2022-2023学年广东省河源市郎仑中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年广东省河源市郎仑中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列几何体中是棱柱的有(  )． (A)1个         (B)2个        (C)3个        (D)4个 参考答案： C 略 2. 设，下列结论中正确的是 （      ） A． B．      C．       D． 参考答案： A 3. 抛掷3枚质地均匀的硬币，A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有一个反面向上}，则A与B关系是                                           （   ） A . 互斥事件     B.对立事件    C. 相互独立事件    D .不相互独立事件 参考答案： C 4. 从某高中随机选取5名高二男生，其身高和体重的数据如下表所示：由上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm的男生的体重大约为(　　) A．70.09  Kg       B．70.12  Kg        C．70.55 Kg    D．71.05 Kg 参考答案： B 略 5. 在等差数列中，已知，那么等于-------------（    ） A.4   B.5   C.6   D.7 参考答案： A 略 6. “（    ） A. 必要而不充分条件              B. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件                  D. 既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 7. 1010111（2）=__________（10）（　　） A．85 B．87 C．84 D．48 参考答案： B 【考点】EM：进位制． 【分析】按照二进制转化为十进制的法则，二进制一次乘以2的n次方，（n从0到最高位）最后求和即可． 【解答】解：1010111（2）=1×26+0×25+1×24+0×23+1×22+1×21+1×20 =64+0+16+0+4+2+1=87． 故选：B． 【点评】本题考查算法的概念，以及进位制，需要对进位制熟练掌握并运算准确．属于基础题． 8. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则…………(   ) A．1∶2      B．2∶3      C．3∶4        D．1∶3 参考答案： C 9. 已知向量，，且，则的值为（    ） A．12         B．10       C．－14        D．14 参考答案： D 10. 设，则是 的（    ） A．充分但不必要条件           B．必要但不充分条件 C．充要条件               D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若，其中、，是虚数单位，则               ． 参考答案： 5 12. 把“十进制”数转化为“二进制”数为 参考答案： 1111011 13. 已知点是椭圆与双曲线的交点，是椭圆焦点，则=  ▲  ． 参考答案： 0 14. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)。 参考答案： 140 15. 设函数，当时，恒成立，则a的取值范围是________. 参考答案： [1,+∞) 【分析】 求得在处的切线的斜率，结合图像，求得的取值范围. 【详解】函数，.对于一次函数，.，令，解得（负根舍去），所以在上递增，在上递减，画出的图像如下图所示.由图可知，要使当时，恒成立，只需大于或等于在处切线的斜率.而，所以. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 16. 圆C1：与圆C2：的公切线有_______条． 参考答案： 3 略 17. 用总长为24m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器底面为正方形，则这个容器体积的最大值为　  　． 参考答案： 8m3 【考点】基本不等式． 【分析】根据题意，设长方体容器的底面边长为xm，高为ym，由题意可得8x+4y=24，即2x+y=6，用x、y表示长方体的体积可得V=x2y=x2×（6﹣2x）=x×x×（6﹣2x），由基本不等式分析可得答案． 【解答】解：根据题意，设长方体容器的底面边长为xm，高为ym， 则有8x+4y=24，即2x+y=6， 其体积V=x2y=x2×（6﹣2x）=x×x×（6﹣2x）≤[]3=8m3， 当且仅当x=2时，等号成立； 即这个容器体积的最大值8m3； 故答案为：8m3． 【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是用x、y表示容器的体积． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. ．(本题满分10分) 已知函数f(x)＝x2＋2x＋aln x. (1)若f(x)是区间(0,1)上的单调函数，求a的取值范围； (2)若?t≥1，f(2t－1)≥2f(t)－3，试求a的取值范围． 参考答案： 解　(1)f′(x)＝2x＋2＋， ∵f(x)在(0,1)上单调， ∴x∈(0,1)，f′(x)≥0或x∈(0,1)，f′(x)≤0(这里“＝”只对个别x成立)． ∴a≥－2(x2＋x)或a≤－2(x2＋x)． 从而a≥0或a≤－4. (2)f(2t－1)≥2f(t)－3?2(t－1)2－2aln t＋aln(2t－1)≥0① 令g(t)＝2(t－1)2－2aln t＋aln (2t－1)， 则g′(t)＝4(t－1)－＋＝ 当a≤2时，∵t≥1，∴t－1≥0,2(2t－1)≥2，∴g′(t)≥0对t＞1恒成立， ∴g(t)在[1，＋∞)上递增， ∴g′(t)≥g(1)＝0，即①式对t≥1恒成立； 若a＞2时，令g′(t)＜0，且t＞1，解得1＜t＜， 于是，g(t)在上递减，在上递增， 从而有g＜g(1)＝0，即①式不可能恒成立． 综上所述，a≤2. 19. 已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若,,求. 参考答案： 【解】（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为， 依题意，有2（）=+,代入, 得=8, ∴+=20 ∴解之得或 又单调递增，∴ =2, =2,∴=2n                              ┉┉┉┉┉┉┉┉6分 （Ⅱ） ∴  ┉┉┉┉┉ 略 20. 设锐角三角形 的内角的对边分别为， ．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，，求及的面积． 参考答案： （Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以， 由为锐角三角形得． （Ⅱ）根据余弦定理，得． 所以，． 略 21. 如图所示，F1，F2分别为椭圆C： +=1，（a＞b＞0）的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点（1，）到焦点F1，F2两点的距离之和为4． （1）求椭圆C的方程和焦点坐标； （2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由椭圆定义可得a=2，将点代入椭圆方程求得b2=3，从而得到c=1，写出椭圆方程和焦点坐标； （2）由条件求出直线PQ的方程，联立椭圆方程，消去x，得到y的二次方程，运用韦达定理，可求|y1﹣y2|， 再由面积公式|F1F2|?|y1﹣y2|计算即得． 【解答】解：（1）由题设知：2a=4，即a=2， 将点代入椭圆方程得，得b2=3 ∴c2=a2﹣b2=4﹣3=1， 故椭圆方程为， 焦点F1、F2的坐标分别为（﹣1，0）和（1，0）． （2）由（1）知， ∴，∴PQ所在直线方程为， 由得 设P （x1，y1），Q （x2，y2），则， ∴， ∴． 【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立消去一个未知数，运用韦达定理求解的方法，考查运算能力，属于中档题． 22. 已知，函数， （1）讨论的单调性； （2）若是的极值点且曲线在两点，处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为，，求的取值范围. 参考答案： (1)见解析（2）. 【分析】 (1) 求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由，得，可得，利用导数求得切线方程，结合切线斜率相等可得（），利用导数研究函数的单调性，利用单调性可得结果. 【详解】(1) ①当时，，在上递减 ②当，若，则在上递增 若，则在上递减 若，在上递减，上递增 （2）由，得，∴ 在点处的切线： 令，得 同理得 由两切线相互平行得 由 由得 则 （） 令 在上递增 而， 所以. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用单调性求范围以及导数的几何意义，考查了分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.