江苏省常州市市北郊高级中学高一数学理测试题含解析

江苏省常州市市北郊高级中学高一数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB边上的中线，G是它们的交点，则下列等式中不正确的是（　　） A． = B． = C． =﹣2 D． += 参考答案： B 【考点】96：平行向量与共线向量． 【分析】由三角形的重心定理和向量共线定理可得：，， ===，．即可判断出． 【解答】解：由三角形的重心定理可得：，， ===，． 可知：A，C，D都正确，B不正确． 故选：B． 2. （5分）设a＞1，则log0.2a，0.2a，a0.2的大小关系是（） A． 0.2a＜a0.2＜log0.2a B． log0.2a＜0.2a＜a0.2 C． log0.2a＜a0.2＜0.2a D． 0.2a＜log0.2a＜a0.2 参考答案： B 考点： 对数值大小的比较． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据指数函数，对数函数的单调性，进行比较大小即可． 解答： 当a＞1时，log0.2a＜log0.21=0， 0＜0.2a＜0.21=0.2， a0.2＞1； ∴它们的大小关系是log0.2a＜0.2a＜a0.2． 故选：B． 点评： 本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，是基础题目． 3. 如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，则 A．                          B．            C．                        D．2 参考答案： C 4. 如图，AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）?的最小值等于（　　） A．﹣ B．﹣2 C．﹣1 D．﹣ 参考答案： A 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】由题意可得+=2，从而把要求的式子化为﹣2||?||，再利用基本不等式求得||?||≤，从而求得则（+）?的最小值． 【解答】解：∵ +=2，∴（ +）?=2?=﹣2||?|， ∵||+||=||=1． 再利用基本不等式可得1≥2，故有||?||≤，﹣|?||≥﹣， ∴（+）?=﹣2||?||≥﹣， 故选：A． 【点评】本题主要考查向量在几何中的应用、以及基本不等式的应用问题，属于中档题目． 5. 定义在R上，且最小正周期为π的函数是（　　） A．y=sin|x| B．y=cos|x| C．y=|sinx| D．y=|cos2x| 参考答案： C 【考点】三角函数的周期性及其求法． 【分析】分别求出函数的最小正周期，判断即可． 【解答】解：对于A：y=sin|x|的最小正周期为2π， 对于B，y=cos|x|的最小正周期为2π， 对于C，y=|sinx|最小正周期为π， 对于D，y=|cos2x|最小正周期为， 故选：C 【点评】本题考查了三角形函数的最小正周期，属于基础题． 　 6. 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在处有一棵树与两墙的距离分别是米、4米，不考虑树的粗细．现在想用米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃．设此矩形花圃的面积为平方米，的最大值为，若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是 参考答案： C 7. 函数的图象可看成的图象按如下平移变换而得到的（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 参考答案： A 8. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为(　　) A.    B.      C.     D. 参考答案： A 略 9. 已知f（x）=，其中x≥0，则f（x）的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 参考答案： B 【考点】基本不等式． 【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】整体变形可得f（x）=x+1+﹣2，由基本不等式可得． 【解答】解：∵x≥0，∴x+1≥1， ∴f（x）== =x+1+﹣2≥2﹣2=2﹣2， 当且仅当x+1=即x=﹣1时取等号． 故选：B． 【点评】本题考查基本不等式求最值，整体凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题． 10. 函数的图像大致是  （  ）                                  A                B                      C D 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 用列举法表示为_________________. 参考答案： 略 12. 若集合M={x| x2+x-6=0}，N={x| kx+1=0}，且NM，则k的可能值组成的集合为               . 参考答案： {0，，}   13. 当且时，函数的图象必过定点                . 参考答案： 略 14. 已知x、y满足约束条件，则的最小值为__________． 参考答案： 10 【分析】 画出可行解域，分析几何意义，可以发现它的几何意义为点与可行域内点间距离的平方，数形结合找到使得的最小的点代入求值即可. 【详解】画出可行域，如图所示： 即点与可行域内点间距离的平方．显然长度最小，∴，即的最小值为10. 【点睛】本题考查了点到可行解域内的点的距离平方最小值问题，数形结合是解题的关键. 15. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则时，          ． 参考答案： ∵x＞0时，，∴当时，，， 又∵是定义在R上的奇函数，∴， ∴，∴．故答案为：．   16. 已知直线l：（m+1）x+（2m﹣1）y+m﹣2=0，则直线恒过定点　　． 参考答案： （1，﹣1） 【考点】恒过定点的直线． 【分析】直线l：（m+1）x+（2m﹣1）y+m﹣2=0，化为：m（x+2y+1）+（x﹣y﹣2）=0，联立，解出即可得出． 【解答】解：直线l：（m+1）x+（2m﹣1）y+m﹣2=0，化为：m（x+2y+1）+（x﹣y﹣2）=0， 联立，解得x=1，y=﹣1． 则直线恒过定点（1，﹣1）． 故答案为：（1，﹣1）． 17. 已知物体作直线运动，其速度v与时间t的图象如图，则有    ①物体先加速运动，后匀速运动，再减速运动；    ②当t = 0时，物体的初速度为0；    ③物体加速度分别是3，0，– 1.5；  ④当t∈（3，5）时，行驶路程是t的增函数. 以上正确的结论的序号是                          .（要求写出所有正确的序号）   参考答案： ①②③④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}和{bn}满足：，，，其中. （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）记数列{an}的前n项和为Sn，问是否存在正整数m，使得成立？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由.   参考答案： 解：（1）由（）① 得：当时，，故 当时，② ①－②得：（） ∴ 又上式对也成立 ∴ 由变形得： 由，得： ∴，故 （2）由（1）知：③ ④ ③－④得： ∴ 假设存在正整数，使得，即： 化简得： 由指数函数与一次函数的单调性知，是关于的增函数 又， ∴当时，恒有 ∴存在正整数，使得成立，且的最小值为3.   19. 已知sin α=，α∈（，π），求tan（）的值． 参考答案： 【考点】GR：两角和与差的正切函数． 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，进而利用两角差的正切函数公式即可计算得解． 【解答】解：∵sin α=，α∈（，π）， ∴，， ∴tan（）=． 20. 已知函数f（x）=2x的定义域是，设g（x）=f（2x）﹣f（x+2） （1）求g（x）的解析式及定义域； （2）若x∈，求函数g（x）的最大值和最小值． 参考答案： 【考点】指数函数的图像与性质． 【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用． 【分析】（1）代入化简即可得到g（x）的解析式，再根据复合函数定义域之间的关系即可得g（x）的定义域． （2）设2x=t，则t∈，g（t）=t2﹣4t，根据g（t）单调性求出最值，即是g（x）的最值． 【解答】解：（1）g（x）=f（2x）﹣f（x+2）=22x﹣2x+2， ∵f（x）=2x的定义域是， ∴，解得0≤x≤1， ∴g（x）的定义域为． （2）由（1）得g（x）=22x﹣2x+2， 设2x=t，则t∈， ∴g（t）=t2﹣4t， ∴g（t）在上单调递减， ∴g（t）max=g（1）=﹣3，g（t）min=g（2）=﹣4． ∴函数g（x）的最大值为﹣3，最小值为﹣4． 【点评】本题主要考查函数的定义域的求解和值域的求解，根据复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键． 21. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）． （1）若⊥，求tanx的值； （2）若与的夹角为，求x的值． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角． 【分析】（1）若⊥，则?=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值； （2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值． 【解答】解：（1）若⊥， 则?=（，﹣）?（sinx，cosx）=sinx﹣cosx=0， 即sinx=cosx sinx=cosx，即tanx=1； （2）∵||=，||==1， ?=（，﹣）?（sinx，cosx）=sinx﹣cosx， ∴若与的夹角为， 则?=||?||cos=， 即sinx﹣cosx=， 则sin（x﹣）=， ∵x∈（0，）． ∴x﹣∈（﹣，）． 则x﹣= 即x=+=． 22. （本题满分15分） （1）设对于一切都成立，求的范围. （2）若对满足不等式的所有实数t，不等式恒成立，试求x的取值范围． 参考答案： （1）  （2）