2022年安徽省淮南市张集中学高二数学理上学期期末试题含解析

2022年安徽省淮南市张集中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，，，则（ ***** ） A.          B. C.          D. 参考答案： C 2. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（   ） （A）4           （B）5             （C）6 （D）7 参考答案： A , ,   3. 定义在R上的偶函数f ( x )在[ 0，+ ∞ ])上是增函数，且f () = 0，则不等式f ( logx ) > 0的解是（   ） （A）(，1 )   （B）( 2，+ ∞ )   （C）( 0，)∪( 2，+ ∞ )   （D）(，1 )∪( 2，+ ∞ ) 参考答案： C 4. 设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则A= A．{1}   B．{3}    C．{4，5}      D．{2，3} 参考答案： A 5. 下列各式中最小值是2的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　      （   ） A．＋       B．      C．tanx＋cotx      D．   参考答案： D 6. 已知向量，，若与共线，则等于（    ） A．；         B．             C．           D． 参考答案： C 7. 在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（    ） A．          B．          C．          D． 参考答案： B 复数对应的向量按顺时针方向旋转，则旋转后的向量为,故选B.   8. 下面有关三视图的说法中，错误的是（  ） A.正方体的三视图中不可能有三角形        B.正四面体的三视图均为正三角形 C.圆柱的三视图有可能是两个正方形和一个圆 D.球的三视图都是圆 参考答案： B 9. 设椭圆的左、右焦点分别为，P是C上的点，，，则C的离心率为(　　) A.   B. C. D. 参考答案： D 由题意可知，在直角三角形PF1F2中，|F1F2|=2c， ， ∴|PF1|= ，|PF2|= ， 又|PF1|+|PF2|=2a，∴ ∴C的离心率e=   10. 设，则下列不等式中一定成立的是                    （     ） A         B        C       D 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若正三棱柱的棱长均相等，则与侧面所成角的正切值为___. 参考答案： 12. 设，，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则        ． 参考答案： 3  略 13. 用总长为24m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器底面为正方形，则这个容器体积的最大值为　  　． 参考答案： 8m3 【考点】基本不等式． 【分析】根据题意，设长方体容器的底面边长为xm，高为ym，由题意可得8x+4y=24，即2x+y=6，用x、y表示长方体的体积可得V=x2y=x2×（6﹣2x）=x×x×（6﹣2x），由基本不等式分析可得答案． 【解答】解：根据题意，设长方体容器的底面边长为xm，高为ym， 则有8x+4y=24，即2x+y=6， 其体积V=x2y=x2×（6﹣2x）=x×x×（6﹣2x）≤[]3=8m3， 当且仅当x=2时，等号成立； 即这个容器体积的最大值8m3； 故答案为：8m3． 【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是用x、y表示容器的体积． 　 14. 在三棱锥P﹣ABC中，PA垂直于底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，则当△AEF的面积最大时，tanθ的值为　    　． 参考答案： 【考点】解三角形的实际应用． 【分析】等腰Rt△PAB中，算出AE=PE=BE═PB=．由线面垂直的判定与性质，证出PB⊥面AEF，得PB⊥EF．在Rt△PEF中算出EF=tanθ，在Rt△AEF中，算出AF=，可得S△AEF，利用二次函数的图象与性质，即可得出当且仅当tanθ=时S△AEF有最大值，可得答案． 【解答】解：在Rt△PAB中，PA=AB=2，∴PB=2， ∵AE⊥PB，∴AE=PB=，∴PE=BE=． ∵PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC=A ∴BC⊥平面PAC，可得AF⊥BC ∵AF⊥PC，BC∩PC=C，∴AF⊥平面PBC ∵PB?平面PBC，∴AF⊥PB ∵AE⊥PB且AE∩AF=A，∴PB⊥面AEF， 结合EF?平面AEF，可得PB⊥EF． Rt△PEF中，∠EPF=θ，可得EF=PE?tanθ=tanθ， ∵AF⊥平面PBC，EF?平面PBC．∴AF⊥EF． ∴Rt△AEF中，AF==， ∴S△AEF=AF?EF=×tanθ×= ∴当tan2θ=，即tanθ=时，S△AEF有最大值为． 故答案为：． 15. 已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根．若p或q为真，p且q为假，求实数的取值范围．   参考答案：   略 16. 直线（为参数）与曲线（为参数）的位置关系是__________． 参考答案： ， ，． ∴． 17. 已知R上可导函数f(x)的图像如图    所示，则不等式(x2－2x－3)f ′(x)>0,  的解集为_______ 参考答案： (－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞) 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. (1)、当时，讨论的单调性； （2）、设,当若对任意存在使 求实数的取值范围。 参考答案： 解（1）…………….2分 ①当，即时，此时的单调性如下： （0，1） 1 （1，） （） + 0 _ 0 + 增   减   增 …………………4分 ②当时， ，当时递增； 当时，递减；… 5分 ③ 当时，，当时递增； 当时，递减；………6分 综上，当时，在(0,1)上是增函数，在（1，+）上是减函数； 当时，在(0,1)，（）上是增函数， 在（1，）上是减函数。………7分 （2）由（1）知，当时，在(0,1)上是增函数，在（1，2）上是减函数. 于是时，…………….8分 从而存在 使）=……10分 考察的最小值。 ①当时，在上递增，=（舍去）……..11分 ②当时，，在上递减，        ………..12分 ③当时，无解。………13分   综上……………14分 略 19. 椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦点到短轴端点的距离为2，离心率为． （Ⅰ）求该椭圆的方程； （Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点且OA⊥OB，是否存在以原点O为圆心的定圆与直线l相切？若存在求出定圆方程；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由题意，且a=2，由此能求出椭圆方程． （Ⅱ）设直线AB：y=kx+m，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量垂直、点到直线的距离公式，能求出定圆方程． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c， ∵椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦点到短轴端点的距离为2，离心率为， ∴由题意，且a=2，解得c=，b=1． ∴所求椭圆方程为=1．… （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），若k存在，则设直线AB：y=kx+m， 由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，… ∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，且，… 由OA⊥OB，知x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m） ==0，代入得5m2=4k2+4，… 原点到直线AB的距离d==，… 当AB的斜率不存在时，|x1|=|y1|，得=1，|x1|=，依然成立 ∴点O到直线AB的距离为定值．… ∴定圆方程为x2+y2=．… 20. （1）已知点和，过点的直线与过点的直线相交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，如果，求点的轨迹. （2）用正弦定理证明三角形外角平分线定理：如果在中，的外角平分线与边的延长线相交于点，则. 参考答案： （1）解：设点坐标为，则，……………2分 整理得……………4分 所以点的轨迹是以为顶点，焦点在轴的椭圆（除长轴端点）…6分 18(2)证明：设 在中，由正弦定理得 ……①……………8分 在中，由正弦定理得 即………②………10分 ①②两式相比得.……………12分 略 21. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A,B两点 （1）若，求直线的斜率； （2）设点在线段上运动，原点关于的对称点为，求四边形面积的最小值。 参考答案： 解：（1）依题意知,设直线AB的方程为， 联立 消x得：             ① 又因为 ，所以   ② 联立①② 得 ，所以直线的斜率是 。        ………6分 （2）因为M是OC的中点，所以 因为           所以当时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.………12分   略 22. 椭圆ax2+by2=1（a＞0，b＞0，且a≠b）与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|=2，直线OC的斜率为，求椭圆的方程． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】作差，根据中点坐标公式．求得直线OC的斜率，求得b=a，利用韦达定理，弦长公式即可求得（）2﹣4?=4，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），那么A、B的坐标是方程组的解． 由ax12+by12=1，ax22+by22=1，两式相减，得 a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（y1+y2）（y1﹣y2）=0， 由=﹣1， ∴=， 即=，则==，则b=a，① 再由方程组消去y得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0， 由x1+x2=，x1+x2=， 由|AB|=?=2， 得（x1+x2）2﹣4x1x2=4，即（）2﹣4?=4．② 由①②解得a=，b=， 故所求的椭圆的方程为， 椭圆的方程．