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江苏省南京市姜堰区艺术中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数y=f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=2x+1,则f(﹣2)=( )
A.﹣3 B.3 C.5 D.﹣5
参考答案:
D
【考点】函数的值.
【分析】推导出当x<0时,f(x)=2x﹣1,由此能求出f(﹣2)的值.
【解答】解:∵函数y=f(x)是奇函数,
且当x>0时,f(x)=2x+1,
∴当x<0时,f(x)=2x﹣1,
∴f(﹣2)=2×(﹣2)﹣1=﹣5.
故选:D.
2. 某几何体的主视图和左视图如图(1),它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图(2),其中O1A1=6,O1C1=2,则该几何体的侧面积为( )
A.48 B.64 C.96 D.128
参考答案:
C
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱,计算出底面的周长和高,进而可得几何体的侧面积.
【解答】解:由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱,
∵它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1,O1A1=6,O1C1=2,
∴它的俯视图的直观图面积为12,
∴它的俯视图的面积为:24,
∴它的俯视图
的俯视图是边长为:6的菱形,
棱柱的高为4
故该几何体的侧面积为:4×6×4=96,
故选:C.
3. 已知,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【详解】因为,
所以,故选B.
点评:本题较简单,二倍角公式的考查
4. 若函数为定义在的奇函数,且在为减函数,若,则不等式的解集为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
D
由做出函数的大致图象如图:
()当时,即时,,
∴或,
解得.
()当时,即时,,
∴或,
解得.
综上所述:的取值范围是.
故选:.
5. 已知,,则的值为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
根据角的范围可知,;利用同角三角函数的平方关系和商数关系构造方程可求得结果.
【详解】由可知:,
由得:
本题正确选项:A
6. 由不等式确定的平面区域记为,不等式,确定的平面区域记为,在中随机取一点,则该点恰好在内的概率为
参考答案:
D
7. 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是( )
A.y=x B. y=lgx C. y=2x D.
参考答案:
D
8. 命题“”的否命题是:
A. B.
C. D.
参考答案:
C
9. 函数y=的值域是( ).
A.[0,+∞) B.[0,4) C. [0,4] D.(0,4)
参考答案:
B
10. 执行如图所示的程序框图,输出的T为
A. 0 B.1 C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 半径为2的圆O与长度为6的线段PQ相切,切点恰好为线段PQ的三等分点,
则= .
参考答案:
略
12. 天气预报说,在今后的三天中每一天下雨的概率均为40%,用随机模拟的方法进行试验,由1、2、3、4表示下雨,由5、6、7、8、9、0表示不下雨,利用计算器中的随机函数产生0?9之间随机整数的20组如下:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为 .
参考答案:
13. 若tanα=2,则= ;sinα?cosα= .
参考答案:
2,
【考点】同角三角函数基本关系的运用;三角函数的化简求值.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值.
【解答】解:∵tanα=2,则==tanα=2,
sinα?cosα===,
故答案为:2;.
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,属于基础题.
14. 对于实数x,[x]表示不超过x的最大整数,已知正数列{an}满足Sn=(an),n∈N*,其中Sn为数列{an}的前n项的和,则[]=______.
参考答案:
20
【分析】
先由数列的关系求出,再利用放缩法和裂项相消求得前n项和S的值,可得答案.
【详解】由题可知,当时,化简可得,当
所以数列是以首项和公差都是1的等差数列,即
又时,
记
一方面
另一方面
所以
即
故答案为20
【点睛】本题考查了新定义、数列通项与求和、不等式知识点,构造新的等差数列以及用放缩法求数列的和是解答本题的关键,注意常见的裂项相消法求和的模型,属于难题.
15. 以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴,将该三角形旋转一周,所得几何体的表面积为 .
参考答案:
3π
以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴,将该三角形旋转一周,所得几何体为圆锥,圆锥的底面半径,母线长,
该几何体的表面积为:.
16. 一个正方体的表面展开图的五个正方形如图阴影部分,第六个正方形在编号1—5的适当位置,则所有可能的位置编号为
参考答案:
1,4,5
17. 已知,则____________________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数,.求:
(1)函数的最小值和图像对称中心的坐标;
(2)函数的单调增区间.
参考答案:
…………………4分
当,即时, 取得最小值.………6分
函数图像的对称中心坐标为.…………………………8分
(2) 由题意得:
即: 因此函数的单调增区间为
…………12分
19. 如图,在四棱锥中, 底面为矩形, ,,,为线段上的一点,且
(I)当时,求的值;
(II)求直线与平面所成的角的大小.
参考答案:
(I)以为原点,以,,为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,
设,则,又设,则:,
由,可得,解得
又
(II)由(I)知面的法向量为
又因为
设与面所成的角为,则:
,
所求与面所成的角的大小为:
20. ( 12分)已知圆C经过点A(1,4)、B(3,-2),圆心C到直线AB的距离为,求圆C的方程
参考答案:
法Ⅰ:设圆心,半径为r
易见线段AB的中点为M(2,1) …………2分
,
即: ① …………………5分
又
② ………………8分
联立①②得或
即或 ……………………10分
故圆的方程为:或……12分
法Ⅱ:A(1,4)、B(3,-2)
直线AB的方程为: ………………2分
线段AB的中点为M(2,1)
圆心C落在直线AB的中垂线:上. ……………4分
不妨设 ………………………5分
………………………………8分
解得或
即或 …………………10分
故圆的方程为:或……12分
略
21. (10分)(2015秋潍坊期末)如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E在B1D1上,且ED1=2B1D,AC与BD交于点O.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDD1B1;
(Ⅱ)求三棱锥O﹣CED1的体积.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.
【专题】综合题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.
【分析】(Ⅰ)证明B1B⊥AC,利用AC⊥BD,即可证明AC⊥平面BDD1B1;
(Ⅱ)利用等体积转化,求三棱锥O﹣CED1的体积.
【解答】(Ⅰ)证明:∵B1B⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
∴B1B⊥AC,
∵AC⊥BD,BD∩B1B=B,
∴AC⊥平面BDD1B1;
(Ⅱ)解:∵正方体棱长为1,∴B1D1=,ED1=,
∴===,
∵AC⊥平面BDD1B1,
∴CO⊥平面OED1,
∵CO=,
∴三棱锥O﹣CED1的体积=三棱锥C﹣OED1的体积==.
【点评】本题考查线面垂直,考查三棱锥O﹣CED1的体积,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
22. 计算:(1)
(2)
参考答案:
解:(1)
(2) 原式
略
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