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2022-2023学年广东省清远市小三江中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数的图象如右图,则函数在上的大致图象为 ( )
参考答案：
A
2. 函数的定义域是
A. B. C. D.
参考答案：
【答案解析】D 要使函数有意义则故选D。
【思路点拨】先表示有意义的式子，再解出结果。
3. 方程的根的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案：
C
大致图形如图所示，接下来比较与在处的切线斜率，时，即在处的切线方程为轴，
又，在，
因此在轴右侧图象较缓，由图象可知，共有个交点．故选C．
4. 已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
参考答案：
D
略
5. 设集合U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则等于（ ）
A. {5} B. {0，3} C. {0，2，3，5} D. {0，1，3，4，5}
参考答案：
B
略
6. 已知满足，则
A． B． C． D．
参考答案：
解：；
；
；
又；
．
故选：．
7. 复数z=1﹣i，则对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
参考答案：
A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】探究型；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数．
【分析】复数z=1﹣i，则=1+i，得到对应的点的坐标，则答案可求．
【解答】解：∵复数z=1﹣i，则=1+i，
∴对应的点的坐标为：（1，1），位于第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数的基本概念，是基础题．
8. 定义在R上的奇函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），（x1≠x2），都有＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．f（log3π）＞f（log2）＞f（log3） B．f（log2）＞f（log3）＞f（log3π）
C．f（log3）＞f（log2）＞f（log3π） D．f（log2）＞f（log3π）＞f（log3）
参考答案：
C
【考点】函数单调性的性质．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由题意可得函数f（x）在R上单调递减，再根据log3＜log2＜log3π，可得
f（log3）、f（log2）、f（log3π）的大小关系．
【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），（x1≠x2），都有＜0，
故函数f（x）在R上单调递减，
由于log3＜log2＜log3π，∴f（log3）＞f（log2）＞f（log3π），
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．
9. 已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
10. 一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体
的顶点，则在原来的正方体中（ ）
A．AB∥CD B．AB与CD相交 C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°
参考答案：
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图所示，点P是函数的图象的一个最高点，M,N是图象与x轴的交点.若，则的值为________.
参考答案：
12. 设函数若函数是存在两个零点，则实数k的取值范围是 .
参考答案：
13. 设、为平面内两个互相垂直的单位向量，向量满足，则的最大值为 ．
参考答案：
14. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是 ．
参考答案：
4≤a＜8
【考点】分段函数的应用．
【专题】计算题．
【分析】利用函数单调性的定义，结合指数函数，一次函数的单调性，即可得到实数a的取值范围．
【解答】解：由题意，，解得4≤a＜8
故答案为：4≤a＜8
【点评】本题考查函数的单调性，解题的关键是掌握函数单调性的定义，属于中档题．
15. ＝_______________.
参考答案：
略
16. （x﹣）6的展开式中，含x5项的系数为_____．
参考答案：
15
【分析】
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于5，求出r的值，即可求得含x5项的系数．
【详解】解：（x﹣）6的展开式中，它的展开式的通项公式为Tr+1＝?（﹣1）r?，
令6﹣＝5，求得r＝2，可得含x5项的系数为＝15，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质．
17. 若命题“?x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是 ．
参考答案：
[﹣1，3]
【考点】特称命题．
【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“?x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”，则相应二次方程有重根或没有实根．
【解答】解：∵“?x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0是假命题，
∴x2+（1﹣a）x+1=0没有实数根或有重根，
∴△=（1﹣a）2﹣4≤0
∴﹣1≤a≤3
故答案为：[﹣1，3]．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图,在底面是正三角形的直三棱柱中,,D是BC的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
参考答案：
（1）连接交于点O由题意知O为的中点,D为BC中点，所以，因为平面， 平面，所以 平面 …………6分
（2）。 …………12分
19. （本题满分12分)已知数列满足：.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列，试求数列的前项和.
参考答案：
（Ⅰ）当，（4分）当，（5分），
故当，（6分）
（Ⅱ）（7分），（10分）
（12分）
20. 袋中装有大小、质地相同的8个小球，其中红色小球4个，蓝色和白色小球各 2个．某学生从袋中每次随机地摸出一个小球，记下颜色后放回．规定每次摸出红色小球记2分，摸出蓝色小球记1分，摸出白色小球记0分．
（Ⅰ）求该生在4次摸球中恰有3次摸出红色小球的概率；
（Ⅱ）求该生两次摸球后恰好得2分的概率；
（Ⅲ）求该生两次摸球后得分的数学期望．
参考答案：
（Ⅰ）“摸出红色小球”，“摸出蓝色小球”，“摸出白色小球”分别记为事件A，B，C．
由题意得：，．
因每次摸球为相互独立事件，故4次摸球中恰有3次摸出红色小球的概率为：． …………………………………………4分
（Ⅱ）该生两次摸球后恰好得2分的概率．…8分
（Ⅲ）两次摸球得分的可能取值为0，1，2，3，4．
则； ；
；；
∴ ． ………………12分
21. (本小题满分12分)
已知函数，.
（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案：
解：(1) ,
,所求切线方程为 ………4分
(2)令
①当时，，时，；时，
在上是减函数，在上是增函数，
，即 ………7分
②当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，要使，
则，解得 ………9分
③当时，，在上是增函数，
，成立 ………10分
④当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，要使，
则，解得
综上，实数的取值范围为 ………12分
22. （本题满分12分）
为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计.按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．
（1）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；
（理科）（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量表示所抽取的3名学生中得分在内的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望．
（文科）（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率．
参考答案：
（1）由题意可知，样本容量，，
.………………………………4分
（理科）（2）由题意可知，分数在内的学生有5人，分数在内的学生有2人，共7人.抽取的3名学生中得分在的人数的可能取值为1，2，3，则
，，.
1
2
3
所以的分布列为
…………………………………………………………………………………………10分
所以.………………………………………………12分
（文科）（2）由题意可知，分数在内的学生有5人，记这5人分别为，，，，，分数在内的学生有2人，记这2人分别为，.
抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：
（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），
（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），
（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）.8分
其中2名同学的分数都不在内的情况有10种，分别为：
（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），
（，），（，），（，）.
∴ 所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率.……12分
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