2022-2023学年辽宁省抚顺市私立将军高级中学高一数学理模拟试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )
参考答案：
C
2. 已知非零向量与满足且=． 则△ABC为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
参考答案：
A
【考点】GZ：三角形的形状判断．
【分析】通过向量的数量积为0，判断三角形是等腰三角形，通过=求出等腰三角形的顶角，然后判断三角形的形状．
【解答】解：因为，
所以∠BAC的平分线与BC垂直，三角形是等腰三角形．
又因为，所以∠BAC=60°，
所以三角形是正三角形．
故选A．
3. 函数f（x）=（a2+a﹣5）logax为对数函数，则f（）等于（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣log36 D．﹣log38
参考答案：
B
【考点】对数函数的定义．
【分析】由对数函数定义推导出f（x）=log2x，由此能求出f（）．
【解答】解：∵函数f（x）=（a2+a﹣5）logax为对数函数，
∴，解得a=2，
∴f（x）=log2x，
∴f（）==﹣3．
故选：B．
4. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图（如下图所示）,则其表面积等于（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
5. 若2弧度的圆心角所对的弧长为2cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ）
A．4cm2 B．2cm2 C．4πcm2 D．1cm2
参考答案：
D
【考点】扇形面积公式．
【分析】结合弧长公式，求圆的半径，再利用扇形的面积公式，可得结论．
【解答】解：弧度是2的圆心角所对的弧长为2，所以根据弧长公式，可得圆的半径为1，
所以扇形的面积为：×2×1=1cm2，
故选D．
6. 等比数列的前项和为4,前项和为12,则它的前项和是
A.28 B.48 C.36 D.52
参考答案：
A
7. 已知集合A=﹛-2,0,2﹜,B=﹛x|x2-x-2=0﹜，则A∩B= （ ）
(A) （B）{2} （C）{0} (D) {－2}
参考答案：
B
B=﹛-1，2﹜，故AB=﹛2﹜.
8. 如果执行下面的程序框图，那么输出的（ ）.
Ａ．-2450 Ｂ．-2550 Ｃ．-2650 Ｄ．-2652
参考答案：
C
9. 如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知米，点C位于BD上，则山高AB等于()
A. 100米 B. 米 C. 米 D. 米
参考答案：
C
【分析】
设，，中，分别表示，最后表示求解长度.
【详解】设，中，，，
中，，
解得：米.
故选C.
【点睛】本题考查了解三角形中有关长度的计算，属于基础题型.
10. 对于集合A,B,若BíA不成立,则下列理解正确的是( )
A.集合B的任何一个元素都属于A B.集合B的任何一个元素都不属于A
C.集合B中至少有一个元素属于A D.集合B中至少有一个元素不属于A
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （12分）求过点A（2，﹣1），圆心在直线y=﹣2x上，且与直线x+y﹣1=0相切的圆的方程．
参考答案：
考点： 圆的切线方程．
专题： 计算题；直线与圆．
分析： 设出圆的方程，利用已知条件列出方程，求出圆的几何量，即可得到圆的方程．
解答： 设圆心为（a，﹣2a），圆的方程为（x﹣a）2+（y+2a）2=r2（2分）
则（6分）
解得a=1，（10分）
因此，所求得圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2（12分）
点评： 本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．
12. 过点A(－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________．
参考答案：
3x－y＋10＝0
设原点为O，则所求直线过点A(－3,1)且与OA垂直，又kOA＝－，∴所求直线的斜率为3，故其方程为y－1＝3(x＋3)．即3x－y＋10＝0.
13. 若，且，则的最小值为 ▲ ．
参考答案：
14. 若且，则函数的图像经过定点 ．
参考答案：
(1,0)；
15. 长方体中，,,，是棱上一动点，
则的最小值为
参考答案：
16. （5分）函数的周期是 ．
参考答案：
4π
考点： 三角函数的周期性及其求法．
专题： 三角函数的求值．
分析： 利用正弦函数的周期公式即可求得答案．
解答： ∵，
∴其周期T==4π，
故答案为：4π．
点评： 本题考查三角函数的周期性及其求法，是基础题．
17. 某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 ．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人.
图 2
参考答案：
37, 20
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）求证：平面PAB∥平面EFG；
（3）在线段PB上确定一点M，使PC⊥平面ADM，
并给出证明．
参考答案：
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： （1）由PD⊥平面ABCD，利用VP﹣ABCD=即可得出；
（2）由E，F分别是PC，PD的中点．利用三角形中位线定理可得：EF∥CD，再利用正方形性质可得EF∥AB，可得EF∥平面PAB．同理可得：EG∥平面PAB，即可证明平面PAB∥平面EFG；
（3）当M为线段PB的中点时，满足使PC⊥平面ADM．取PB的中点M，连接DE，EM，AM．可得EM∥BC∥AD，利用线面垂直的性质定理可得：AD⊥PD．利用判定定理可得AD⊥平面PCD．得到AD⊥PC．又△PDC为等腰三角形，E为斜边的中点，可得DE⊥PC，即可证明．
解答： （1）∵PD⊥平面ABCD，
∴VP﹣ABCD===．
（2）证明：∵E，F分别是PC，PD的中点．
∴EF∥CD，
由正方形ABCD，∴AB∥CD，[来源:学*科*网]
∴EF∥AB，
又EF?平面PAB，∴EF∥平面PAB．
同理可得：EG∥PB，
可得EG∥平面PAB，
又EF∩EG=E，
∴平面PAB∥平面EFG；
（3）当M为线段PB的中点时，满足使PC⊥平面ADM．
下面给出证明：取PB的中点M，连接DE，EM，AM．
∵EM∥BC∥AD，∴四点A，D，E，M四点共面，由PD⊥平面ABCD，
∴AD⊥PD．
又AD⊥CD，PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD．
∴AD⊥PC．
又△PDC为等腰三角形，E为斜边的中点，∴DE⊥PC，
又AD∩DC=D，
∴PC⊥平面ADEM，即PC⊥平面ADM．本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、菱形的性质、体积、三角形中位线定理、梯形的性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、化归与转化能力，属于中档题．
点评： 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、菱形的性质、体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、化归与转化能力，属于中档题．
19. 如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.已知米，米，记.
（1）试将污水净化管道的总长度(即的周长)表示为的函数，并求出定义域；
（2）问当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.
（提示：.）
参考答案：
解：（1）. ………3分
由于，，
所以，故.
管道的总长度，
定义域为. ………………………………………………… 6分
(2) . ……………… 8分
设，则，由于，
所以. ……………… 10分
因为在内单调递减，于是当时，取的最大值米. （此时或）.
答：当或时所铺设的管道最短，为米. ……… 12分
20. 曲线C是平面内到点F（0，1）和直线l：y=4的距离之和等于5的点P的轨迹。
（I）试判断点M（1，2），N（4，4）是否在曲线C上，并说明理由；
（II）求曲线C的方程，并画出其图形；
（III）给定点A（0，a），若在曲线C上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A对称，求实数a的取值范围。
参考答案：
（I）点N在曲线C上；（II）见解析；（III）（，4）
【分析】
（I）设，利用题目所给已知条件列方程，并用坐标表示出来，由此求得曲线C的轨迹方程.将两点坐标代入轨迹方程，由此判断出是否在曲线上.（II）化简曲线方程为，进而画出曲线图像.（III）首先考虑过平行于轴的直线，可形成一对关于点的对称点，且对称点在同一段抛物线上.当对称点在不同一段的抛物线上时，设其中一个对称点的坐标，根据中点坐标公式求得其关于点对称点的坐标，代入对应抛物线的方程，根据解的个数求得的取值范围.
【详解】解：（I）设点P（x，y），则|PF|+d=5，即.
发现点M的坐标（1，2）不满足方程，故点M不在曲线C上，而点N的坐标（4，4）满足方程，故点N在曲线C上；
（II）由得
所以
=
曲线C如图所示
（III）显然，过点A与x轴平行的直线与曲线C的两个交点关于点A对称，且这两个点在同一段抛物线上；当两个点在同一段抛物线时，也只有当这两点所在直线与x轴平行，才存在关于点A对称的两点：
当对称的两点分属两段抛物线时，不妨设其中一个点为P（x1，y1），其中y1=，且－4≤x1≤4，则其关于点A的对称点为Q（－x1，2a－y）
所以2a－y1=－+5即2a=y1－+5=－+5=+5，
考虑到直线PQ不与x轴平行，所以－4
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