2022-2023学年广西壮族自治区南宁市第十七中学高一数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年广西壮族自治区南宁市第十七中学高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b=（    ） A. B. 2 C. 3 D. 参考答案： A 【分析】 利用正弦定理，可直接求出的值. 【详解】在中，由正弦定理得，所以， 故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题。   2. 设，且，则（　　） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 利用两角和差正切公式可求得；根据范围可求得；利用两角和差公式计算出；利用两角和差余弦公式计算出结果. 【详解】     ， 又 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用三角恒等变换中的两角和差的正余弦和正切公式求解三角函数值的问题，涉及到同角三角函数关系的应用；关键是能够熟练应用两角和差公式进行配凑，求得所需的三角函数值. 3. 已知为等差数列，若，则的值为（    ） A． B． C．                D． 参考答案： C 略 4. 下列函数中，与函数y＝x相同的函数是（    ） A．y＝            B．y＝（）2      C．       D．y＝ 参考答案： C 5. 已知函数，则f(-2)的值为（    ） A．1           B．2         C．4          D．5 参考答案： C 略 6. 空间的点M（1，0，2）与点N（﹣1，2，0）的距离为（　　） A． B．3 C． D．4 参考答案： C 【考点】JI：空间两点间的距离公式． 【分析】直接利用空间两点间的距离公式，即可得出结论． 【解答】解：∵M（1，0，2）与点N（﹣1，2，0）， ∴|MN|==2． 故选C． 7. 若α、β的终边关于y轴对称，则下列等式正确的是（    ） A.sinα=sinβ     B.cosα=cosβ     C.tanα=tanβ     D.tanα·tanβ=1 参考答案： A 8. 已知是上的减函数，那么的取值范围是（    ）                   [ 参考答案： C 9. 下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（　　） （1）小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）小明出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速． A．（4）（1）（2） B．（4）（2）（3） C．（4）（1）（3） D．（1）（2）（4） 参考答案： A 【考点】函数的图象． 【分析】根据小明所用时间和离开家距离的关系进行判断．根据回家后，离家的距离又变为0，可判断（1）的图象开始后不久又回归为0； 由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化； 由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快． 【解答】解：（1）离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图象（4）； （2）骑着车一路以常速行驶，此时为递增的直线，在途中遇到一次交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象（1）； （3）最后加速向学校，其距离随时间的变化关系是越来越快，故应选图象（2）． 故答案为：（4）（1）（2）， 故选：A． 10. 如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（　　） 　 A． m B． m C． m D． m 参考答案： A 考点： 解三角形的实际应用． 专题： 计算题；应用题． 分析： 依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB 解答： 解：由正弦定理得， ∴， 故A，B两点的距离为50m， 故选A 点评： 本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生对基础知识的综合应用． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若平面向量，满足=1，平行于y轴， =（2，﹣1），则=　　． 参考答案： （﹣2，0）或（﹣2，2） 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据共线向量的性质，以及向量模的坐标运算即可求出． 【解答】解：设=（x，y），平行于y轴，得出=（x+2，y﹣1）=（0，y﹣1），解得x=﹣2 又∵足=11，∴（y﹣1）2=1 解得y=0，或y=2 ∴=（﹣2，2）或（﹣2，0） 故答案为：（﹣2，2）（﹣2，0） 12. 过点A(－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________． 参考答案： 3x－y＋10＝0 　 　设原点为O，则所求直线过点A(－3,1)且与OA垂直，又kOA＝－，∴所求直线的斜率为3，故其方程为y－1＝3(x＋3)．即3x－y＋10＝0. 13. 在△中，角所对的边分别为，，，，则    . 参考答案： ； 略 14. 函数f（x）=，则当f（x）≥1时，自变量x的取值范围为　　． 参考答案： （﹣∞，1]∪[，3] 【考点】5B：分段函数的应用． 【分析】根据题意分两种情况x＞2和x≤2，代入对应的解析式列出不等式求解即可． 【解答】解：∵函数f（x）=，∴分两种情况： ①当x＞2时，由f（x）≥1得，，解得2＜x≤3， ②当x≤2时，由f（x）≥1得，|3x﹣4|≥1，即3x﹣4≥1或3x﹣4≤﹣1， 解得，x≤1或x≥，则x≤1或≤x≤2． 综上，所求的范围是（﹣∞，1]∪[，3]． 故答案为：（﹣∞，1]∪[，3]． 15. 设集合M = { x | x | x | + x + a < 0，x∈R }， N = { x | arcsin (+) > 0，x∈R+ }，则下列4种关系中，⑴ M = N，⑵M é N，⑶ M ì N，⑷ M ∩ N =，成立的个数是          。 参考答案： 2 16. 若且 ，则函数的图象一定过定点_______． 参考答案： 略 17. 若为等差数列的前n项和，，  ，则与的等差中项为____________. 参考答案： －6  三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）已知圆M的圆心在x轴上，半径为1，直线l：y=3x﹣1被圆M所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方． （Ⅰ）求圆M的方程； （Ⅱ）设A（0，t），B（0，t+4）（﹣3≤t≤﹣1），过A，B两点分别做圆M的一条切线，相交于点C，求由此得到的△ABC的面积S的最大值和最小值． 参考答案： 考点： 圆的切线方程． 专题： 直线与圆． 分析： （Ⅰ）设圆心M（a，0），利用M到l：y=3x﹣1的距离，结合直线l被圆M所截得的弦长为，求出M坐标，然后求圆M的方程； （Ⅱ）设出过A，B的切线方程，由相切的条件：d=r，求得直线AC、直线BC的方程，进而得到C的坐标，求出△ABC的面积S的表达式，由二次函数是最值求出面积的最值，从而得解． 解答： （Ⅰ）设M（a，0）由题设知，M到直线l的距离是d=， l被圆M所截得的弦长为，则2=，解得d=， 由=，解得a=1或﹣， 由圆心M在直线l的下方，则a=1， 即所求圆M的方程为（x﹣1）2+y2=1； （Ⅱ）设过A（0，t）的切线为y=kx+t， 由直线和圆相切的条件：d=r=1， 可得=1，解得k=， 即切线方程为y=x+t① 同理可得过B的切线方程为y=x+t+4②， 由①②解得交点C（，）， 由﹣3≤t≤﹣1，则1≤4+t≤3，t++4∈[，2]， 又|AB|=4+t﹣t=4， 则△ABC的面积为S=|AB|?=4 =4（1﹣）， 由﹣3≤t≤﹣1，可得t2+4t+1=（t+2）2﹣3∈[﹣3，﹣2]， 则当t=﹣2时，△ABC的面积S取得最小值，且为； 当t=﹣1或﹣3时，S取得最大值，且为6． 点评： 本题以圆的弦长为载体，考查直线与圆的位置关系：相切，三角形面积的最值的求法，考查计算能力． 19. 设函数 （1）若，求不等式的解集；（其中单调性只需判断） （3）若，且在上恒成立，求m的最大值。 参考答案： （1），又，所以 单调递增，单调递减，故在R上单调递增。 又∵且  ∴是R上的奇函数， 由得 ∴  ∴                               ......6分 （3），解得（舍）或，则 ∴ 令∵，∴ 在恒成立， 即在上恒成立 即在上恒成立 而  ∴  ∴m的最大值为。            .......12分 20. 以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由. 参考答案： 解析：由条件可得：出厂价格函数为,  销售价格函数为 则利润函数为: 所以，当时，Y=（2+）m，即6月份盈利最大. 21. （本小题满分12分） 已知,,，O为坐标原点. （1）若 ,求的值； （2）若,且 ，求 .   参考答案： 解： （1）依题，，             ……2分 因为，所以， ……4分 所以. ……6分 （2）因为，     ……8分 所以， 所以，     ……10分 因为，所以，所以， 所以     ……12分   22. 如图，圆内接四边形ABCD中，AD=DC=2BC=2，AB=3． （1）求角A和BD； （2）求四边形ABCD的面积． 参考答案： 【考点】NC：与圆有关的比例线段． 【分析】（1）分别在△ABD与△BCD中，由余弦定理可得：BD2=22+32﹣2×2×3×cos∠BAD，BD2=22+12﹣2×2×1×cos∠BCD，又cos∠BAD=cos（π﹣∠BCD）=﹣cos∠BCD．即可得出． （2）四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD． 【解答】解：（1）分别在△ABD与△BCD中，由余弦定理可得：BD2=22+32﹣2×2×3×cos∠BAD， BD2=22+12﹣2×2×1×cos∠BCD，又cos∠BAD=cos（π﹣∠BCD）=﹣cos∠BCD． ∴cos∠BAD=．∴∠BAD=． BD2=13﹣12×=7，解得BD=． （2）四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=+=2．