2022年山西省忻州市韩家川中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年山西省忻州市韩家川中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，则（   ） A．               B．           C．           D． 参考答案： B 2. 函数的单调递减区间是   A.     B.     C.     D. 参考答案： D 3. 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的a0，a1，a2，…，an分别为0，1，2，…，n，若n=5，根据该算法计算当x=2时多项式的值，则输出的结果为（　　） A．248 B．258 C．268 D．278 参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能求出当x=2时的值，即可得解． 【解答】解：该程序框图是计算多项式f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=2时的值， 而f（2）=258， 故选：B． 4. 按如下程序框图，若输出结果为，则判断框内应补充的条件为 A．        B．        C．        D．   参考答案： C 第一次循环有.第二次循环有.第三次循环有。第四次循环有，此时为输出结果，说明满足条件，故条件为或，所以选C. 5. 为了迎接党的十八大胜利召开，北京某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是。 (A)1205秒    (B)1200秒      (C)1195秒        (D)1190秒 参考答案： C 6. 命题“”的否定是 (A) (B) (C) (D) 参考答案： D 略 7. 已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则￢p为(     ) A．?x∈R，sinx≥1 B．?x∈R，sinx≥1 C．?x∈R，sinx＞1 D．?x∈R，sinx＞1 参考答案： C 【考点】命题的否定． 【专题】简易逻辑． 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为?x∈R，使得sinx＞1 【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得， 命题p：?x∈R，sinx≤1，的否定是?x∈R，使得sinx＞1 故选：C 【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题的之间的关系的应用，属于基础试题 8. 已知函数则                                A．            B．             C．              D． 参考答案： B 9. 已知双曲线C：过点，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是（   ） A．                          B． C.                           D． 参考答案： C 由双曲线：过点，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得：，解得：， ∴双曲线的标准方程是 故选：C   10. 设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为（　　） A．-3     B．2         C．4                   D．5 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列{an}中，Sn是前n项和，且Sn=2an+1，则数列的通项an=________． 参考答案： ﹣2n﹣1 略 12. 设、满足约束条件目标函数的最大值等于            ． 参考答案： 试题分析：根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，经过分析，可知该题中所求的最优解为，所以目标函数的最大值为. 考点：线性规划. 13. 关于方程表示的圆,下列叙述中:①关于直线x+y=0对称;②其圆心在x轴上;③过原点④半径为.其中叙述正确的是＿＿＿＿（要求写出所有正确命题的序号） 参考答案： ①③④ 14. 已知，函数若函数在上的最大值比最小值大，则的值为 . 参考答案： 当时，函数的最大值是1，最小值是，则， 得；当时，函数的最大值是，最小值是，则，此种情况不成立；当时，函数的最大值是，最小值是1，则，得 ，综上得。 15. 若正数a，b满足，则的最小值为　  　． 参考答案： 2 【考点】基本不等式． 【分析】由条件可得则=， =，代入所求式子，再由基本不等式，即可得到最小值，注意等号成立的条件 【解答】解：正数a，b满足， 则=1﹣=，或=1﹣= 则=， 由正数a，b满足，则=1﹣=， 则=， =+≥2=2，当且仅当a=b=3时取等号， 故的最小值为2， 故答案为：2 16. 定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），当x≠1时，有xf′（x）＞f′（x）成立；若1＜m＜2，a=f（2m），b=f（2），c=f（log2m），则a，b，c大小关系为　　． 参考答案： a＞b＞c 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算． 【分析】函数f（x）在定义域R内可导，f（x）=f（2﹣x），知函数f（x）的图象关于x=1对称．再根据函数的单调性比较大小即可． 【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x）， 令x=x+1，则f（x+1）=f[2﹣（x+1）]=f（﹣x+1）， ∴函数f（x）的图象关于x=1对称； 令g（x）=，则g′（x）=， 当x≠1时，xf′（x）＞f′（x）成立， 即xf′（x）﹣f′（x）＞0成立； ∴x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增， ∵1＜m＜2， ∴2＜2m＜4， 0＜＜1， ∴a＞b＞c， 故答案为：a＞b＞c． 17. 若直线与函数（的图像有两个公共点，则的取值范围是            . 参考答案： 因为的图象是由向下平移一个单位得到，当时，作出函数的图象如图，此时，如图象只有一个交点，不成立。 当时，，要使两个函数的图象有两个公共点，则有，即，所以的取值范围是。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设点M是x轴上的一个定点，其横坐标为a（a∈R），已知当a=1时，动圆N过点M且与直线x=﹣1相切，记动圆N的圆心N的轨迹为C． （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）当a＞2时，若直线l与曲线C相切于点P（x0，y0）（y0＞0），且l与以定点M为圆心的动圆M也相切，当动圆M的面积最小时，证明：M、P两点的横坐标之差为定值． 参考答案： 【考点】直线与抛物线的位置关系． 【分析】（Ⅰ）通过圆N与直线x=﹣1相切，推出点N到直线x=﹣1的距离等于圆N的半径，说明点N的轨迹为以点M（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线，求出轨迹方程． （Ⅱ）设直线l的方程为y﹣y0=k（x﹣x0），联立得，利用相切关系，推出k，求解直线l的方程为．通过动圆M的半径即为点M（a，0）到直线l的距离． 利用动圆M的面积最小时，即d最小，然后求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）因为圆N与直线x=﹣1相切，所以点N到直线x=﹣1的距离等于圆N的半径， 所以，点N到点M（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等． 所以，点N的轨迹为以点M（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线， 所以圆心N的轨迹方程，即曲线C的方程为y2=4x． （Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y﹣y0=k（x﹣x0）， 由得， 又，所以， 因为直线l与曲线C相切，所以，解得． 所以，直线l的方程为． 动圆M的半径即为点M（a，0）到直线l的距离． 当动圆M的面积最小时，即d最小，而当a＞2时；==． 当且仅当，即x0=a﹣2时取等号， 所以当动圆M的面积最小时，a﹣x0=2， 即当动圆M的面积最小时，M、P两点的横坐标之差为定值． 　 19. 为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查, 得到了如下的统计结果： 表1：男生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟） 人数 5 25 30 25 15 表2：女生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟） 人数 10 20 40 20 10       （Ⅰ）若该大学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数； （Ⅱ）完成表3的列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性 别有关”？ （Ⅲ）从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取两人，求至少有一人上网时间超过60分钟的概率. 表3 ：    上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 合计 男生           女生        合计        附：，其中 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 参考答案： 解:(1)设估计上网时间不少于60分钟的人数, 依据题意有,解得: , 所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225人 …………4分 (2)根据题目所给数据得到如下列联表:   上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 合计 男生【 60 40 100 女生 70 30 100 合计 130 70 200                      其中  因此,没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关” ………………8分 (3)因为上网时间少于60分钟与上网时间不少于60分钟的人数之比为,所以5人中上网时间少于60分钟的有3人,记为  上网时间不少于60分钟的有2人,记为从中任取两人的所有基本事件为:(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共10种, 其中“至少有一人上网时间超过60分钟”包含了7种,   …………12分 略 20. （本小题满分12分）袋中装着标有数字1，2，3的小球各两个，从袋中任取两个小球，每个小球被取出的可能性都相等． （Ⅰ）求取出的两个小球上的数字互不相同的概率； （Ⅱ）（理）用表示取出的两个小球上的数字之和，求随机变量的分布列与数学期望． 参考答案： （Ⅰ）记“取出的2个小球上的数字互不相同”为事件， 从袋中的6个小球中任取2个小球的方法共有种，其中取出的2个小球上的数字互不相同的方法有种，∴  ； （Ⅱ）（理）由题意，所有可能的取值为：2，3，4，5，6． ，，  ，． 随机变量的概率分布列为 2 3 4 5 6 的数学期望． 21. 已知函数为奇函数。 (I）证明：函数在区间（1，）上是减函数； (II）解关于x的不等式。 参考答案： （I）函数为定义在R上的奇函数，      函数在区间（1，）上是减函数。  (II）由 是奇函数， 又，且在（1，）上为减函数，