陕西省西安市镐京高级中学高三数学理上学期期末试题含解析

陕西省西安市镐京高级中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知复数（是虚数单位），，则          A.                                     B.     C.                               D. 参考答案： B  由题意可知：，因此，化简得，则，由可知，仅有满足，故选B. 2. 已知定义在R上的函数f（x）满足：（1）f（x）+f（2﹣x）=0，（2）f（x﹣2）=f（﹣x），（3）在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 参考答案： B 【考点】54：根的存在性及根的个数判断． 【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称，又关于直线x=﹣1对称；再结合g（x）的解析式画出这2个函数区间[﹣3，3]上的图象，数形结合可得它们的图象区间[﹣3，3]上的交点个数． 【解答】解：由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象 关于点M（1，0）对称． 由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象 关于直线x=﹣1对称． 又f（x）在[﹣1，1]上表达式为 f（x）=， 可得函数f（x）在[﹣3，3]上的图象以及函数g（x）=在[﹣3，3]上的图象， 数形结合可得函数f（x）的图象与函数g（x）的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为6， 故选：B． 3. 在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（  ） A．         B．       C．       D． 参考答案： D 4. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 A．                     B．      C．                     D．24π 参考答案： A 5. 定长为4的线段MN的两端点在抛物线上移动，设点P为线段MN的中点， 则点P到y轴距离的最小值为(　　) A.          B.1       C.     D. 参考答案： D 由抛物线方程得，准线方程为，设，根据抛物线的定义可知，到轴的距离 ，当且仅当三点共线时，能取得最小值，此时.故选D.   6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（    ）    A．60里   B．48里            C．36里         D．24里 参考答案： C 试题分析：由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列，设等比数列的首项为，则有，，，所以此人第天和第天共走了里，故选C. 考点：1、阅读能力及建模能力；2、等比数列的通项及求和公式. 7. 函数的反函数为 （A）             （B） （C）            （D） 参考答案： B 本题主要考查了求反函数的步骤及反函数的概念，难度很低. 由解得，互换位置得. 8. 将函数()的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若则的值为(     ) A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 先化简，再得到，根据得到关于对称，进而可求出结果. 【详解】因为， 将其图像向右平移个单位长度，得到函数的图像， 所以， 又，所以关于对称， 所以，即， 因为，所以易得. 故选A 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换与三角函数的性质，熟记三角函数的性质与平移原则，即可求解，属于常考题型. 9. 如果命题“p且q”是假命题，“非p” 是真命题，那么 （    ） A、命题p 一定是真命题          B、命题q 一定是真命题       C、命题q 一定是假命题          D、命题q 可以是真命题也可以是假命题  参考答案： D 10. 已知向量的夹角大小为（  ） A．0°        B．45° C．90° D．180° 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 观察下列等式：，，，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈，          。 参考答案： 12. 我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①_____________________；②_______________________． 参考答案： ①；②； ③；④ 由类比可知整除关系的两个性，为①；②； ③；④。 13. 设向量与的夹角为θ，，，则sinθ=　　． 参考答案： 考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 专题： 计算题． 分析： 根据题意，易得的坐标，进而由向量模的计算可得、的模，再根据向量的数量积的计算，可得cosθ，最后由同角三角函数基本关系式，计算可得答案． 解答： 解：根据题意，由，， 可得，=[（+3）﹣]=（1，1）， 则||=，||=， cosθ==， 则sinθ==． 点评： 本题考查向量的数量积的运算与运用，要求学生能熟练计算数量积并通过数量积来求出向量的模和夹角． 14. 已知函数，则满足的取值范围是            参考答案： 15. 已知双曲线C：的一条渐近线l 的倾斜角为，且C 的一个焦点到l 的距离 为，则C 的方程为_______． 参考答案： 2， 【知识点】双曲线 【试题解析】由题知：所以，所以 因为双曲线的焦点到渐近线的距离为b，所以b=2，所以 所以的方程为： 故答案为： 2， 16. 一个正三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的全面积为   参考答案： 17. （2009江苏卷）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为     .       参考答案： 1：8       解析：考查类比的方法。体积比为1：8       三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图2，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时， 炮弹可以击中它？请说明理由. 图2           参考答案： 解：（1）令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，…………………………2分 由实际意义和题设条件知x>0，k>0， 故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号. …………………………4分 所以炮的最大射程为10 km.                       …………………………5分 （2）因为a>0，所以炮弹可击中目标?存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立 ?关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根           …………………………7分 ?判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0 ?a≤6.                                          …………………………11分 所以当a不超过6 km时，可击中目标.                      …………………………12分 19. (本小题满分13分) 已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）设,其中为的导函数.证明：对任意. 参考答案：   20. （本小题满分12分）已知函数 （1）若x [0, ],求f(x)的值域； （2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若f(C)=1，且b2=ac，求sinA的值。 参考答案： 略 21. （本题满分13分） 设直线与椭圆相交于两个不同的点，与轴相交于点，记为坐标原点. （I）证明：； （Ⅱ）若的面积取得最大值时的椭圆方程． 参考答案： （1）证明：由 得 将代入消去得      ① ………………………… 3分 由直线l与椭圆相交于两个不同的点得 整理得，即 ………5分 （2）解：设由①，得 ∵而点,  ∴ 得代入上式，得  ……………8分 于是，△OAB的面积 --------10分 其中，上式取等号的条件是即 ……………………11分 由可得 将及这两组值分别代入①，均可解出 ∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是--------------13分 22. （本小题满分12分）在边长为5的菱形ABCD中，AC＝8.现沿对角线BD把△ABD折起， 折起后使∠ADC的余弦值为. （1）求证：平面ABD⊥平面CBD； （2若是的中点，求三棱锥的体积。 参考答案： (1)证明　在菱形ABCD中，记AC，BD的交点为O，AD＝5， ∴OA＝4，OD＝3，翻折后变成三棱锥A－BCD，在△ACD中， AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos ∠ADC ＝25＋25－2×5×5×＝32， 在△AOC中，OA2＋OC2＝32＝AC2， ∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC， 又AO⊥BD，OC∩BD＝O， ∴AO⊥平面BCD， 又AO?平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD.   (2)是的中点，所以到平面的距离相等，