已知：如图，在已知：如图，在ABC中，角平分线中，角平分线BM、角平分线、角平分线CN相相交于点交于点P，过点，过点P分别作分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是的垂线，垂足分别是D,E,F.求证求证：A的平分线经过点的平分线经过点P，且且PDPEPF.求证：求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点这一点到到三条三条边边的距离的距离相等相等.DEFMNCBAP探究新知探究新知1.4 1.4 角平分线角平分线/证明证明：BM是是ABC的角平分线的角平分线,点点P在在BM上上,且且PDAB，PEBC，垂足分别为，垂足分别为D，E，PD=PE(_).同理同理:PE=PF.PD=PE=PF.点点P在在A的平分线上的平分线上(_)，即即A的平分线经过点的平分线经过点P.角平分线角平分线上的点到上的点到这个角的两边的距离相等这个角的两边的距离相等在一个角的内部，到角的两边距离在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上相等的点在这个角的平分线上DEFMNCBAP探究新知探究新知1.4 1.4 角平分线角平分线/探究新知探究新知三角形三角形的的三条角平分线交于一点三条角平分线交于一点，并且，并且这点这点到到三边三边的距离的距离相等相等.三角形的内角平分线三角形的内角平分线结论结论DEFMNCBAP1.4 1.4 角平分线角平分线/在一块三角形的草坪上建一座凉亭在一块三角形的草坪上建一座凉亭,要使凉亭到草坪要使凉亭到草坪三边的距离相等三边的距离相等,凉亭的位置应选凉亭的位置应选在在()A.三角形的三条中线的交点处三角形的三条中线的交点处B.三角形的三边的垂直平分线的交点处三角形的三边的垂直平分线的交点处C.三角形的三条角平分线的交点处三角形的三条角平分线的交点处D.三角形的三条高所在直线的交点处三角形的三条高所在直线的交点处C探究新知探究新知做一做：做一做：1.4 1.4 角平分线角平分线/探究新知探究新知三角形三边的垂直平分线和三条三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的区别角平分线的区别三边垂直平分线三边垂直平分线三条角平分线三条角平分线三三角角形形锐角三角形锐角三角形交于三角形交于三角形_一点一点交于三角形交于三角形_一点一点钝角三角形钝角三角形交于三角形交于三角形_一点一点直角三角形直角三角形交于斜边的交于斜边的_交点性质交点性质到三角形到三角形_的距离相等的距离相等到三角形到三角形_的距离相等的距离相等内内外外中点中点内内三个顶点三个顶点三三边边总结：总结：1.4 1.4 角平分线角平分线/三角形的内角平分线三角形的内角平分线素素养养考考点点探究新知探究新知解：解：如如图图,在在ABC中中,已知已知AC=BC,C=90,AD是是ABC的的角平分线角平分线,DEAB,垂足为垂足为E.(1)如果如果CD=4cm,AC的长的长;例1AD是是ABC的角平分线的角平分线,DCAC，DEAB,垂足为垂足为E，DE=CD=4cm.AC=BC,B=BAC.C=90,B=45.BE=DE.在等腰直角三角形在等腰直角三角形BDE中，中，EDABC1.4 1.4 角平分线角平分线/(2)求证求证:AB=AC+CD.由由（1）的求解过程易知）的求解过程易知，RtACD RtAED(HL).AC=AE.BE=DE=CD,AB=AE+BE=AC+CD.探究新知探究新知证明证明：EDABC1.4 1.4 角平分线角平分线/如图，在直角如图，在直角ABC中，中，AC=BC,C90，AP平平分分BAC，BD平分平分ABC;AP,BD交于点交于点O，过点，过点O作作OMAC,若若OM4,(1)求点求点O到到ABC三边的距离和三边的距离和.解：解：点点O到到ABC三三边的距离边的距离和为和为12.巩固练习巩固练习变式训练变式训练MENABCPOD1.4 1.4 角平分线角平分线/(2)若若ABC的周长为的周长为32，求，求ABC的面积的面积.连接连接OC，探究新知探究新知解：解：MENABCPOD1.4 1.4 角平分线角平分线/探究新知探究新知如如图图,在在ABC中中,ACB=90,AO,CO分别平分分别平分BAC和和ACB,ODAC于于D.若若AB=10,BC=8,试求线段试求线段OD的长的长度度.例例2解：解：连接连接OB,过过O作作OEAB于于E,OFBC于于F,AO平分平分BAC,CO平分平分ACB,OEAB,OFBC,ODAC,OE=OD=OF,设设OE=OF=OD=R,在在ABC中中,ACB=90,AB=10,BC=8,由由勾股定理得勾股定理得:AC=6,1.4 1.4 角平分线角平分线/探究新知探究新知SABC=SABO+SACO+SBCO,ACBC=ABOE+ACOD+BCOF，68=10R+6R+8R,解得解得:R=2,OD的长为的长为2.1.4 1.4 角平分线角平分线/方法方法总结总结探究新知探究新知1.三角形三个内角平分线的交点与三角形三个顶点的连线把三角形三个内角平分线的交点与三角形三个顶点的连线把原三角形分割成了原三角形分割成了三个小三角形三个小三角形,利用三个小三角形面积之和利用三个小三角形面积之和等于原三角形的面积等于原三角形的面积,即等积法即可求出交点到三边的距离即等积法即可求出交点到三边的距离.2.已知角平分线上的点已知角平分线上的点,要利用要利用角平分线性质定理角平分线性质定理寻找线段相寻找线段相等关系等关系,有时可结合有时可结合全等三角形全等三角形、直角三角形直角三角形来求解来求解.1.4 1.4 角平分线角平分线/如如图所图所示，在示，在ABC中，中，B90，AB7，BC24，AC25.（1）ABC内是否存在一点到各边的距离相等？如果存在，请作内是否存在一点到各边的距离相等？如果存在，请作出这一点，并说明理由出这一点，并说明理由；巩固练习巩固练习变式训练变式训练解：解：如如图，图，作作BAC、ACB的平分线，它们的交点的平分线，它们的交点P即即为符合要求的点为符合要求的点.作作PEAB，PFBC，PGAC，垂足垂足分别为分别为E、F、G.AP是是BAC的平分线的平分线，PEPG.CP是是ACB的平分线的平分线，PFPG.PEPFPG；1.4 1.4 角平分线角平分线/（2）求这点到各边的距离）求这点到各边的距离.巩固练习巩固练习 解：解：连接连接BP.设设PEPFPGx.SABCSAPBSBPCSAPC，0.5ABBC0.5ABx0.5BCx0.5ACx.724（72425）x.解得解得x3.即这点到各边的距离为即这点到各边的距离为3.1.4 1.4 角平分线角平分线/连接中考连接中考（2020怀化）在怀化）在RtABC中，中，B=90，AD平分平分BAC，交，交BC于点于点D，DEAC，垂足为点，垂足为点E，若，若BD=3，则，则DE的长为（的长为（）AA.3B.1.5C.2D.61.4 1.4 角平分线角平分线/1.ABC是一个任意三角形是一个任意三角形,用直尺和圆规作出用直尺和圆规作出A,B的的平分线相交于点平分线相交于点O,那么下列说法不正确的那么下列说法不正确的是是()A.点点O一定在一定在ABC的内部的内部B.C的平分线一定经过点的平分线一定经过点OC.点点O到到ABC三边的距离一定相等三边的距离一定相等D.点点O到到ABC的三个顶点的距离一定的三个顶点的距离一定相等相等D课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题1.4 1.4 角平分线角平分线/2.如图如图,在在RtABC中中,点点O是是ABC内一点，且点内一点，且点O到到ABC三三边的距离相等若边的距离相等若A40，则，则BOC的度数为的度数为()AA110B120C130D140课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题1.4 1.4 角平分线角平分线/3.如如图图,已知已知ABC，求作一点，求作一点P，使，使P到到A的两边的距离相等，的两边的距离相等，且且PAPB下列确定下列确定P点的方法正确的是点的方法正确的是（）A.P为为A，B两角平分线的交点两角平分线的交点B.P为为A的平分线与的平分线与AB的的垂直平分线的垂直平分线的交点交点C.P为为AC，AB两边上的高的交点两边上的高的交点D.P为为AC，AB两边的垂直平分线的交点两边的垂直平分线的交点B课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题1.4 1.4 角平分线角平分线/4.如如图图,O是是ABC的角平分线的交点的角平分线的交点,ABC的面积为的面积为2,周周长长为为4,则点则点O到到BC的距离的距离为为()A.1B.2C.3D.无法确定无法确定A课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题1.4 1.4 角平分线角平分线/FAEDB1、已知已知：如图，：如图，ABC中，中，C=90，AD是是ABC的角平分的角平分线，线，DEAB于于E，F在在AC上上,BD=DF.求证求证：CF=EB.证明：证明：AD平分平分CAB,DEAB，C90（已知）（已知）,CDDE(角平分线的性质角平分线的性质).).在在RtCDF和和RtEDB中中,CD=ED（已证）（已证）,DF=DB（已知）（已知）,RtCDF RtEDB(HL).CF=EB（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）.C课堂检测课堂检测能能 力力 提提