吉林省四平市梨树县树文中学2022年高一数学理期末试题含解析

吉林省四平市梨树县树文中学2022年高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知直线, , 若，则实数的值是 A．1        B．2 C．3     D．4 参考答案： C 2. 设集合，则等于（    ）． A． B． C．        D． 参考答案： C 本题主要考查集合的运算， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以． 故本题正确答案为． 3. 函数y=的定义域是（    ）     A.{0|02} 参考答案： B 4. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，，则角C的最大值为（    ） A．60°         B．90°       C．120°         D．150° 参考答案： C 5. 已知函数f(n)= ，其中n∈N，则f(8)等于（   ） A.2　　　　　　B.4　　　　　　C.6　　　　　　D.7 参考答案： D 6. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是：(    ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 参考答案： A 略 7. 使函数f（x）=cos（2x+θ）+sin（2x+θ）为奇函数，且在[0，]上是减函数的一个θ值是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】两角和与差的正弦函数． 【分析】先利用正弦的两角和公式对函数解析式化简，进而根据正弦函数的性质求得θ的集合，根据单调性确定θ的值． 【解答】解：f（x）=cos（2x+θ）+sin（2x+θ）=2[cos（2x+θ）+sin（2x+θ）]=2sin（2x+θ+）， ∵函数f（x）为奇函数， ∴θ+=kπ，k∈Z，即θ=kπ﹣， ∵在[0，]上是减函数， ∴θ=kπ﹣，（k为奇数）， ∴为θ的一个值， 故选D． 【点评】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，三角函数的化简求值．考查了学生分析和推理能力和数形结合思想的灵活运用． 8. 已知sinα=，且α是第二象限角，那么tanα的值为 （ ） A． B． C． D．   参考答案： A 9. 与函数的定义域相同的函数是（    ）． A．    B．    C．    D． 参考答案： C 函数的定义域为， ．中定义域为； ．中定义域为； ．中定义域为； ．中定义域为． 故选． 10. 不等式cosx<0，x∈[0,2π]的解集为(　　) A. B. C. D. 参考答案： A 方法一： 由函数y＝cos x的图象知，在[0，2π]内使cos x＜0的x的范围是． 故不等式的解集为．选A 方法二： 由得，， 又， 所以． 故不等式的解集为．选A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. =         ． 参考答案： 【考点】对数的运算性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用指数与对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出． 【解答】解：原式=lg5+lg2+﹣ =1+﹣ =． 故答案为：． 【点评】本题考查了指数与对数的运算法则、lg2+lg5=1，属于基础题． 12. 函数上的最大值与最小值的和为3，则       参考答案： 2 13. 二次函数的图象如图，则     0；     0；      0；     0。（填“”或“”、“”） 参考答案： 略 14. 已知数列为 ；其前n项和为_____________. 参考答案： . 【分析】 将数列的通项化简，将其裂项，利用裂项求和法求出前项和。 【详解】，设该数列的前项和为， 因此，， 故答案为：。 【点睛】本题考查数列的裂项求和法，要熟悉裂项求和法对数列通项的基本要求，同时要注意裂项法求和的基本步骤，考查计算能力，属于中等题。 15. （16）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于          。    参考答案： 20 略 16. 已知集合，则实数a的值是________. 参考答案： 0 【分析】 根据可以知，即可得出实数a的值. 【详解】， ， ，解得或1，时不满足集合元素的互异性， 舍去， . 故答案为：0. 【点睛】本题主要考查的是集合间的关系，是基础题. 17. 若函数y=f（x）是函数y=ax（a＞0且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f（x）=　　． 参考答案： 【考点】反函数． 【分析】我们知道：指数函数y=ax（a＞0且a≠1）与对数函数y=logax互为反函数，又其图象经过点（，a），据此可求的a的值． 【解答】解：∵函数y=ax的反函数是f（x）=logax，又已知反函数的图象经过点（，a）， ∴a=loga，即a=， 故答案是：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题12分） 设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且． （Ⅰ）求角的大小；  （Ⅱ）若角，边上的中线的长为，求的面积． 参考答案： 解：（Ⅰ）∵，∴． 即． ∴．…………………….3分  则，∴，因为则．………….6分  （Ⅱ）由（1）知，所以，，     设，则，又       在中由余弦定理得……….8分 即 解得故…12分 略 19. （本小题满分12分） 对定义域分别是Df、Dg的函数y= f(x)，y= g(x)， 定义一个函数h(x)：. （Ⅰ）若，，写出函数h(x)的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）当，时，若函数有 四个零点，分别为，求的取值范围.   参考答案： 解：（Ⅰ）由于 ，，依题意可得 当时，                        ； 当时，， 所以.  ……………………………………………………4分 （Ⅱ）由(Ⅰ)可得时，， 当，， 的最大值为． 又恒成立，恒成立，等价于． 实数的取值范围是．……………………………8分 （Ⅲ）依题意可得 不妨设，结合图像知，且，， 由得，所以，且， 当时递增，所以， 故的取值范围是．……………………………………………12分   20. （本题满分12分，第(1)题2分，第(2)题4分，第（3）题6分）  某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①；②； ③；④； ⑤. (1) 利用计算器求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，请你写出一个三角恒等式，使得上述五个等式是这个恒等式的特殊情况； （3）证明你写出的三角恒等式. 参考答案： 21. 在平面直角坐标系中，已知圆的方程为：，直线的方程为． （）当时，求直线被圆截得的弦长． （）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程． （）在（）的前提下，若为直线上的动点，且圆上存在两个不同的点到点的距离为，求点的横坐标的取值范围． 参考答案： （）． （）． （）． （）圆的方程为，圆心，半径． 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离， 弦长． （）∵圆心到直线的距离 ， 设弦长为，则， 当所截弦长最短时，取最大值， ∴，令， ． 令 ， 当时，取到最小值． 此时，取最大值，弦长取最小值， 直线上方程为． （）设， 当以为圆心，为半径画圆，当圆与圆刚好相切时， ， 解得或， 由题意，圆与圆心有两个交点时符合题意， ∴点横坐标的取值范围为． 22. 在平面直角坐标系中，已知点和． （）若，是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程． （）若，是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标． 参考答案： （）和． （）另外一条对角线为，端点为和． （）∵，， ，， 与直线垂直的直线斜率，， 整理得所求两条直线为和． （）∵直线方程为：， 另外一条对角线斜率， 设中点为，则另一条对角线过点， ∴，整理得， 设另外两个端点坐标分别为，， ∵在直线上， ∴，① 且， ∴，② 联立①②解出或， 即另外两个端点为与．