山东省济南市普集镇中心中学2022-2023学年高一数学理模拟试卷含解析

山东省济南市普集镇中心中学2022-2023学年高一数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（  ） A．90°      B．60°      C．45°      D．30° 参考答案： C 如图，当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大 取AC的中点E，则BE⊥平面DAC， 故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE ， ∴∠DBE=. 故选C.   2. 在等差数列{an}中，若，，则（  ） A. B. 1 C. D. 参考答案： C 【分析】 运用等差数列的性质求得公差d，再运用通项公式解得首项即可． 【详解】由题意知，所以. 故选C. 3. 若lgx﹣lgy=a，则=（　　） A．3a B． C．a D． 参考答案： A 【考点】对数的运算性质． 【分析】直接利用对数的性质化简表达式，然后把lgx﹣lgy2a代入即可． 【解答】解： =3（lgx﹣lg2）﹣3（lgy﹣lg2）=3（lgx﹣lgy）=3a 故选A． 4. 关于幂函数的叙述正确的是(     )  A.在(0，＋∞)上是增函数且是奇函数      B.在(0，＋∞)上是增函数且是非奇非偶函数 C.在(0，＋∞)上是增函数且是偶函数      D.在(0，＋∞)上是减函数且是非奇非偶函数 参考答案： B 5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则△ABC一定是（   ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 参考答案： C 【分析】 由，再根据余弦定理可得，即可得出是等边三角形. 【详解】解: 在中， 化简得： ，则 ，△ABC是等边三角形. 故选C. 【点睛】本题考查了余弦定理、等边三角形的判定方法.熟练掌握正弦定理和余弦定理是解此类题目的关键. 6. 若圆x2+y2﹣2x﹣2y=0上至少有三个不同点到直线l：y=kx的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A．[15°，45°] B．[15°，75°] C．[30°，60°] D．[0°，90°] 参考答案： B 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标和半径r的值，由圆A上有且仅有三个不同点到直线l：y=kx的距离为，则圆心A到直线l的距离等于r﹣，故利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的取值范围，然后根据直线斜率与倾斜角的关系，利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值即可求出直线l的倾斜角． 【解答】解：由圆x2+y2﹣2x﹣2y=0的标准方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则圆心为（1，1），半径为， 圆上至少有三个不同的点到直线l：y=kx的距离为，则圆心到直线的距离应不大于等于， ∴≤，整理得：k2﹣4k+1≤0，解得：2﹣≤k≤2+， 由tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣， tan75°=tan（45°+30°）==2+， k=tnaα，则直线l的倾斜角的取值范围[15°，75°]， 故选B． 7. 平面上三点不共线，是不同于的任意一点，若，则的形状是（　　　　） A.等腰        B.Rt            C.等腰直角        D.等边 参考答案： A 略 8. 函数y＝（x2－3x＋2）的单调递减区间是（　　） 　A．（－∞，1）        B．（2，＋∞）   C．（－∞，）      D．（，＋∞） 参考答案： B 9. 集合P＝｛x」x2－16<0｝,Q＝｛x」x＝2n，nZ｝,则P∩Q＝（    ） A.｛-2,2｝     B.｛－2，2，－4，4｝     C.｛-2，0，2｝      D.｛－2，2，0，－4，4｝ 参考答案： C 10. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是25，小正方形的面积是的值等于 （  ） A．1 B．　　　C． D．－ 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知向量垂直，垂直，则向量的夹角是____________________． 参考答案： 解析：   （1）    （2） （1）-（2）化简得  ；（3） （1）×15+（2）×8化简得；（4） 设的夹角为，则 ∴ 12. 已知向量，的夹角为，且，，则__________． 参考答案： 8 【分析】 根据向量数量积的概念，列出式子即可求出结果. 【详解】因为向量，的夹角为，且，， 所以 即，解得. 故答案为8 13. 长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是　　． 参考答案： 50π 【考点】球内接多面体；球的体积和表面积． 【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积． 【解答】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上， 所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：， 所以球的半径为：；则这个球的表面积是： =50π． 故答案为：50π． 14. 给出一系列化合物的分子式：C6H6，C10H8，C14H10，…，若该系列化合物的分子式可以无限增大，则该系列化合物分子式中含碳元素的质量分数的极限值为          %。 参考答案： 96 15. 过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是　　． 参考答案： 12 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|，由双曲线的性质能够推出|PF2|+|QF2|=8，从而推导出△PF2Q的周长． 【解答】解：由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2 ∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=4 ∴|PF2|+|QF2|﹣4=4， ∴|PF2|+|QF2|=8， ∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=8+4=12， 故答案为12． 16. 如果数列满足，，则_________　． 参考答案： 略 17. 等腰三角形一个底角的余弦为，那么顶角的余弦值为    ▲   ．  参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知{an}是公差不为0的等差数列，满足，且、、成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，求数列{bn}的前n项和Sn. 参考答案： 解：（1）设等差数列的公差为； 由题意有，即 因为，所以，解得或（舍） 所以. （2）由题意有 所以   19. (本小题满分12分)设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}． (1)若a＝1时，求A∩B，A∪B； (2)设C＝A∪B，若集合C的子集有8个，求实数a的取值集合． 参考答案： 解：(1)由集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}， B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}， 所以当a＝1时，A＝{1，3}，B＝{1，4}， 所以A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，4}． (2)因为C＝A∪B，集合C的子集有8个，所以集合C中有3个元素，而1，3，4∈C，故实数a的取值集合为{1，3，4}． 20. (本小题满分14分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3． （Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）求四棱锥P－ABCD的体积． 参考答案：   解（Ⅰ）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F． 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．2分 又因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC．………………4分 而AC∩BD＝F，所以AC⊥平面PDB． 又因为E为PB上任意一点，DE平面PBD，所以AC⊥DE．…7分 （Ⅱ）连EF．由（Ⅰ），知AC⊥平面PDB，EF平面PBD，所以AC⊥EF．……9分 S△ACE＝AC·EF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB．  …11分 S△ACE＝3，×6×EF＝3，解得EF＝1．由△PDB∽△FEB，得．由于EF＝1，FB＝4，，所以PB＝4PD，即．解得PD＝．…14分   21. (12分)  一缉私艇A发现在北偏东方向,距离12 nmile的海面上有一走私船B正以10 nmile/h的速度沿东偏南方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东的方向去追,.求追击所需的时间和角的正弦值. 参考答案： 解:  设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过  小时后在B处追上, ……1分        则有                          ……6分                             ……8分 ∴        所以所需时间2小时,                   ……12分 22. (12分)已知为方程两根. (1)求的值； (2)求的值. 参考答案： 1 （1）解由韦达定理知                                                   ·····（2分） 又                                 ·····（4分） ∴                                         ·····（6分） （2）解：原式 ＝                                                     ·····（8分）                                                                  ·····（12分） 略