湖北省恩施市野三关镇民族实验中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③ 4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断是（ ）A．① B．①② C．①③ D．①②③参考答案：A略2. 若，其中，是虚数单位，则（ ） A．0 B．2 C． D．5参考答案：D略3. 若命题为假,且为假,则A. 为假 B.q假 C.q真 D.不能判断q的真假 参考答案：B略4. 某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2,4.0)的人数是 ( )．A．30 B．40 C．50 D．55参考答案：B频率分布直方图反映样本的频率分布，每个小矩形的面积等于样本数据落在相应区间上的频率，故新生婴儿的体重在[3.2,4.0)(kg)的人数为100×(0.4×0.625＋0.4×0.375)＝40.5. 在区间上随机取一个数，的值介于0到之间的概率为A. B. C. D.参考答案：A6. 在△ABC中，A：B：C=4：1：1，则a：b：c=（ ）A．：1：1 B．2：1：1 C．：1：2 D．3：1：1参考答案：A【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】通过三角形的角的比，求出三个角的大小，利用正弦定理求出a、b、c的比即可【解答】解：∵A+B+C=π，A：B：C=4：1：1，∴A=120°，B=C=30°，由正弦定理可知：a：b：c=sinA：sinB：sinC==：1：1．故选：A．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的内角和，基本知识的考查．7. 若函数y=loga（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是（ ） A． 0＜a＜1 B． 0＜a＜2，a≠1 C． 1＜a＜2 D． a≥2 参考答案：C8. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示： 按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 （ ）A． B． C． D．参考答案：C略9. 盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（ ）A．恰有1只是坏的 B．4只全是好的C．恰有2只是好的 D．至多有2只是坏的参考答案：C【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】盒中有10只螺丝钉，从盒中随机地抽取4只的总数为：C104，其中有3只是坏的，则恰有1只坏的，恰有2只好的，4只全是好的，至多2只坏的取法数分别为：C31×C73，C32C72，C74，C74+C31×C73+C32×C72，在根据古典概型的计算公式即可求解可得答案．【解答】解：∵盒中有10只螺丝钉∴盒中随机地抽取4只的总数为：C104=210，∵其中有3只是坏的，∴所可能出现的事件有：恰有1只坏的，恰有2只坏的，恰有3只坏的，4只全是好的，至多2只坏的取法数分别为：C31×C73=105，C32C72=63，C74=35，C74+C31×C73+C32×C72=203，∴恰有1只坏的概率分别为： =，恰有2只好的概率为=，4只全是好的概率为，至多2只坏的概率为=；故选C10. 已知，若，则A. B. C. D. 参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 椭圆(为参数)的离心率是 .参考答案：12. 一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是 ．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】记事件“甲取到2个黑球”为A，“乙取到2个黑球”为B，由P（B|A）=能求出事件“甲取到2个黑球，乙也取到2个黑球”的概率．【解答】解：记事件“甲取到2个黑球”为A，“乙取到2个黑球”为B，则有P（B|A）===．∴事件“甲取到2个黑球，乙也取到2个黑球”的概率是．故答案为：．13. 过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的方程为 ▲ 参考答案：14. 在平面直角坐标系xOy中，若圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴相交于、两点，且与直线相切，则圆C的标准方程为_________.参考答案：.【分析】设圆心与半径，根据条件列方程组，解得结果.【详解】设圆：，则，解得15. 在△ABC中，已知?=tanA，当A=时，△ABC的面积为 ．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【专题】解三角形；平面向量及应用．【分析】利用平面向量的数量积运算法则及面积公式化简即可求出【解答】解：∵?=tanA，A=，∴?=||?||cos=tan=，∴||?||=∴S△ABC=|AB||AC|sinA=××=故答案为：【点评】本题考查了向量的数量积公式，以及三角形的面积公式，属于基础题16. 设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于＿＿＿＿＿参考答案：617. . 已知(其中.是实数,是虚数单位),则 .参考答案：3略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知x，y都是正数．（1）若3x+2y=12，求xy的最大值；（2）若x+2y=3，求的最小值．参考答案：【考点】基本不等式．【分析】（1）由于3x+2y=12，再根据xy=?3x?2y，利用基本不等式求得xy的最大值．（2）由x+2y=3，得到1=，故=（）（），利用基本不等式求得最小值．【解答】解：（1）∵3x+2y=12，∴xy=?3x?2y≤×（）2=6，当且仅当3x=2y=6时，等号成立．∴当且仅当3x=3时，xy取得最大值．（2）∵x+2y=3，∴1=，∴=（）（）=+++≥1+2=1+，当且仅当=，即x=3﹣3，y=3﹣时取等号，∴最小值为．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，以及等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．19. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E是CC1上的中点，且BC=1，BB1=2．（Ⅰ）证明：B1E⊥平面ABE（Ⅱ）若三棱锥A﹣BEA1的体积是，求异面直线AB和A1C1所成角的大小．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接BE，只需证明BE⊥B1E，且AB⊥B1E=B，即可得到B1E⊥平面ABE；（Ⅱ）由V=V=V==，得AB=，异面直线AB和A1C1所成角为∠CAB，即可求解．【解答】证明：（Ⅰ）连接BE，∵BC=1 BB1=2，E是CC1上的中点△BCE，△B1C1E为等腰直角三角形，即，∴，即BE⊥B1E∵AB⊥面BB1C1C．B1E?面ABC，∴B1E⊥AB，且AB∩BE=B，∴B1E⊥平面ABE；解：（Ⅱ）∵AB∥A1B1，∴A1、B1到面ABE的距离相等，由（Ⅰ）得BE=B1E=故V=V=V==解得AB=∵AC∥A1C1，∴异面直线AB和A1C1所成角为∠CAB，在Rt△ABC中，tan，∴∠CAB=30°∴异面直线AB和A1C1所成角的大小30°． 20. 在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，，AB⊥AD，AB∥CD，点M是PC的中点．（I）求证：MB∥平面PAD；（II）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PD中点H，连结MH，AH．推导出四边形ABMH为平行四边形，从而BM∥AH，由此能证明BM∥平面PAD．（Ⅱ） 取AD中点O，连结PO．以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BC﹣D的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取PD中点H，连结MH，AH．因为 M为中点，所以．因为．所以AB∥HM且AB=HM．所以四边形ABMH为平行四边形，所以 BM∥AH．因为 BM?平面PAD，AH?平面PAD，所以BM∥平面PAD．…..解：（Ⅱ） 取AD中点O，连结PO．因为 PA=PD，所以PO⊥AD．因为 平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．取BC中点K，连结OK，则OK∥AB．以O为原点，如图建立空间直角坐标系，设AB=2，则，．平面BCD的法向量，设平面PBC的法向量，由，得令x=1，则．．由图可知，二面角P﹣BC﹣D是锐二面角，所以二面角P﹣BC﹣D的余弦值为．…..21. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn＞总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．参考答案：【分析】（1）依已知可先求首项和公差，进而求出通项an和bn，在求首项和公差时，主要根据先表示出等差数列的三项，根据这三项是等比数列的三项，且三项成等比数列，用等比中项的关系写出算式，解出结果．（2）由题先求出{bn}的通项公式后再将其裂成两项的差，利用裂项相消的方法求出和Sn，利用递增数列的定义判断出数列{Sn}是单调递增的，求出其最小值得到t的范围．【解答】解：（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，…（2分）整理得2a1d=d2．∵a1=1，解得（d=0舍），d=2．…（4分）∴an=2n﹣1（n∈N*）．…（6分）（2），∴=．…（10分）假设存在整数总成立．又，∴数列{Sn}是单调递增的． …（12分）∴．又∵t∈N*，∴适合条件的t的最大值为8．…（14分）【点评】本题主要考查了数列的基本知识和解决数列问题的基本方法，如基本量法，错位相减求和法等．本题是一个综合题，若在高考题中出现时，应该是一个合格的题目22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线C1的方程；(1-4班做)（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.（5-7班做）（Ⅱ）设P(-4,1)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切。
