2022年辽宁省沈阳市第六十五中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022年辽宁省沈阳市第六十五中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合则=（   ） （A） （B） （C） （D） 参考答案： D 试题分析：选D. 2. （A）（B）（C） （D）   参考答案： C   ，选C. 3. 已知定义在上的函数是单调函数，其部分图象如图所示，那么不等式的解集为 A．(0,+∞)      B．(－∞,0)   C．(－2, +∞)     D．(－∞,－2) 参考答案： A 4. 已知函数则，则实数的值等于（    ）  A．－3    B．－l或3    C．1    D．－3或l 参考答案： 5. 已知菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，=3，则 的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 参考答案： C 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用． 【分析】由题意画出图形，把都用表示，则答案可求． 【解答】解：如图， ∵AB=AD=4，∠DAB=60°，=3， ∴== ===9． 故选：C． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题． 6. 过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为（　　） A． B． C． D．2 参考答案： A 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：利用过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，求出A的横坐标，即可求出点A到抛物线C的焦点的距离． 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则分别过A，B作直线x=﹣2的垂线，垂足分别为D，E． ∵|PA|=|AB|， ∴3（x1+2）=x2+2，3y1=y2， ∴x1=， ∴点A到抛物线C的焦点的距离为1+=． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，解题的关键是利用抛物线的定义确定A的横坐标． 7. 执行如图所示程序框图，若输出x值为47，则实数a等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案： D 【考点】程序框图． 【分析】根据程序框图得出程序运行后输出x的值是8a+7，令8a+7=47，求出a的值． 【解答】解：模拟执行程序，可得 n=1，x=a 满足条件n≤3，执行循环体，x=2a+1，n=2 满足条件n≤3，执行循环体，x=4a+3，n=3 满足条件n≤3，执行循环体，x=8a+7，n=4 不满足条件n≤3，退出循环，输出x=8a+7． 令8a+7=47， 解得a=5． 故选：D． 8. 角的终边经过点，则的可能取值为 （A）       （B）      （C）   （D） 参考答案： D 9. 已知全集，集合，集合，那么（   ） A．         B．(0,1]      C．(0,1)      D．(1,+∞) 参考答案： A 10. 定义min{a，b}= ，在区域任意取一点P(x, y)，则x,y满足min｜x+y+4，x2+x+2y｜= x2+x+2y的概率为 A、　　 B、 　C、　　D、 参考答案： A 依题意，点所在区域的面积为，x，y满足的区域面积为，故所求概率为，故选A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知等比数列{an}中，a2＞a3＝1，则使不等式成立的最大自然数n是__________． 参考答案： 5 略 12. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是　　　　　　. 参考答案： 13. 已知二面角为60°，动点P，Q分别在面，内，P到的距离为，Q到的距离为，则P，Q两点之间距离的最小值为          ． 参考答案：   14. 设函数，若，，则对任意的实数c，的最小值为          ． 参考答案： 8 依题意可知：，整理得， ，方程表示如图一段弧AB， 可表示弧上一点到直线y=-x的距离的平方， 的最小值是8． 15. 已知等腰三角形的顶角的余弦值为，则一个底角的余弦值为                ． 参考答案： 16. （3分）函数y=3tanx的周期是　　． 参考答案： π 考点： 三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 由条件根据y=Atan（ωx+φ）的周期等于 T=，可得结论． 解答： 函数y=3tanx的周期为=π，故答案为：π． 点评： 本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Atan（ωx+φ）的周期等于 T=，属于基础题． 17. 已知α，β∈（，π），sin（α+β）=﹣，sin（β﹣）=，则cos（α+）=　　． 参考答案： ﹣ 【考点】两角和与差的余弦函数． 【分析】由已知可求α+β，β﹣的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos（α+β），cos（β﹣）的值，由cos（α+）=cos[（α+β）﹣（β﹣）]利用两角差的余弦函数公式即可计算得解． 【解答】解：∵α，β∈（，π），α+β∈（，2π），β﹣∈（，）， ∴cos（α+β）==，cos（β﹣）=﹣=﹣， ∵cos（α+）=cos[（α+β）﹣（β﹣）] =cos（α+β）cos（β﹣）+sin（α+β）sin（β﹣） =×（﹣）+（﹣）× =﹣． 故答案为：﹣． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）学校游园活动有这样一个游戏节目，甲箱子里装有3个白球、2个黑球；乙箱子里装有1个白球、2个黑球。这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在一次游戏中： ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率； （Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望. 参考答案： 解：（Ⅰ）设“在一次游戏中摸出个白球”为事件： ①；…………………………………………………………2分 ②设“在1次实验中获奖”为事件,则， 则……………………………………………2分 故…………………………………………2分； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在1次实验中获奖的概率为， 则在两次试验中获奖次数，…2分； 0 1 2 所以的分布列为：                                                                     ………………2分； 的数学期望为…………………………………2分 19. 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）设点，直线与曲线相交于两点，且，求实数的值. 参考答案： （1）， 故曲线的普通方程为. 直线的直角坐标方程为. （2）直线的参数方程可以写为（为参数）. 设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程可以得到， 所以或， 解得或或. 20. 已知长方体AC1中，AD=AB=2，AA1=1，E为D1C1的中点，如图所示． （1）在所给图中画出平面ABD1与平面B1EC的交线（不必说明理由）； （2）证明：BD1∥平面B1EC； （3）求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）连结BC1，交B1C于M，直线ME即为平面ABD1与平面B1EC的交线． （2）推导出EM∥BD1，由此能证明BD1∥平面B1EC． （3）平面B1EC上点B1作BC1的垂线，交BC1于F，过点F作直线EM的垂线，交EM于N，连结B1N，由三垂线定理知B1N⊥EM，∠B1NF就是平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的平面角，由此能求出平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值． 【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于M 则直线ME即为平面ABD1与平面B1EC的交线， 如图所示． 证明：（2）由（1）∵在长方体AC1中，M为BC1的中点， 又E为D1C1的中点， ∴在△D1C1B中EM是中位线，∴EM∥BD1， 又EM?平面B1EC，BD1?平面B1EC， ∴BD1∥平面B1EC． 解：（3）∵在长方体AC1中，AD1∥BC1， 平面ABD1即是平面ABC1D1， 过平面B1EC上点B1作BC1的垂线，交BC1于F，如图①， ∵在长方体AC1中，AB⊥平面B1BCC1，∴B1F⊥AB， ∵BC1∩AB=B，∴B1F⊥平面ABD1于F， 过点F作直线EM的垂线，交EM于N，如图②， 连结B1N，由三垂线定理知B1N⊥EM， 由二面角的平面角定义知，在Rt△B1FN中，∠B1NF就是平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的平面角， ∵长方体AC1中，AD=AB=2，AA1=1， 在平面图①中，B1F==， FM=，C1M=，C1E=1， 在平面图②中， 由△EMC1∽△FMN1，得FN===， ∴tan==2， cos． ∴平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值为． 21. （本小题满分12分） 已知数列是各项均为正数的等差数列，首项，其前项和为，数列是等比数列，首项，且． （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）令，其中，求数列的前项和． 参考答案： （Ⅰ）设的公差为，的公比为，则， 依题意有，  ………2分 解得：或（舍去），                       ……… 4分 ，．            ……… 6分 （Ⅱ） ，                      ……… 7分 令    ①    ② ①-②得：                                  ……… 9分 ，                ……… 10分 ． ……… 12分 22. (本小题满分14分) 设F为抛物线E: 的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，已知 且. (1)求抛物线方程； (2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线相交于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。 参考答案： 解；(1)由知又 所以所以所求抛物线方程为 (2)设点P（,）, ≠0.∵Y=,, 切线方程：y-=，即y= 由   ∴Q（，-1） 设M（0，）∴，∵·=0 --++=0，又，∴联立解得=1 故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M（0，1）