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2022年浙江省温州市花坦中学高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量=(2,2),=(4,1),点P在x轴上,则?取最小值时P点坐标是( )
A.(﹣3,0) B.(1,0) C.(2,0) D.(3,0)
参考答案:
D
考点:平面向量数量积的运算.
专题:平面向量及应用.
分析:设出P的坐标,利用向量的数量积推出关系式,然后求解最小值,得到P点坐标.
解答: 解:设P(a,0),向量=(2,2),=(4,1),
则?=(a﹣2,﹣2)?(a﹣4,﹣1)=a2﹣6a+10=(a﹣3)2+1≤1,当a=3时,取得最小值.
所求P(3,0).
故选:D.
点评:本题考查平面向量数量积的应用,二次函数的最值的求法,考查计算能力.
2. 函数在点处的切线斜率为,则的最小值是( )
A. 10 B. 9 C. 8 D.
参考答案:
B
3. 函数的定义域是 ( )
A.[1,2] B. C. D.
参考答案:
C
4. 已知函数,,,曲线上总存在两点,,,,使曲线在M,N两点处的切线互相平行,则的取值范围为
A. B. C. D.
参考答案:
B
解:函数,导数.
由题意可得,,且.
即有,
化为,
而,
,
化为对,都成立,
令,,,
,对,恒成立,
即在,递增,
(4),
,
,即的取值范围是,.
故选:.
5. 已知函数,,要得到函数的图象,只需将函数的图象上的所有点( )
A.横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位得到
B.横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位得到
C.横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移个单位得到
D.横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移个单位得到
参考答案:
B
因为由图象上所有点横坐标缩短为原来的得到函数的图象,所以再将函数的图象向左平移个单位后,就得到的图象的图象.
试题立意:本小题考查三角函数图象及其性质,图象变换等基础知识;考查推理论证能力,化归转化思想.
6. 12名同学合影,站成了前排4人后排8人,现摄影师要从后排的8人中抽2人调整到前排,其他人的相对顺序不便,则不同调整方法的种数为:
A. B. C. D.
参考答案:
C 【解析】从后排的8人中抽2人有种方法,把抽出的2人插入前排,其他人的相对顺序不便有种方法,故共有种不同调整方法,选C。
7. 函数的值域为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. (2009安徽卷理)下列选项中,p是q的必要不充分条件的是
(A)p:>b+d , q:>b且c>d
(B)p:a>1,b>1 q:的图像不过第二象限
(C)p: x=1, q:
(D)p:a>1, q: 在上为增函数
参考答案:
A
解析:由>b且c>d>b+d,而由>b+d >b且c>d,可举反例。选A.
9. 对于向量,, “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
B
【分析】
根据向量的运算法则:“”不能推出“”, “”能够推出“”.
【详解】当时,满足,不能推出,
若,则,所以,
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选:B
【点睛】此题考查充分条件与必要条件的关系判断,关键在于弄清向量间的关系,正确辨析即可.
10. 已知集合A={﹣1,0,1,2},B={x|x≥1},则A∩B=( )
A.{2} B.{1,2} C.{﹣1,2} D.{﹣1,1,2}
参考答案:
B
【考点】交集及其运算.
【专题】计算题;规律型.
【分析】集合A中元素个数较少,是有限集合,B是无限集合,可以利用交集的定义逐一确定A∩B中元素,得出结果.
【解答】解:根据交集的定义A∩B={x|x∈A,且x∈B},
∵A={﹣1,0,1,2},B={x|x≥1},
∴A∩B={1,2}.
故选:B.
【点评】本题考查了集合的交集运算,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数相交于A,B两点,且最小值为,则函数的单调增区间是___________.
参考答案:
12. 已知向量 。
参考答案:
-3或0
13. 已知实数x,y满足不等式组,则z=x+2y的最小值为 .
参考答案:
4
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,即可求出z的最大值.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
设z=x+2y,则y=﹣x+
平移此直线,由图象可知当直线y=﹣x+经过A时,直线在y轴的截距最小,得到z最小,由得到A(2,1),
所以z=x+2y的最小值为2+2×1=4;
故答案为:4.
14. 设数列满足,,则= ▲ .
参考答案:
略
15. 非零向量m,n满足3|m|=2|n|, 且n(2m+n),则m,n夹角的余弦值为 .
参考答案:
16. 已知双曲线的离心率为,则它的渐近线方程为 .
参考答案:
y=±x
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】运用离心率公式和a,b,c的关系,可得b==a,即可得到所求双曲线的渐近线方程.
【解答】解:由题意可得e==,
即c=a,b==a,
可得双曲线的渐近线方程y=±x,
即为y=±x.
故答案为:y=±x.
17. 若a>1,设函数f(x)=ax+x﹣4的零点为m,g(x)=logax+x﹣4的零点为n,则+的最小值为 .
参考答案:
1
【考点】函数零点的判定定理;基本不等式.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】构建函数F(x)=ax,G(x)=logax,h(x)=4﹣x,则h(x)与F(x),G(x)的交点A,B的横坐标分别为m、n,注意到F(x)=ax,G(x)=logax,关于直线y=x对称,可得m+n=4,再用“1”的代换,利用基本不等式,即可得出结论.
【解答】解:由题意,构建函数F(x)=ax,G(x)=logax,h(x)=4﹣x,
则h(x)与F(x),G(x)的交点A,B的横坐标分别为m、n.
注意到F(x)=ax,G(x)=logax,关于直线y=x对称,可以知道A,B关于y=x对称,
由于y=x与y=4﹣x交点的横坐标为2,∴m+n=4.
则+=(+)(m+n)=(2++)≥(2+2)=1,
当且仅当m=n=2时,等号成立,故+的最小值为1,
故答案为:1.
【点评】本题考查函数的零点,考查基本不等式的运用,考查学生分析转化问题的能力,求出m+n=4,正确运用基本不等式是关键,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数
(1)判断f(x)在(0,+∞)上的增减性,并证明你的结论
(2)解关于x的不等式f(x)>0
(3)若f(x)+2x≥0在(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明.
【分析】(1)利用导数与函数单调性的关系进行判断与证明;
(2)求出f(x)=0的解,再根据f(x)的单调性得出不等式的解;
(3)令g(x)=f(x)+2x,求出g(x)的最小值,令gmin(x)≥0即可解出a的范围.
【解答】解:(1)f(x)在(0,+∞)上是减函数,
证明:f′(x)=﹣<0,
∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.
(2)①若a<0,则f(x)=﹣>0恒成立,
∴f(x)>0的解为(0,+∞);
②若a>0,令f(x)=﹣=0得x=2a.
∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,
∴f(x)>0的解为(0,2a).
综上,当a<0时,不等式f(x)>0的解集是(0,+∞),
当a>0时,不等式f(x)>0的解集是(0,2a).
(3)令g(x)=f(x)+2x=﹣+2x,
则g′(x)=2﹣=2(1﹣),
∴当0<x<1时,g′(x)<0,当x>1时,g′(x)>0,
∴g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
∴gmin(x)=g(1)=﹣+4,
∵f(x)+2x≥0在(0,+∞)上恒成立,
∴﹣+4≥0,解得a<0或a≥.
∴a的取值范围是{a|a<0或a≥}.
19. 已知函数,.
(1)讨论函数的单调区间;
(2)当时,证明:.
参考答案:
(1)见解析;(2)见证明
【分析】
(1)对a分a≥0和a<0讨论,利用导数求函数的单调区间;(2)时,欲证只需证明-1,再构造函数,利用导数求函数的最小值,即得证.
【详解】(1)的定义域为.
由已知,,
则①当时,恒成立,此时在上单调递增;
②当时,令,得,所以在上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当时,的单调增区间为,无单调递减区间;
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)考虑到时,
欲证,只要证=
设,则,令可得,
且当时,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,
因为,所以,所以,
即恒成立,所以恒成立,即.
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间,考查利用导数证明不等式和求函数的最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20. (13分)
已知O(0,0),B(1,0),C(b,c)是△OBC的三个顶点.
(Ⅰ)写出△OBC的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明G,F,H三点共线;
(Ⅱ)当直线FH与OB平行时,求顶点C的轨迹.
参考答案:
解析:(Ⅰ)解:由△OBC三顶点坐标O(0,0),B(1,0),C(b,c)(c≠0),可求得
重心,外心F,垂心.当时,
G,F,H三点的横坐标均为,故三点共线;当时,设G,H所在直线的斜
率为,F,G所在直线的斜率为.因为,
,所以,G,F,H三点共线.
综上可得,G,F,H三点共线.
(Ⅱ)解:若FH//OB,由,得,
配方得,即.
所以,顶点C的轨迹是中心在(,0),长半轴长为,短半轴长为,且短
轴在x轴上的椭圆,除去(0,0),(1,0),(,),(,-)四点.
21. (本小题共13分)已知函数().
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)函数的图像在处的切线的斜率为若函数,在区间(1,3)上不是单调函数,求 的取值范围。
参考答案:
解:(I) ……2分
当 即
f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(, ………4分
当 , 即
f(x)的单调递增区间为(,,单调递减区间为(0,) ……6分
(II)得 ……8分
+3 ……9分
………10分
……11分
……12分 即: ……13分
22. 已知函数.
(Ⅰ)若函数在上是增函数,求正实数的取值范围;
(Ⅱ)当时,对任意的正整数,
求证:,且不等式都成立.
参考答案:
解:(I)由题设可得
函数在上是增函数,
当时,不等式即恒成立.
当时,的最大值为1,则实数的取值范围是;-----6分
(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)知
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