2022年广西壮族自治区桂林市青水中学高一数学理期末试题含解析

2022年广西壮族自治区桂林市青水中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，,，则的值等于（    ） A．          B． C．         D．   参考答案： A 略 2. （10分） 化简： 参考答案： 0   略 3. 已知集合 ，则的真子集有（     ） A．3个     B．4个     C．6个     D．8个 参考答案： A 4.                             （      ） A、   B、   C、   D、 参考答案： D 5. 已知则x的值是          （     ） A．-1               B．0            C．1               D．3 参考答案： B 6. 是第二象限角，P为其终边上一点，且，则的值为（    ）； A.         B.          C.            D. 参考答案： A 略 7. 若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与点对(Q,P)为同一个“友好点对”).已知函数f(x)=则f(x)的“友好点对”有（   ）个. A．0        B．1        C．2        D．4 参考答案： C 8. 将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（　　） A．t=，s的最小值为 B．t=，s的最小值为 C．t=，s的最小值为 D．t=，s的最小值为 参考答案： A 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】将x=代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值． 【解答】解：将x=代入得：t=sin=， 将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位， 得到P′（+s，）点， 若P′位于函数y=sin2x的图象上， 则sin（+2s）=cos2s=， 则2s=+2kπ，k∈Z， 则s=+kπ，k∈Z， 由s＞0得：当k=0时，s的最小值为， 故选：A． 9. 若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有，且时，有，的最大值、最小值分别为，则的值为（     ） A．2012      B．2013 C．4024        D．4026 参考答案： C 略 10. 设m是直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A. 若，则     B. 若，则 C. 若，则     D. 若，则 参考答案： B 在中，，则与相交或平行，故错误； 在中，，则由面面垂直的判定定理得，故正确； 在中，，则与相交，平行或，故错误； 在中，，则或，故错误，故选B.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 二次不等式的解集为，则ab的值为_______. 参考答案： 6 【分析】 由二次不等式与二次方程的关系可得，从而得解. 【详解】二次不等式的解集为， 则，且的两个根为和. 所以，解得. 所以 【点睛】本题主要考查了二次方程与二次不等式的关系，属于基础题. 12. 设，其中，则的值为________. 参考答案： 【分析】 由两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求出的值。 【详解】， 所以，因为，故。 【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的逆用以及诱导公式的应用。 13. 数列{ a n }满足递推关系a n  = 2 +a n – 1 ( n > 1 )，且首项a 1 = 5，则通项公式a n =      ， a n =       。 参考答案： [ 1 + () n – 1 ] ( n = 1，2，… )， 14. 已知向量=（1，2），=（x,4）,且则x=              参考答案： 15. 若则的最小值是        ；取到最小值时，=         。 参考答案： 2 ;1. 16. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，当取最大值时，角B的值为          ． 参考答案： 17. 函数的对称中心的坐标为__________． 参考答案： ,解得，所以对称中心为 .  三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (1)解方程 （2）计算的值. 参考答案： 解：（1）；   （2）2012 略 19. 设∠AOB＝60°角内一点P到∠AOB两边的距离PA、PB分别为3和5（A、B为垂足）。 求：（1）AB的长；         （2）OP的长。 参考答案： 略 20. （本题满分14分）(Ⅰ)已知，，求的值； (Ⅱ)已知，，，求的值. 参考答案： 因为，，所以，,  ……5分 .    ………………………………………………7分 （Ⅱ）因为且，所以，  ……………………………9分 因为，所以， 又,所以，所以，……11分 所以.……………………………14分 21. (本题满分10分)在中，的对边分别为,已知 (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)若，求的面积． 参考答案： (Ⅰ)∵cosA＝＞0，∴sinA＝， 又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝cosC＋sinC． 整理得：tanC＝．所以sinC＝．................................5分 (Ⅱ)由正弦定理知：，故． (1) 对角A运用余弦定理：cosA＝． (2) 解(1) (2)得： or  b＝(舍去)． ∴ABC的面积为：S＝．......................................10分 22. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点． （1）证明：MN∥平面PAB； （2）求点M到平面PBC的距离． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）设PB的中点为Q，连接AQ，NQ，由三角形中位线定理结合已知可得四边形AMNQ为平行四边形，得到MN∥AQ．再由线面平行的判定可得MN∥平面PAB； （2）在Rt△PAB，Rt△PAC中，由已知求解直角三角形可得PE==，进一步得到S△PBC．然后利用等积法求得点M到平面PBC的距离． 【解答】（1）证明：设PB的中点为Q，连接AQ，NQ； ∵N为PC的中点，Q为PB的中点，∴QN∥BC且QN=BC=2， 又∵AM=2MD，AD=3，∴AM=AD=2 且AM∥BC， ∴QN∥AM且QN=AM， ∴四边形AMNQ为平行四边形， ∴MN∥AQ． 又∵AQ?平面PAB，MN?平面PAB， ∴MN∥平面PAB； （2）解：在Rt△PAB，Rt△PAC中，PA=4，AB=AC=3， ∴PB=PC=5，又BC=4，取BC中点E，连接PE，则PE⊥BC，且PE==， ∴S△PBC=×BC×PE=×4×=2． 设点M到平面PBC的距离为h，则VM﹣PBC=×S△PBC×h=h． 又VM﹣PBC=VP﹣MBC=VP﹣DBC×S△ABC×PA=××4××4=， 即h=，得h=． ∴点M到平面PBC的距离为为．