2022-2023学年湖北省咸宁市龙阳高级中学高一数学理期末试题含解析

2022-2023学年湖北省咸宁市龙阳高级中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 参考答案： A 【详解】由题意得，不等式，解得或， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选A． 考点：充分不必要条件的判定． 2. 已知为奇函数，若时，，则时，（    ） A.      B.       C.       D. 参考答案： B 3. 设an=－n2+10n+11，则数列{an}从首项到第几项的和最大（  ） A．第10项            B．第11项C．第10项或11项                       D．第12项 参考答案： C 4. (   ) A．              B.           C.               D.  参考答案： C 略 5. 一个各项均为正数的等比数列，其任何一项都等于它后面两项之和，则其公比是 (    ) A．      B．     C．     D．或 参考答案： B 6. 函数的定义域是                                      (    ) A．       B．      C．       D．                       参考答案： D 7. 函数f（x）=sin（4x+）是（　　） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 参考答案： D 【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性和奇偶性得出结论． 【解答】解：函数f（x）=sin（4x+）=cos4x，故该函数为偶函数，且它的周期为=， 故选：D． 8. 函数的图象是 (   ) 参考答案： C 试题分析：，故选D．   9. 已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线m过P（1，1），且与线段AB相交，求直线m的斜率k的取值范围为（　　） A． B． C．﹣4≤k≤ D．≤k≤4 参考答案： A 【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域． 【分析】根据题意，设直线m的方程为y﹣1=k（x﹣1），分析可得若直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上，则有[（﹣3）﹣2k+k﹣1][（﹣2）﹣（﹣3）k+k﹣1]≤0，解可得k的范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，直线m过P（1，1），设直线m的方程为y﹣1=k（x﹣1）， 即y﹣kx+k﹣1=0， 若直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上， 则有[（﹣3）﹣2k+k﹣1][（﹣2）﹣（﹣3）k+k﹣1]≤0， 解可得：k≥或k≤﹣4； 故选：A． 10. 同时掷两颗骰子，所得点数之和为5的概率为（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 同时掷两枚骰子点数有36个结果，其中点数和为5有（1，4），（4，1），（2，3），（3，2）共有4种结果，所以概率为4/36=1/9 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知圆，点P在圆C上运动，则OP的中点M的轨迹方程_____．（O为坐标原点） 参考答案： 【分析】 设，得代入已知圆的方程，能求出线段的中点的轨迹方程． 【详解】设，∵为坐标原点，且是线段的中点，得， 当点在圆上运动时，把代入圆得：. 整理得线段的中点的轨迹方程为：． 故答案为： 【点睛】本题考查线段的中点的轨迹方程的求法，考查相关点法、中点坐标公式等基础知识，属于中档题．   12. 已知A、B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到B地,在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,将汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数表达式是           . w. 参考答案： 13. 函数的定义域是            . 参考答案： 14. 银川一中开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“?x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的范围．你认为，两位同学题中m的范围是否一致？________(填“是”“否”中的一个) 参考答案： 是 解析：因为命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“?x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“?x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中的m的范围是一致的． 15. 关于x的方程4x﹣k?2x+k+3=0，只有一个实数解，则实数k的取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，﹣3）∪{6} 【考点】函数的零点． 【分析】首先换元，令t=2x，则关于t方程 t2﹣kt+k+3=0只有一个正根，根据根与系数的关系写出一元二次方程要满足的条件，得到结果． 【解答】解：设t=2x，t＞0 x的方程4x﹣k?2x+k+3=0转化为t2﹣kt+k+3=0，设f（t）=t2﹣kt+k+3， 原方程只有一个根，则换元以后的方程有一个正根， ∴f（0）＜0，或△=0， ∴k＜﹣3，或k=6 故答案为（﹣∞，﹣3）∪{6}． 16. 函数y=cos2x+sinx+1 ( x∈)的值域为         参考答案： [2  9/4] 略 17. 若a、b是正常数，a≠b，x、y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝＋的最小值为________． 参考答案： 35 由题意知，f(x)＝＋，x∈， ∵2≠3且均为正常数，x∈， ∴1－2x∈(0,1)， ∴＋≥， 当且仅当＝时，即x＝时等号成立，即f(x)≥35. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知直线l经过两条直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的交点P． （1）求垂直于直线l3：x﹣2y﹣1=0的直线l的方程； （2）求与坐标轴相交于两点，且以P为中点的直线方程． 参考答案： 【考点】IF：中点坐标公式． 【分析】（1）联立方程组求出两直线的交点，再由直线垂直的条件求得直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案； （2）设过点P（﹣2，2）的直线l与x轴交于点A（a，0），与y轴交于点B（0，b），由中点坐标公式求得a，b的值，得到A，B的坐标，求出AB所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【解答】解：（1）由，故P（﹣2，2）， ∵l垂直于l3：x﹣2y﹣1=0，∴l的斜率为﹣2， ∴l方程为y﹣2=﹣2（x+2），即：2x+y+2=0； （2）设过点P（﹣2，2）的直线l与x轴交于点A（a，0），与y轴交于点B（0，b）， 则由题意可知：P为A，B中点， 有：，则A（﹣4，0），B（0，4）， 故l的斜率为k==1，则的方程为y﹣2=x+2，即：x﹣y+4=0． 19. 已知数列{an}中，，． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列的前n项和Tn； （3）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 参考答案： （1）（2）（3） 【分析】 （1）利用递推公式求出，，递推到当时，，两个式子相减，得到 ，进而求出数列的通项公式； （2）运用错位相减法可以求出数列的前项和； （3）对任意的，都有成立，转化为的最小值即可， 利用商比的方法可以确定数列的单调性，最后求出实数的取值范围． 【详解】（1）数列{an}中，，． 可得时，，即， 时，， 又， 两式相减可得， 化为， 可得，即， 综上可得； （2）， 则前项和， ， 相减可得， 化为； （3）对任意的，都有成立， 即为的最小值， 由可得， ， 可得时，递增， 当或2时，取得最小值， 则． 【点睛】本题考查了已知递推公式求数列通项公式，考查了数列的单调性，考查了错位相减法，考查了数学运算能力. 20. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且满足c=2，c cos B+（ b﹣2a ）cos C=0． （1）求角 C 的大小； （2）求△ABC 面积的最大值． 参考答案： 【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理． 【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理求出cosC的值，即可确定出C的度数； （2）利用正弦定理表示出a，b，进而表示出三角形面积，求出面积最大值即可． 【解答】解：（1）已知等式ccosB+（b﹣2a）cosC=0， 利用正弦定理化简得：sinCcosB+sinBcosC﹣2sinAcosC=0， 即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC， ∴sin（B+C）=sinA=2sinAcosC， ∵sinA≠0， ∴cosC=， 则C=； （2）由正弦定理得====4， ∴a=4sinA，b=4sinB， ∵A+B=，即B=﹣A， ∴S△ABC=absinC=4sinAsinB=4sinAsin（﹣A）=2sin（2A﹣）+， 当2A﹣=，即A=时，Smax=3． 21. （本小题满分12分）甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m．（1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇． （2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 参考答案： 解：（1）设n分钟后第1次相遇，依题意得2n++5n=70 整理得：n2+13n－140=0，解得：n=7，n=－20（舍去） ∴第1次相遇在开始运动后7分钟． （2）设n分钟后第2次相遇，依题意有：2n++5n=3×70 整理得：n2+13n－6×70=0，解得：n=15或n=－28（舍去） 第2次相遇在开始运动后15分钟． 22. （本小题满分12分）已知函数的定义域是[0,3]，设 （Ⅰ）求的解析式及定义域； （Ⅱ）求函数的最大值和最小值． 参考答案： 解：（Ⅰ）∵f（x）＝2x， ∴g（x）＝f（2x）－f（x＋2）＝22x－2x＋2． ∵f（x）的定义域是[0,3]， ∴解得0≤x≤1． ∴g（x）的定义域是[0,1]． （Ⅱ）g（x）＝（2x）2－4×2x ＝（2x－2）2－4． ∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]． ∴当2x＝1，即x＝0时，g（x）取得最大值－3； 当2x＝2，即x＝1时，g（x）取得最小值－4．