中考数学二轮专题复习 二次函数 压轴题专项培优练习（教师版）

二次函数 压轴题专项练习 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 1．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上． （1）若，求该抛物线的对称轴； （2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】 （1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可； （2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可． 【详解】 解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得： ，解得：， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为； （2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得： ①当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾； ②当时， ∵抛物线始终过定点， ∴此时抛物线的对称轴的范围为， ∵点在该抛物线上， ∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为， ∵，开口向上， ∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小， ∴． 【】 本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 2．已知二次函数的图像经过两点． （1）求b的值． （2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________． （3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）；（2）1；（3）或． 【分析】 （1）将点代入求解即可得； （2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得； （3）分和两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】 解：（1）将点代入得：， 两式相减得：，解得； （2）由题意得：， 由（1）得：， 则此函数的顶点的纵坐标为， 将点代入得：，解得， 则， 下面证明对于任意的两个正数，都有， ， （当且仅当时，等号成立）， 当时，， 则 （当且仅当，即时，等号成立），即， 故当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1； （3）由得：， 则二次函数的解析式为， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当时，则当时，；当时，， 即，解得； ②如图，当时， 当时，， 当时，，解得， 综上，的取值范围为或． 本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键． 3．已知抛物线的对称轴为直线． （1）求a的值； （2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】 （1）根据对称轴，代值计算即可 （2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果 （3）先根据求根公式计算出，再表示出，=，即可得出结论 解：（1）由题意得： （2）抛物线对称轴为直线，且 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而增大． 当时，y1随x1的增大而减小， 时，，时， 同理：时，y2随x2的增大而增大 时，． 时， （3）令 令 AB与CD的比值为 本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点 4．小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径，且点A，B关于y轴对称，杯脚高，杯高，杯底MN在x轴上． （1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）． （2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高CO不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）确定B点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可； （2）利用杯深 CD′ 与杯高 OD′ 之比为0.6，求出OD′ ，接着利用抛物线解析式求出B'或A'横坐标即可完成求解． 解：（1）设， ∵杯口直径 AB=4 ，杯高 DO=8 ，∴ 将，代入，得，． （2），， ，， 当时，，或， ， 即杯口直径的长为． 本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等． 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）存在最小值，最小值为，此时点M的坐标为． 【分析】 （1）由题意易得，进而可得，则有，然后把点B、D代入求解即可； （2）设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可； （3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP是平行四边形，进而可得OM=BP，则有，若使的值为最小，即为最小，则有当点D、M、O三点共线时，的值为最小，然后问题可求解． 【详解】 解：（1）∵四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∴OB=1， ∴， 把点B、D坐标代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）由（1）可得，抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线， ∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴由两点距离公式可得， 设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分： ①当时，如图所示： ∴由两点距离公式可得，即， 解得：， ∴点F的坐标为或； ②当时，如图所示： ∴由两点距离公式可得，即，解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述：当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形， 点的坐标为或或或； （3）由题意可得如图所示： 连接OM、DM， 由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，， ∴，DM=EM， ∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为， ∴， ∴四边形BOMP是平行四边形， ∴OM=BP， ∴， 若使的值为最小，即为最小， ∴当点D、M、O三点共线时，的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示： ∵， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为， 设线段OD的解析式为，代入点D的坐标得：， ∴线段OD的解析式为，∴． 本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键． 6．如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1） 【分析】 （1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解； （2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ =，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论； （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解． 【详解】 解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线， ∴B（4，0），C（0，4）， 设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵B（4，0），C（0，4）， ∴直线BC的解析式为：y=-x+4， 设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4）， ∴PQ=-x+4-()==， ∴当x=2时，线段PQ长度最大=4， ∴此时，PQ=CO， 又∵PQ∥CO， ∴四边形OCPQ是平行四边形； （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N， 由（2）得：Q（2，-2）， ∵D是OC的中点， ∴D（0，2）， ∵QN∥y轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即：， 设E（x，），则，解得：，（舍去）， ∴E（5，4）， 设F（0，y），则， ，， ①当BF=EF时，，解得：， ②当BF=BE时，，解得：或， ③当EF=BE时，，无解， 综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）． ． 7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点的坐标值： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … （1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求的最小值； （3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作轴，垂足为F，的外接圆与相交于点E．试问：线段的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）是，1． 【分析】 （1）依据表格数据，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解即可； （2）利用平移和找对称点的方式，将的长转化为，再利用两点之间线段最短确定的最小值等于CE的长，加1后即能确定的最小值； （3）设出圆心和D点的坐标，接着表示出E点的坐标，利用圆心到B点的距离等于圆心到D点的距离，求出q和e的关系，得到E点的纵坐标，进而确定EF的长为定值． 【详解】 解：（1）由表格数据可知，顶点坐标为（1,4） 设抛物线解析式为：， 将点（0,3）代入解析式得：3=a+4， ∴， ∴抛物线解析式为：，顶点坐标． （2）由表格可知，抛物线经过点A（-1,0），C（0,3）， 如图3，将A点向上平移一个单位，得到， 则 ∴四边形是平行四边形，∴， 作关于MQ的对称点E，则 ∴， ∴， 当P、E、C三点共线时，最短， 设直线CE的解析式为：， 将C、E两点坐标代入解析式可得： ，∴， ∴直线CE的解析式为：，令，则， ∴当时，P、E、C三点共线，此时最短， ∴的最小值为． （3）是；理由：设， 因为A、B两点关于直线x=1对称，所以圆心位于该直线上， 所以可设的外接圆的圆心为， 作，垂足为点N，则， 由轴，∴， ∵，且由表格数据可知 ∴， 化简得：， ∵点D是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 即的长不变，为1． 8．已知：直线与轴、轴分别交于、两