2022年上海二十一世纪省吾高级中学高一数学理月考试卷含解析

2022年上海二十一世纪省吾高级中学高一数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在正整数100至500之间能被11整除的个数为（　 　） A．34 B．35 C．36  D．37 参考答案： C 2. 幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ=（　　） A．1 B．2 C． D． 参考答案： A 【考点】函数与方程的综合运用；幂函数的实际应用． 【分析】先根据题意结合图形确定M、N的坐标，然后分别代入y=xα，y=xβ求得α，β；最后再求αβ的值即得． 【解答】解：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以M N，分别代入y=xα，y=xβ 故选A． 3. 下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有> 的是（  ） A．=        B. =       C .  =    D 参考答案： C 解析：依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得C正确。 4. 若函数的定义域是，则函数的定义域是     （   ）      A．            B．            C．     D． 参考答案： C 略 5. 设函数的图像过点，其反函数的图像过点，则等于（   ）.  A  3　　　　  B  4　　　　  C  5　　　　  D  6 参考答案： B 6. 在等比数列{}中,已知,，则(    ) A、1      B、3      C、       D、±3 参考答案： 7. 已知函数 关于的方程，下列四个命题中是假命题的是                        （  ）      A．存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；      B．存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；      C．存在实数，使得方程恰有6个不同的实根；      D．存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；   参考答案： D  解析：设时，A答案正确； 当，B答案正确；当时，C答案正确；选D。   8. 函数的值域是（      ） A. B. C. D. 参考答案： B 略 9. 若那么下列各式中正确的是（     ） A．         B.        C.         D. 参考答案： C 10. 已知函数f（lgx）定义域是[0.1，100]，则函数的定义域是（　　） A．[﹣1，2] B．[﹣2，4] C．[0.1，100] D． 参考答案： B 【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】由f（lgx）定义域求出函数f（x）的定义域，再由在f（x）的定义域内求解x的范围得答案． 【解答】解：∵f（lgx）定义域是[0.1，100]，即0.1≤x≤100， ∴lg0.1≤lgx≤lg100，即﹣1≤lgx≤2． ∴函数f（x）的定义域为[﹣1，2]． 由，得﹣2≤x≤4． ∴函数的定义域是[﹣2，4]． 故选：B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知点M在的内部，，,，，, 则CM的长是___________。       参考答案： 略 12. 设，则满足条件的所有实数a的取值范围为      ； 参考答案： 13. （1）函数的图象必过定点，定点坐标为__________． （2）已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________． 参考答案： （1）（-1,-1），  （2）[-1,2] 14. 函数的单调增区间为__________________； 参考答案： 15. 在函数y = 2sin(4x+)图象的对称中心中，离原点最近的点的坐标是___________． 参考答案：          16. 在边长为1的正三角形ABC中，设＝__________. 参考答案： 略 17. 函数f（x）=log（x2﹣4x﹣5）的单调递减区间为　　． 参考答案： （5，+∞） 【考点】复合函数的单调性． 【分析】先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性之间的关系进行求解即可． 【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣4x﹣5＞0，即x＞5或x＜﹣1． 设t=x2﹣4x﹣5，则当x＞5时，函数t=x2﹣4x﹣5单调递增， 当x＜﹣1时，函数t=x2﹣4x﹣5单调递减． ∵函数y=logt，在定义域上为单调递减函数， ∴根据复合函数的单调性之间的关系可知， 当x＞5时，函数f（x）单调递减， 即函数f（x）的递减区间为（5，+∞）． 故答案为：（5，+∞） 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分）设全集，集合，，。 （Ⅰ）求A，，； （Ⅱ）若求实数的取值范围。 参考答案： （Ⅰ）； ；      （Ⅱ）可求                  故实数的取值范围为：。 19. 设与是两个单位向量，其夹角为60°，且=2+，=﹣3+2． （1）求?； （2）求||和||； （3）求与的夹角． 参考答案： 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： （1）运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，计算即可得到； （2）运用向量的平方即为模的平方，计算即可得到； （3）运用向量的夹角公式和夹角的范围，计算即可得到所求值． 解答： 解：（1）由与是两个单位向量，其夹角为60°， 则=1×=， =（2+）?（﹣3+2）=﹣6+2+? =﹣6+2+=﹣； （2）||== ==， ||== ==； （3）cos＜，＞===﹣， 由于0≤＜，＞≤π， 则有与的夹角． 点评： 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量的夹角公式的运用，考查运算能力，属于基础题． 20. 已知函数 y =sin2x+cos2x,xR （1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）求函数y=sin2x+cos2x（xR）的单调递减区间； （3）该函数的图象可由y=sinx(xR ) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 参考答案： 解：（1）、y = sin2x+cos2x=，则当时，Y有最大值2； （2）、单调递减区间是： （3）、先将向左平移个单位，再将横坐标缩小为原来的2倍，再将纵坐标伸长为原来的2倍 略 21. 某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： ωx+φ 0 π 2π x       Asin（ωx+φ） 0 5   ﹣5 0 （1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式； （2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值． 参考答案： 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）． （2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可得解． 【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表： ωx+φ 0 π 2π x Asin（ωx+φ） 0 5 0 ﹣5 0 且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）． （2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）． 因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z． 令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z． 由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=， 解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值． 【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查． 22. 已知二次函数同时满足下列条件：（1）对称轴为直线，（2）的最大值15，（3）的两根的立方和等于17，求的解析式． 参考答案：