福建省泉州市河洛中学高二数学理联考试题含解析

福建省泉州市河洛中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 抛物线在处的切线与轴及该抛物线所围成的图形（图中阴影部分）面积为(    ) A． B． C．1 D．2 参考答案： A 2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a=（　　） A．﹣3 B．﹣ C．﹣6 D． 参考答案： C 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【专题】计算题． 【分析】由于直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，故它们的斜率相等，故有﹣=3，由此解得a的值． 【解答】解：由于直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，故它们的斜率相等，故有﹣=3，解得 a=﹣6， 故选C． 【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等，属于基础题． 3. 圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，3）的圆的方程为（　　） A．x2+（y﹣3）2=1 B．x2+（y+3）2=1 C．（x﹣3）2+y2=1 D．（x+3）2+y2=1 参考答案： A 【考点】圆的标准方程． 【分析】设出圆心坐标，利用半径为1，且过点（1，3），即可求得结论． 【解答】解：设圆心坐标为（0，a）， ∵圆的半径为1，且过点（1，3）， ∴（0﹣1）2+（a﹣3）2=1 解得a=3 ∴所求圆的方程为x2+（y﹣3）2=1 故选A． 4. 圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（　　） A．﹣ B．﹣ C． D．2 参考答案： A 【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式． 【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案． 【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4）， 故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1， 解得：a=， 故选：A． 5. 已知i为虚数单位, 若复数i，i，则 (    )    A．i      B. i     C. i           D．i 参考答案： A 略 6. 在同一坐标系中，方程与的曲线大致是 参考答案： D 略 7. 某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为 A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 由题意可知，选手射击属于独立重复事件，属于二项分布，按照二项分布求概率即可得到答案. 【详解】设为击中目标的次数，则，从而这名射手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为．选A. 【点睛】本题考查独立重复事件发生的概率，考查二项分布公式的运用，属于基础题. 8. 已知数列{an}中，，（n∈N+），则在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是（　　） A．a1，a50 B．a1，a8 C．a8，a9 D．a9，a50 参考答案： C 【考点】数列的函数特性． 【分析】令=1+，根据，，我们易判断数列各项的符号及单调性，进而得到答案． 【解答】解：∵ =1+，（n∈N+）， ∵，， ∴数列的前8项小于1且递减，从第9项开始大于1且递减， 故数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是a8，a9． 故选C． 9. 是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，则的值为（    ） A.  33               B.33或1              C. 1                 D. 25或9 参考答案： A 10. 在与之间插入个数，使这十个数成等比数列，则插入的这个数之积为（     ） A.              B.                 C. D. 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知i是虚数单位，且，则__________． 参考答案： 由题意可得： .   14.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，将极坐标方程化为直角坐标方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用极坐标化为直角坐标的转化公式求解. 【详解】因为，所以 由于，所以可得. 【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的转化，熟记转化公式是求解关键，一般直角坐标化为极坐标利用公式可得，利用公式及点的位置可得；极坐标化为直角坐标时一般利用来实现. 12. 给定下列命题： ①“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实数根”的逆否命题； ②“若A=B，则sinA=sinB”的逆命题； ③“若2”的逆否命题； ④“若xy=0，则x，y中至少有一个为零”的否命题． ⑤“若”的逆命题． 其中真命题的序号是            ． 参考答案： ①③④ 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】转化思想；简易逻辑． 【分析】①由方程x2+2x﹣k=0有实数根，则△=4+4k≥0，解得k的范围，即可判断出真假，进而判断出其逆否命题具有相同的真假性； ②原命题的逆命题为“若sinA=sinB，则A=B”，举例：取A=2π，B=π，即可判断出真假； ③由，可得b＜a＜0，可得b2＞ab，即可判断出真，进而其逆否命题具有相同的真假性； ④原命题的逆命题为：“若x，y中至少有一个为零，则xy=0”是真命题，进而得到原命题的否命题具有相同的真假性． ⑤原的逆命题为“若a＜b＜0，则＞”，举例：取a=﹣2，b=﹣1，﹣2＜﹣1＜0，即可判断出真假． 【解答】解：①由方程x2+2x﹣k=0有实数根，则△=4+4k≥0，解得k≥﹣1，因此“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实数根”是真命题，其逆否命题也是真命题； ②“若A=B，则sinA=sinB”的逆命题为“若sinA=sinB，则A=B”，是假命题例如：取A=2π，B=π； ③由，可得b＜a＜0，∴b2＞ab，因此“若2”是真命题，其逆否命题也是真命题； ④“若xy=0，则x，y中至少有一个为零”的逆命题为：“若x，y中至少有一个为零，则xy=0”是真命题，因此原命题的否命题也是真命题． ⑤“若”的逆命题为“若a＜b＜0，则＞”是假命题，例如：取a=﹣2，b=﹣1，﹣2＜﹣1＜0，但是＜． 其中真命题的序号是 ①③④． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、命题之间真假性的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13. 设曲线C的参数方程为（是参数，），直线l的极坐标方程为，若曲线C与直线l只有一个公共点，则实数a的值是__________． 参考答案： 7 曲线的普通方程为，直线的普通方程，直线与圆相切，则圆心（）到的距离. 14. 一个球与正四面体的各个棱都相切，且球的表面积为8 π，则正四面体的棱长为         。 参考答案： 4 15.   1、已知ｘ，ｙ满足，则2ｘ＋ｙ的最大值为________ 参考答案： 10 16. 设P为双曲线上的一点，是双曲线的两个焦点，若, 则的面积是_______。    参考答案： 6 17. “，”的否定是____________． 参考答案： ，使得 【分析】 直接利用全称命题的否定得解. 【详解】“，”的否定是：“，使得” 【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某养鸡场为检验某种药物预防某种疾病的效果，取100只鸡进行对比试验，得到如下列联表（表中部分数据丢失，，，，，，表示丢失的数据）：   患病 未患病 总计 未服用药 a b 50 服用药 15 d g 总计 e f 100   工作人员记得. （1）求出列联表中数据，，，，，的值； （2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效？ 参考公式：，其中 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 参考答案： （1）因为，. 所以，. 由，，得，. 所以，，. （2）由（1）可得 . 因此，在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效. 19. （本小题13分）已知函数，其中自然对数的底数。 （1）求函数的单调区间 （2）设函数。当时，存在使得成立，求的取值范围。 命题意图：考查导数的应用、图像的细致分析。本题考查的解题模式不是常见的将函数相减构造新的函数，而是两侧独立求最值，这是题型之一，可完整学生对题型的认识。另，本题考核存在性，与前面考核恒成立相对应，形成完整的题型考核。 参考答案： （1）当时，，则在R上单增，无单减区间 当时，由得      如＜0，由＞0可得＜，＜0可得＞ 的单增区间为，单减区间为      如＞0，由＞0可得＞，＜0可得＜ 的单增区间为，单减区间为…………………………6分 （2）当时，由（1）可知在区间上单增，在区间上单减   则…………………………8分 由知 易知在区间上单减，在区间上单增。 则…………………………11分 则存在使得成立等价于 即，即…………………………13分 20. 已知数列{an}满足，，， （1）求，，的值，并猜想{an}的通项公式； （2）求证：分别以，，为边的三角形不可能为直角三角形。 参考答案： （1），，；；（2）证明见解析 【分析】 （1）利用递推关系式，依次代入即可求得，，；通过观察前三项的数字规律得到的通项公式；（2）采用反证法，假设可构成直角三角形，根据勾股定理构造关于的方程，求得结果后与已知矛盾，可知假设错误，从而证得结论. 【详解】（1）令，则 令，则    令，则    （2）证明：假设以，，为边的三角形是直角三角形     为直角三角形的斜边 ，解得：或 两根均为负数，与已知矛盾 假设不成立，原命题成立 即：以，，为边的三角形不可能为直角三角形 【点睛】本题考查根据递推关系式求解数列中的项和猜想通项公式、反证法证明的问题.利用反证法的关键是假设成立后，根据已知条件构造等量关系，得到与已知相矛盾的结论，从而证得结论.   21. （本题满分12分）如图，四面体的各棱长均为，分别是的中点． （1）证明：线段是异面直线与的公垂线段； （2）求异面直线与的距离． 参考答案： （1）连结． 由为等边三角形，为的中点， ．又为的中点， ．同理，． 又与都相交，故线段是异面直线与的公垂线段． （2）在中，   故异面直线与的距离为． 22. （本题满分14分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点． （1）求证：EF∥平面CB1D1； （2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1． 参考答案： 证明（1）证明:连结BD.在长方体中，对角线. 又 E、F为棱AD、AB的中点， .  .  又B1D1平面，平面，  EF∥平面CB1D1. （2）因为 在长方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1， AA1⊥B1D1.又因为在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，  B1D1⊥平面CAA1C1.    又因为B1D1平面CB1D1，平面CAA1C1⊥平面CB1D1