山东省威海市荣成石岛实验中学高一数学理下学期期末试题含解析

山东省威海市荣成石岛实验中学高一数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，则使得都成立的取值范围是（   ） A.（0，）      B.（0，）     C.（0，）         D.（0，） 参考答案： B 2. 函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其 中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（　　） A．（k∈z） B．（k∈z） C．（k∈z） D．（k∈z） 参考答案： B 【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HM：复合三角函数的单调性． 【分析】由图象可求函数f（x）的周期，从而可求得ω，继而可求得φ，利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的递增区间． 【解答】解：|AB|=5，|yA﹣yB|=4， 所以|xA﹣xB|=3，即=3， 所以T==6，ω=； ∵f（x）=2sin（x+φ）过点（2，﹣2）， 即2sin（+φ）=﹣2， ∴sin（+φ）=﹣1， ∵0≤φ≤π， ∴+φ=， 解得φ=，函数为f（x）=2sin（x+）， 由2kπ﹣≤x+≤2kπ+， 得6k﹣4≤x≤6k﹣1， 故函数单调递增区间为（k∈Z）． 故选B 【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查复合三角函数的单调性，属于中档题． 3. 已知点在不等式表示的平面区域上运动，则的取值范围是   A、         B、      C、    D、 参考答案： C 4. 已知函数部分图象如图所示，则取得最小值时的集合为（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 由，得，得出，再由五点作图第二点，求得，得出，进而得到，利用三角函数的性质，即可求解，得到答案． 【详解】由图可知，，则，所以， 由五点作图的第二点知，，所以，所以， 则， 则，得， 所以取得最小值时的集合为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5. 若正四棱柱的底面边长为1，AB1与底面ABCD成 60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（　　） A．               B．1 C．               D． 参考答案： D 6. 将函数的图象向左平移一个单位得到图象，再将向上平移一个单位得图象，作出关于直线对称的图象，则对应的函数的解析式为（    ）   A.                     B.      C.                     D.   参考答案： B 7. 函数的定义域是(　　)         A．                    B．      C．        D． 参考答案： A 8. 函数f（x）=的图象大致为 （　　） A． B． C．     D． 参考答案： A 【考点】函数的图象． 【分析】由题意，x＜0时，函数单调递增，x≥0时，函数单调递减，即可得出结论． 【解答】解：由题意，x＜0时，函数单调递增，x≥0时，函数单调递减， 故选A． 9. 若，则                                （  ▲  ）  A               B                C                D  参考答案： B 略 10. 实数x，y满足条件，目标函数z＝3x＋y的最小值为5，则该目标函数z＝3x＋y的最大值为(　　) A．10           B．12             C．14             D．15 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则          . 参考答案： -1      12. 若函数与函数的图象有且只有一个公共点，则的取值范围是__________． 参考答案： 分和两种情况分别作图，如图所示： 当时， ∵与的图象有且只有一个交点， ∴，，又∵，∴． 当时， ∵与的图象有且只有一个交点， ∴，，又∵，∴． 综上所述，的取值范围是：． 13. 在△ABC中，AB=A=45°，C=60°,则BC=         参考答案： 略 14. 函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则_______________. 参考答案： 2 略 15. 已知直线和两个平面，β，给出下列四个命题：   ①若∥，则内的任何直线都与平行； ②若⊥α，则内的任何直线都与垂直； ③若∥β，则β内的任何直线都与平行； ④若⊥β，则β内的任何直线都与垂直． 则其中________是真命题． 参考答案： 16. 已知函数     若，则=          . 参考答案： 17. 已知向量，，则＝　　　　　　　。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cos2x)，b＝(1＋sin2x,1)，x∈R，且函数y＝f(x)的图象经过点. (1)求实数m的值； (2)求函数f(x)的最小值及此时x值的集合． 参考答案： 19. 某城市1996年底人口为92万人，人均住房面积5平方米 （1）若该城市自1997年起人口年均增长率为2%，城市规划要求到2004年末人均住房面积不少于8平方米，那么，该城市自1997年起，每年新建住房面积至少是多少万平方米？ （答案要求精确到万平方米，以下数据供选用1.02 3 ≈ 1.06，1.02 6 ≈ 1.13，1.02 8 ≈ 1.17） （2）若该城市自1997年起每年新建住房40万平方米，为了使得到2004年末时，人均住房面积不少于8平方米，那么人口年均增长率不得高于多少？ （答案要求精确到0.001，当x很小时，可用近似公式 ( 1 + x ) n ≈ 1 + n x） 参考答案： 解析：（1）1996年住房总面积是92 × 5 = 460万平方米，2004年末，人口达到92 ( 1 +) 8万人。2004年末，住房总面积至少达到92 ( 1 +) 8 × 8万平方米，这比1996年至少增加了92 ( 1 +) 8 × 8 – 460万平方米，所以从1997年到2004年这8年中每年平均至少建房≈ 50万平方米。 （2）设人口年平均增长率为x，则到2004年末，人口达到92 ( 1 + x ) 8（万人）。 2004年末，住房总面积达到92 × 5 + 8 × 40（万平方米），因为人均住房面积至少是8平方米，所以≥ 8。因为x很小，所以可用1 + 8 x代替( 1 + x ) 8，得x ≤。   20. 已知函数，，.     （Ⅰ）设，函数的定义域为，求函数的最值；     （Ⅱ）求使的的取值范围. 参考答案： 解析：（I）当时，函数为上的增函数………………3分 故，      ………………6分 （II），即， ①当时，，得．………………9分 ②当时，，得．………………13分 21. 已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，﹣）． （1）求双曲线方程； （2）若点M（3，m）在此双曲线上，求?． 参考答案： 【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）设双曲线方程为x2﹣y2=λ，λ≠0，由双曲线过点（4，﹣），能求出双曲线方程． （2）由点M（3，m）在此双曲线上，得m=．由此能求出?的值． 【解答】解：（1）∵双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x， ∴设双曲线方程为x2﹣y2=λ，λ≠0， ∵双曲线过点（4，﹣）， ∴16﹣10=λ，即λ=6， ∴双曲线方程为=1． （2）∵点M（3，m）在此双曲线上， ∴=1， 解得m=． ∴M（3，），或M（3，﹣）， ∵F1（﹣2，0），， ∴当M（3，）时， =（﹣2﹣3，﹣），=（，﹣）， ?=﹣12﹣6=0； 当M（3，﹣）时， =（﹣2﹣3，），=（，）， ?=﹣12﹣6+6+9+3=0． 故?=0． 【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用． 22. 某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）． （1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值； （2）估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均分； （3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的频率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；众数、中位数、平均数． 【分析】（1）由样本容量和频数频率的关系易得答案； （2）根据平均数的定义和中位数的定义即可求出． （3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，列举法易得 【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n==50，y==0.004，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030； （2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，平均分为， 则[0.016+0.03+（m﹣70）×0.040]×10=0.5，解得m=71， =（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6， （3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5， 分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种， 分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3）， （a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1）， （a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）． 其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为： （a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5）， （a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）． ∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率P=1﹣=