北京第209中学2022-2023学年高一数学理期末试题含解析

北京第209中学2022-2023学年高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（　　） A．860 B．720 C．1020 D．1040 参考答案： D 【考点】B3：分层抽样方法． 【分析】先求得分层抽样的抽取比例，根据样本中高二被抽取的人数为30，求总体． 【解答】解：由已知条件抽样比为，从而，解得n=1040， 故选：D． 2. 从2009名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面方法选取：先用简单随机抽样从2009人中剔除9人，剩下的2000人，再按系统抽样的方法抽取50人，则在2009人中，每个人入选的机会（    ）． A．都相等，且为      B．不全相等    C．均不相等      D．都相等，且为 参考答案： A 3. 集合{1，2，3}的真子集共有(　　) A． 5个        B． 6个         C． 7个       D． 8个 参考答案： C 4. 设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是(     ) A．﹣2≤t≤2 B． C．t≥2或t≤﹣2或t=0 D． 参考答案： C 考点：奇偶性与单调性的综合． 专题：探究型． 分析：奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1，由此可以得到1≤t2﹣2at+1，因其在a∈[﹣1，1]时恒成立，可以改变变量，以a为变量，利用一次函数的单调性转化求解． 解答：解：奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1， ∴1≤t2﹣2at+1， 当t=0时显然成立 当t≠0时，则t2﹣2at≥0成立，又a∈[﹣1，1] 令r（a）=﹣2ta+t2，a∈[﹣1，1] 当t＞0时，r（a）是减函数，故令r（1）≥0，解得t≥2 当t＜0时，r（a）是增函数，故令r（﹣1）≥0，解得t≤﹣2 综上知，t≥2或t≤﹣2或t=0 故选C． 点评：本题是一个恒成立求参数的问题，此类题求解的关键是解题中关系的转化，本题借助单调性确定最值进行转化，这是不等式型恒成立问题常用的转化技巧 5. 已知非空数集，则实数的取值范围为（   ） A． B．               C． D． 参考答案： D 6. 已知为圆的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形面积的最大值为（    ） （A）5    （B）10    （C）15    （D）20 参考答案： A 7. （5分）设α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，则α+β的值为（） A． B． C． D． 或 参考答案： C 考点： 两角和与差的正弦函数． 专题： 计算题；三角函数的求值． 分析： 依题意，可求得cosα=﹣，sinβ=，利用两角和的余弦可求得cos（α+β）的值，从而可得答案． 解答： ∵α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣， ∴cosα=﹣，sinβ=， ∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ =﹣×（﹣）﹣× =， 又α﹑β为钝角， ∴α+β∈（π，2π）， ∴α+β=． 故选：C． 点评： 本题考查两角和的余弦，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题． 8. 在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（　　） A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C． D． 参考答案： C 【考点】74：一元二次不等式的解法． 【分析】此题新定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y），由题意（x﹣a）⊙（x+a）=（x﹣a）（1﹣x﹣a），再根据（x﹣a）⊙（x+a）＜1，列出不等式，然后把不等式解出来． 【解答】解：∵（x﹣a）⊙（x+a）＜1 ∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1， 即x2﹣x﹣a2+a+1＞0 ∵任意实数x成立， 故△=1﹣4（﹣a2+a+1）＜0 ∴， 故选C． 9. 数列1，3，6，10，15，…的通项 等于（　　　 ） 　　A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 参考答案： 解析：由 ＝3否定B,D;　　由 ＝6否定A，　　故应选C. 10. 已知各项均为正数的等比数列满足,若存在两项 使得的最小值为 （　　） A．         B． C． D．9 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过P(1,2)的直线l把圆分成两个弓形，当其中劣孤最短时直线l的方程为_________. 参考答案： 【分析】 首先根据圆的几何性质，可分析出当点是弦的中点时，劣弧最短，利用圆心和弦的中点连线与直线垂直，可求得直线方程. 【详解】当劣弧最短时，即劣弧所对的弦最短， 当点是弦的中点时，此时弦最短，也即劣弧最短， 圆：，圆心， , , 直线方程是，即， 故填：. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的几何性质，属于基础题型. 12. 关于函数有下列命题： ①由可得必是的整数倍 ②由的表达式可改写为 ③的图像关于点对称 ④的图象关于直线对称.    其中正确命题的序号是_________. 参考答案： 2,3. 13. 若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为    ▲    ．   参考答案： 0或4 ∵圆 ∴圆心为：（0，），半径为：2 圆心到直线的距离为： ∵， 即， ∴a=4，或a=0．   14. 下图的三视图表示的几何体是_____________. 参考答案： 略 15. 设为不等式组所表示的平面区域，为不等式组所表示的平面区域，其中，在内随机取一点，记点在内的概率为． （1）若，则__________． （2）的最大值是__________． 参考答案： ； 解：由题意可得，当时，如图，， 如图，当取得最大值时，最大，最大值为． 16. 与，两数的等比中项是　　． 参考答案： ±1 【考点】8G：等比数列的性质． 【分析】要求两数的等比中项，我们根据等比中项的定义，代入运算即可求得答案． 【解答】解：设A为与两数的等比中项 则A2=（）?（） =1 故A=±1 故答案为：±1 17. P为圆x2+y2=1的动点，则点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最大值为　　． 参考答案： 3 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣10=0的距离等于=2，用2加上半径1，即为所求． 【解答】解：圆x2+y2=1的圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣10=0的距离等于=2， 故圆x2+y2=1上的动点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最大值为2+1=3， 故答案为：3． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分13分，第1问6分，第2问7分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为， （Ⅰ）从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于的概率； （Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为，求的概率. 参考答案： （Ⅰ）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4， 2和3，2和4，3和4，共6个.                                …………………………2分 从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个. 因此所求事件的概率为.                             …………………………6分    （Ⅱ）先从袋中随机取一个球，记下编号为，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为，其一切可能的结果有：    （1,1）（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）（3,2）, （3,3） （3,4）,（4,1） （4,2），（4,3）（4,4），共16个                                 …………………………8分 有满足条件的事件为（1,3），（1,4），（2,4）共3个 所以满足条件 的事件的概率为. 故满足条件的事件的概率为.    …………………………13分 19. （本大题满分14分） 设集合，集合，      （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 参考答案： （1） …………………………………………………………（7′） (2)      …………………………………………………………（14′） 20. （本小题满分13分） 　　设等差数列的首项及公差d都为整数，前n项和为Sn. 　　（1）若，求数列的通项公式； 　　（2）若　求所有可能的数列的通项公式. 参考答案： （Ⅰ）由 　　　　　又 　　　　　故解得 　　　　　因此，的通项公式是1，2，3，…， 　　　　　（Ⅱ）由　得 　　　　　即 　　　　　由①+②得－7d<11，即 　　　　　由①+③得, 即, 　　　　　于是　又，故. 　　　　　将4代入①②得 　　　　　又，故 　　　　　所以，所有可能的数列的通项公式是 　　　　　1，2，3，…. 略 21. 设关于的不等式的解集为，不等式的解集为.（Ⅰ）当时,求集合；（Ⅱ）若,求实数的取值范围. 参考答案： (Ⅰ)当时,  由已知得.            解得.                                        所以.  (Ⅱ) 由已知得.     ①当时, 因为，所以. 因为，所以，解得      ②若时, ，显然有，所以成立      ③若时, 因为，所以.      又，因为，所以,解得      综上所述,的取值范围是.   22. 设的内角所对的边长分别为，且，． （Ⅰ）求边长；（Ⅱ）若的面积，求的周长． 参考答案： （1）， ，两式相除，得 ……1分 ， 即 ……3分 ，     ……5分 （2）由得 ……7分 又，得 ……9分 故周长 ……10分