天津三岔口中学高一数学文测试题含解析

天津三岔口中学高一数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 使成立的x的一个变化区间是（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 先化简已知得，再解不等式即得解. 【详解】由题得. 所以 当时， 因为. 故选： 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2. 算法：此算法的功能是(    ) A．输出a，b，c 中的最大值 B．输出a，b，c 中的最小值 C．将a，b，c 由小到大排序 D．将a，b，c 由大到小排序 参考答案： 略 3. 下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是(　　) A．3                                B．2 C．1                                D．0 参考答案： A 4. 已知关于x的方程(x2－2x+m)(x2－2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝(  ) A．           B．               C．               D．1 参考答案： A 略 5. 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 参考答案： B 作出函数的图像： ∵易知与相交于， ∴由图可知解集为，选择． 6. （5分）已知样本： 10    8    6    10    13    8    10    12    11    7 8     9    11    9    12    9    10    11    12    12 那么频率为0.3的范围是（） A． 5.5～7.5 B． 7.5～9.5 C． 9.5～11.5 D． 11.5～13.5 参考答案： B 考点： 频率分布表． 专题： 计算题． 分析： 根据已知数据，求出样本容量及各组的频数，进而根据频率=，计算出各组的频率，进而比照四个中的频率，可得结论 解答： 由已知可和样本数据的样本容量为20 其中在5.5～7.5的频数为：2，其频率为0.1，故A不正确； 其中在7.5～9.5的频数为：6，其频率为0.3，故B正确； 其中在9.5～11.5的频数为：7，其频率为0.35，故C不正确； 其中在11.5～13.5的频数为：5，其频率为0.25，故D不正确； 故选B 点评： 本题考查的知识点是频率分布表，其中掌握公式频率=，是解答的关键 7. 在平面直角坐标系xOy中，点P在圆上运动，则的最小值为（    ） A. B. 6 C. D. 参考答案： A 【分析】 根据圆的方程、可知，从而得到，进而根据比例关系得到，将问题转化为求解的最小值的问题，可知当为线段与圆的交点时，取最小值，两点间距离公式求得即为所求最小值. 【详解】为圆上任意一点，圆的圆心，半径，如下图所示， ，，        ，即    又（当且仅当为线段与圆的交点时取等号） ，即的最小值为 本题正确选项： 【点睛】本题考查圆的问题中的距离之和的最值问题的求解，关键是能够通过比例关系将转化为，进而变为两个线段的距离之和的最小值的求解，利用三角形三边关系可知三点共线时取最小值，属于较难题. 8. 已知非零向量 则△ABC为（      ） A．等边三角形                                        B．直角三角形 C．等腰非等边三角形                                  D．三边均不相等的三角形 参考答案： A 略 9. 二次不等式的解集为空集的条件是  （      ） A.           B.        C.            D. 参考答案： A 略 10. 则在下列区间中，使函数有零点的区间是 A.         B.           C.         D. 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知为单位向量，与的夹角为，则在方向上的投影为_________． 参考答案： -2 12. 一个长为8cm，宽为6cm，高为10cm的密封的长方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，则小球在盒子中总不能到达的空间的体积为　　cm3． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积． 【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何． 【分析】小球在盒子不能到达的空间要分以下几种情况，在长方体顶点处的小正方体中，其体积等于小正方体体积减球的体积，再求出在以长方体的棱为一条棱的12个的四棱柱空间内小球不能到达的空间，其他空间小球均能到达，即可得到结果． 【解答】解：在长方体的8个顶点处的单位立方体空间内， 小球不能到达的空间为：8[1﹣]=8﹣， 除此之外，在以长方体的棱为一条棱的12个的四棱柱空间内， 小球不能到达的空间共为4[1×1×6+1×1×4+1×1×8﹣]=72﹣18π． 其他空间小球均能到达． 故小球不能到达的空间体积为． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点是球的体积，棱柱的体积，其中熟练掌握棱柱和不堪的几何特征，建立良好的空间想象能力是解答本题的关键． 13. 已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值为          ． 参考答案： －6 建立如图所示的平面直角坐标系，则，设， ∴ ， 易知当时，取得最小值－6. 故答案为－6．   14. 已知是定义在上的偶函数，并且，当时，，则_________________． 参考答案： 2.5 15. 设函数，则的值为         . 参考答案：    16. 在△ABC中，点M，N满足，若，则x＝________，y＝________. 参考答案：     特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，. 考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题. 17. 已知向量和满足，7，则向量和的夹角为______ 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}满足（，且），且，设，，数列{cn}满足 （1）求证：数列是等比数列并求出数列{an}的通项公式； （2）求数列{cn}的前n项和Sn； （3）对于任意，，恒成立，求实数m的取值范围. 参考答案： (1)见解析（2）(3) . 【分析】 （1）将式子写为：得证，再通过等比数列公式得到的通项公式. （2）根据（1）得到进而得到数列通项公式，再利用错位相减法得到前n项和. （3）首先判断数列的单调性计算其最大值，转换为二次不等式恒成立，将 代入不等式，计算得到答案. 【详解】（1）因为， 所以，， 所以是等比数列，其中首项是，公比为， 所以，. （2）， 所以， 由（1）知，，又， 所以. 所以， 所以两式相减得     . 所以. （3） ，所以当时，， 当时，，即， 所以当或时，取最大值是. 只需， 即对于任意恒成立，即 所以. 【点睛】本题考查了等比数列的证明，错位相减法求前N项和，数列的单调性，数列的最大值，二次不等式恒成立问题，综合性强，计算量大，意在考查学生解决问题的能力. 19. （12分）已知直线l1：2x﹣ay+1=0，直线l2：4x+6y﹣7=0． （1）若l1∥l2，求 a的值； （2）若l1与l2相交，交点纵坐标为正数，求a的范围． 参考答案： 考点： 直线的一般式方程． 专题： 直线与圆． 分析： （1）因为l1∥l2，由A1B2﹣A2B1=0，能求出a的值． （2）联立方程组，得y=，a≠﹣3，由已知得2a+6＞0，由此能求出a的范围． 解答： （1）因为l1∥l2，由A1B2﹣A2B1=0， 得2×6﹣（﹣a）×4=0， 解得a=﹣3．（6分） （2）联立方程组， 解得y=，a≠﹣3．（8分） 由已知得2a+6＞0，解得a＞﹣3．（11分） 即a的范围为（﹣3，+∞）．（12分） 点评： 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用． 20. 如图，函数y=2sin(πx＋φ),x∈R,(其中0≤φ≤)的图象与y轴交于点（0，1）。(Ⅰ)求φ的值；(Ⅱ)若，求函数y=2sin(πx＋φ)的最值，及取得最值时的值；(Ⅲ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求的余弦值。 参考答案： 解：（1）由已知，又     2分 （2）                                       3分                              5分                               7分 （3）设的夹角为 由已知                           8分                               9分   10分 略 21. 不使用计算器，计算下列各题： （1）（log3）2+?log43； （2）log3+lg25+lg4+7+（﹣9.8）0． 参考答案： 【考点】对数的运算性质． 【专题】计算题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用． 【分析】（1）（2）利用指数与对数的运算性质即可得出． 【解答】解：（1）原式=+ =+ =+ =1． （2）原式=+lg（25×4）+2+1 =+2+3 =． 【点评】本题考查了指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22. 已知函数。 （1）若的最小值为，求实数的值； （2）若不存在实数组满足不等式，求实数的取值范围。 参考答案： （1） ， 令，则， 当时，无最小值，舍去； 当时，最小值不是，舍去； 当时，，最小值为， 综上所述，。                 由题意，对任意恒成立。  当时，因且， 故，即； 当时，，满足条件； 当时，且，故，； 综上所述，         略