吉林省长春市市第十八中学高一数学理上学期期末试卷含解析

吉林省长春市市第十八中学高一数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知非零向量与满足且, 则为                       (　　)  等边三角形   直角三角形    等腰非等边三角形   三边均不相等的三角形 参考答案： A 略 2. 已知集合，，则                           （   ） A              B        C        D  参考答案： D 3. 已知a，b，c依次成等比数列，那么函数的图象与x轴的交点的个数为（  ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 参考答案： A 【分析】 由依次成等比数列，可得，显然，二次方程的判别式为，这样就可以判断出函数的图象与轴的交点的个数. 【详解】因为依次成等比数列，所以，显然，二次方程的判别式为，因此函数的图象与轴的交点的个数为零个，故本题选A. 【点睛】本题考查了等比中项的概念、一元二次方程根的判别式与相应二次函数与轴的交点个数的关系. 4. 如果,那么下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 5. 设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题： ①若则；  ②若则； ③若则  ④若，则 其中正确命题的个数为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3      参考答案： B 6. 定义在上的函数满足且时，，则                                  （     ）      A.1            B.           C.             D. 参考答案： C 因为f(-x)=-f(x)为奇函数，又因为f(x-4)=f(x)，所以函数f(x) 的周期为4,所以   7. 若实数x满足log2x＝2＋sinθ，则|x＋1|＋|x－10|的值等于                     （    ） A.2x－9      B.9－2x              C.11 D.9      参考答案： C 略 8. 下列各式中S的值不可以用算法求解的是（　　） A．S=1+2+3+4         B．S=1+2+3+4+… C．S=1+++…+ D．S=12+22+32+…+1002 参考答案： B 【考点】算法的概念． 【分析】由算法的概念可知：算法是在有限步内完成的，结果明确性，每一步操作明确的，即可判断A，B，C，D的正误． 【解答】解：由算法的概念可知：求解某一类问题的算法必须是有限步的， 对于A，S=1+2+3+4，可四步完成； 对于B，S=1+2+3+…，不知其多少步完成； 对于C，S=1+++…+，可100步完成； 对于D，S=12+22+32+…+1002，可100步完成； 所以S值不可以用算法求解的是B． 故选：B． 　 9. （5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={3，4，5}，B={1，3，6}，则A∩（?UB）=（） A． {4，5} B． {2，4，5，7} C． {1，6} D． {3} 参考答案： A 考点： 补集及其运算；交集及其运算． 专题： 计算题． 分析： 根据补集的定义求得CUB，再根据两个集合的交集的定义求出 A∩（CUB ）． 解答： CUB={2，4，5，7}，A∩（CUB）={3，4，5}∩{2，4，5，7}={4，5}， 故选 A． 点评： 笨题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出CUB是解题的关键． 10. 若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（     ） A． 共面     B. 平行    C. 异面     D. 平行或异面 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知AB是单位圆O上的一条弦，λ∈R，若|﹣λ|的最小值是，则|AB|=　 　，此时λ=　　． 参考答案： 1或，   【考点】向量的模． 【分析】不妨设=（1，0），=（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．则==≥=|sinθ|=，可得θ=，，，．即可得出． 【解答】解：不妨设=（1，0），=（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）． 则=== ≥=|sinθ|=， ∴θ=，，，． =，或=． 则|AB|=1或． 此时λ=cosθ=． 故答案分别为：1或，． 　 12. 已知，则_____________ . 参考答案： 略 13. 设关于x的不等式的解集中整数的个数为，数列的前n项和为，则=           . 参考答案： 10100  14. 函数（且）的图像必过定点，点的坐标为__________． 参考答案： 的图象可以看作把的图象向右平移一个单位再向上平移个单位且 一定过点， 则应过点， 故答案为：． 15. 若tanα＝2，则sinα·cosα的值为     ． 参考答案： 试题分析：，答案为． 考点：同角三角函数的平方关系与商数关系 16. 右图是亳州市某中学“庆祝建党90周年演讲比赛”中，12位评委为某位选手打出的分数的茎叶统计图，则去掉一个最高分和一个最低分之后，所剰数据的平均数为         ，众数为         。 参考答案： 84,82 略 17. 设=，其中a，bR，ab0，若对一切则xR恒成立，则 ① ②＜ ③既不是奇函数也不是偶函数 ④的单调递增区间是 ⑤存在经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交 以上结论正确的是         （写出所有正确结论的编号）. 参考答案： ①③ 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分） 已知函数，. （1）当时，求函数的最大值； （2）如果对于区间上的任意一个，都有成立，求的取值范围. 参考答案： （本小题满分10分） 解：（1）………2分 则当时，函数的最大值是                  …………………4分 （2）.                  …………………5分 当时，，令，则.     …………………6分 . 当，即时，则当，即时， ，解得，则；  …………………8分 当，即时，则当即时， ，解得，则.             …………………10分 当，即时，则当即时，， 解得，无解. 综上可知，的取值范围．                   12分 略 19. （本小题共14分） 不等式的解集为,求实数的取值范围  参考答案： 略 20. 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD﹣A1B1C1D1，且这个几何体的体积为． （1）求证：EF∥平面A1BC1； （2）求A1A的长； （3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】LS：直线与平面平行的判定；L2：棱柱的结构特征． 【分析】（1）法一：连接D1C，已知ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，可证四边形A1BCD1是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题； 法二：根据长方体的几何特征由平面A1AB∥平面CDD1C1．证得A1B∥平面CDD1C1． （2）设A1A=h，已知几何体ABCD﹣A1C1D1的体积为，利用等体积法VABCD﹣A1C1D1=VABCD﹣A1B1C1D1﹣VB﹣A1B1C1，进行求解． （3）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，推出A1P⊥C1D，证明A1P⊥C1D，推出△D1C1Q∽Rt△C1CD，再求求线段A1P的长． 【解答】证明：（1）证法一：如图，连接D1C， ∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体， ∴A1D1∥BC且A1D1=BC． ∴四边形A1BCD1是平行四边形． ∴A1B∥D1C． ∵A1B?平面CDD1C1，D1C?平面CDD1C1， ∴A1B∥平面CDD1C1． 证法二：∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体， ∴平面A1AB∥平面CDD1C1． ∵A1B?平面A1AB，A1B?平面CDD1C1． ∴A1B∥平面CDD1C1． 解：（2）设A1A=h，∵几何体ABCD﹣A1C1D1的体积为， ∴VABCD﹣A1C1D1=VABCD﹣A1B1C1D1﹣VB﹣A1B1C1=， 即SABCD×h﹣×S△A1B1C1×h=， 即2×2×h﹣××2×2×h=，解得h=4． ∴A1A的长为4． （3）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q， 过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D． 因为A1D1⊥平面CC1D1D，C1D?平面CC1D1D， ∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB，CB∥A1D1， ∴QP∥A1D1， 又∵A1D1∩D1Q=D1， ∴C1D⊥平面A1PQC1， 且A1P?平面A1PQC1， ∴A1P⊥C1D． ∵△D1C1Q∽Rt△C1CD， ∴=， ∴C1Q=1 又∵PQ∥BC， ∴PQ=BC=． ∵四边形A1PQD1为直角梯形，且高D1Q=， ∴A1P== 21. 已知α，β为锐角，tan=，cos（α﹣β）=﹣． （1）求sinα； （2）求2α+β． 参考答案： 【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GQ：两角和与差的正弦函数． 【分析】（1）由已知利用二倍角的正切函数公式可求tanα，利用同角三角函数基本关系式结合α为锐角，即可求得sinα． （2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+β），由（1）可求sinα，cosα，利用两角和的正弦函数公式可求sin（2α+β），结合范围2α+β∈（，），可求2α+β=π． 【解答】（本题满分为14分） 解：（1）∵tan=， ∴tanα==，…2分 ∵，解得：sin2α=，…4分 又∵α为锐角， ∴sinα=…6分 （2）∵α，β为锐角，cos（α﹣β）=﹣＜0． ∴α+β∈（，π）， ∴sin（α+β）==，…8分 又∵由（1）可知sinα=，cosα=，…10分 ∴sin（2α+β）=sin=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=+=0，…12分 又∵α∈（0，），α+β∈（，π）， ∴2α+β∈（，）， ∴2α+β=π…14分 22. 设集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，C={x|x≥a﹣1}． （1）求A∩B； （2）若B∪C=C，求实数a的取值范围． 参考答案： 见解析 【考点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算． 【专题】探究型． 【分析】（1）化简集合B，然后求集合的交集．（2）利用B∪C=C，得到B?C，然后求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）由题意知，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}… 所以A∩B={x|2≤x＜3}… （2）因为B∪C=C， 所以B?C… 所以a﹣1≤2，即a≤3… 【点评】本题主要考查集合的基本运算以及利用集合关系求参数问题，比较基础．