广东省清远市清新县第三中学高一数学理模拟试卷含解析

广东省清远市清新县第三中学高一数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 一个容量为20的数据样本，分组后的频数如表： 分组 [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） 频数 5 4 3 2 4    2 则样本数据落在区间[10，40）的频率为（　　） A．0.70 B．0.60 C．0.45 D．0.35 参考答案： B 【考点】B7：频率分布表． 【分析】根据频率分布表，计算对应的频数、频率值． 【解答】解：根据频率分布表， 样本数据落在区间[10，40）的频数为5+4+3=12， 所求的频率为=0.6． 故选：B． 2. 已知f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是递增的，若f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集是（　　） A．{x|﹣2＜x＜0或x＞2} B．{ x|x＜﹣2或0＜x＜2} C．{ x|x＜﹣2或x＞2} D．{ x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2} 参考答案： D 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】易判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式． 【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数， ∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数， 由f（﹣2）=0，得f（﹣2）=﹣f（2）=0， 即f（2）=0， 由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0， 作出f（x）的草图，如图所示： 由图象，得xf（x）＜0?或， 解得0＜x＜2或﹣2＜x＜0， ∴xf（x）＜0的解集为：（﹣2，0）∪（0，2）， 故选：D 3. 设（    ） 　　A、3           B、1         C.  0        D.-1 参考答案： A 4. 已知函数f（x）=且方程f2（x）﹣af（x）+=0恰有四个不同实根，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） B．（，） C．（2，4） D．（，] 参考答案： B 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】作函数f（x）=的图象，从而化为x2﹣ax+=0在（1，2]上有两个不同的根，从而解得． 【解答】解：作函数f（x）=的图象如下， 结合图象可知， 当1＜b≤2时，f（x）=b有两个不同的解， 故x2﹣ax+=0在（1，2]上有两个不同的根， 故， 解得，＜a＜， 故选：B． 5. ．已知函数是上的偶函数,它在上是减函数,若则的取值范围是（   ）    A.     B.    C.       D. 参考答案： C 略 6. 已知直线y=kx与圆x2+y2=3相交于M,N两点，则|MN|等于(   ) A.      B.          C.     D.2 参考答案： D 7. 设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）： 则的值为（     ） A. B. C. D. 参考答案： A 8. 已知等差数列{an}中，前n项和为Sn，若a2+a8=10，则S9=（　　） A．36 B．40 C．42 D．45 参考答案： D 【考点】85：等差数列的前n项和． 【分析】由等差数列的性质可得：a1+a9=a2+a8=10，再利用求和公式即可得出． 【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a9=a2+a8=10， 则S9===45． 故选：D． 9.   (     ) A．       B．      C．       D．   参考答案： A 10. 已知，，则的取值范围是（）． A．[－6,4] B．[0,10] C．[－4,2] D．[－5,1] 参考答案： A ∵，∴， ∵，∴， 则， 故选． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.  函数的定义域为______________________ 参考答案： 12. 在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），B（1，1），C（2，﹣1），则∠BAC的余弦值为　　． 参考答案： 【考点】两点间距离公式的应用；正弦定理． 【专题】数形结合；转化思想；解三角形． 【分析】利用两点之间的距离的距离公式、余弦定理即可得出． 【解答】解：|AB|==，|AC|=，|BC|=． ∴cos∠BAC===． 故答案为：． 【点评】本题考查了两点之间的距离的距离公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13. 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第10个号码为____________． 参考答案： 0195 14. 若数列{}满足且 则的值为           . 参考答案： 102 略 15. 执行下面的程序框图，若P=0.8，则输出的n=         。 参考答案： 4 略 16. 已知函数那么的值为          ． 参考答案： 函数 。 故答案为：。   17. 计算：            参考答案： 4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 若函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M．当x∈M时，求f（x）=2x+2﹣3×4x的最值及相应的x的值． 参考答案： 【考点】对数函数的定义域；函数的最值及其几何意义；二次函数的性质． 【专题】计算题． 【分析】根据题意可得M={x|x2﹣4x+3＞0}={x|x＞3，x＜1}，f（x）=2x+2﹣3×4x=﹣3?（2x）2+4?2x 令t=2x，则t＞8，或0＜t＜2∴f（t）=﹣3t2+4t利用二次函数在区间（8，+∞）或（0，2）上的最值及x即可 【解答】解：y=lg（3﹣4x+x2）， ∴3﹣4x+x2＞0， 解得x＜1或x＞3， ∴M={x|x＜1，或x＞3}， f（x）=2x+2﹣3×4x=4×2x﹣3×（2x）2． 令2x=t， ∵x＜1或x＞3， ∴t＞8或0＜t＜2． ∴f（t）=4t﹣3t2=﹣3t2+4t（t＞8或0＜t＜2）． 由二次函数性质可知： 当0＜t＜2时，f（t）∈（﹣4，]， 当t＞8时，f（t）∈（﹣∞，﹣160）， 当2x=t=，即x=log2时，f（x）max=． 综上可知：当x=log2时，f（x）取到最大值为，无最小值． 【点评】本题主要考查了对数函数的定义域，以指数函数的最值的求解为载体进而考查了二次函数在区间上的最值的求解，体现了转化思想在解题中的运用，是一道综合性比较好的试题． 19. 若全集U=R，函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=的值域为B，求A∪B和?U（A∩B）． 参考答案： 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题；集合思想；函数的性质及应用；集合． 【分析】求出f（x）的定义域确定出A，求出g（x）的值域确定出B，找出两集合的交集，并集，求出交集的补集即可． 【解答】解：f（x）=的定义域满足， 解得：x≥1，即A={x|x≥1}， 由函数g（x）==，得到0≤g（x）≤2， 即B={x|0≤x≤2}， ∴A∪B={x|x≥0}，A∩B={x|1≤x≤2}， 则?U（A∩B）={x|x＜1或x＞2}． 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 20. 为了了解我市特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据： 年份x 2014 2015 2016 2017 2018 特色学校y（百个） 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70   （Ⅰ）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（已知：，则认为y与x线性相关性很强；，则认为y与x线性相关性一般；，则认为y与x线性相关性较弱）； （Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并预测我市2019年特色学校的个数（精确到个）． 参考公式： ，，，，，． 参考答案： （I）相关性很强；（II），208个. 【分析】 （Ⅰ）求得，，利用求出的值，与临界值比较即可得结论；（Ⅱ）结合（Ⅰ）根据所给的数据，利用公式求出线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程； 代入线性回归方程求出对应的的值，可预测地区2019年足球特色学校的个数. 【详解】（Ⅰ），， ， ∴与线性相关性很强. （Ⅱ） ， ， ∴关于的线性回归方程是. 当时，（百个）， 即地区2019年足球特色学校的个数为208个. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②求得公式中所需数据；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 21. 斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点，交椭圆与AB两点，求弦长AB，及三角形OAB的面积． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意方程求出椭圆的右焦点坐标，写出直线l的方程，和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求得弦长，再由点到直线的距离公式求出坐标原点到直线l的距离，代入三角形面积公式得答案． 【解答】解：由+y2=1，得a2=4，b2=1， ∴c2=a2﹣b2=3，则c=． ∴椭圆的右焦点F（）， 则直线l的方程为y=x﹣． 联立，得． 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则． ∴=； O到直线AB的距离为d=． ∴． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和椭圆的位置关系的应用，是中档题． 22. 2015年春，某地干旱少雨，农作物受灾严重，为了使今后保证农田灌溉，当地政府决定建一横断面为等腰梯形的水渠（水渠的横断面如图所示），为减少水的流失量，必须减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面的面积设计为定值S，渠深为h，则水渠壁的倾斜角α（0＜α＜）为多大时，水渠中水的流失量最小？ 参考答案： 【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】作BE⊥DC于E，令y=AD+DC+BC，由已知可得y=+（0＜α＜），令u=，求出u取最小值时α的大小，可得结论． 【解答】解：作BE⊥DC于E， 在Rt△BEC中，BC=，CE=hcotα， 又AB﹣CD=2CE=2hcotα，AB+CD=， 故CD=﹣hcotα． 设y=AD+DC+BC， 则y=﹣hcotα+=+（0＜α＜）， 由于S与h是常量，欲使y最小，只需u=取最小值， u可看作（0，2）与（﹣sinα，cosα）两点连线的斜率， 由于α∈（0，）， 点（﹣sinα，cosα）在曲线x2+y2=1 （﹣1＜x＜0，0＜y＜1）上运动， 当过（0，2）的直线与曲线相切时，直线斜率最小， 此时切点为（﹣，）， 则有sinα=，且cosα=， 那么α=， 故当α=时，水渠中水的流失量最小．