2022-2023学年广东省韶关市乳源桂头中学高二数学理模拟试卷含解析

2022-2023学年广东省韶关市乳源桂头中学高二数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，则的取值范围是（  ）    A           B         C         D  参考答案： A 略 2. 在等差数列{an}中，若a1＋a5＋a9 = 2，则a1＋a3＋a5＋a7＋a9等于（    ） A．10      B． 3       C．     D． 参考答案： D 略 3. 将两个数交换,使,下面语句正确一组是 (   ) 参考答案： B 4. 执行如图所示的程序框图，则输出的数值是（   ） A． B． C． D． 参考答案： B 由题意可得此程序框图的功能是计算的值， 又。 选B。   5. 角α终边过点(-1,2)，则cosα等于  (    ) A.          B.          C.-          D.- 参考答案： C 6. 设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为(     ) A． B．2 C． D．3 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】=tan60°=?4b2=3c2?4（c2﹣a2）=3c2?c2=4a2?=4?e=2． 【解答】解：如图，∵=tan60°， ∴=， ∴4b2=3c2， ∴4（c2﹣a2）=3c2， ∴c2=4a2， ∴=4， ∴e=2． 故选B． 【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用． 7. 对某商店一个月（30天）内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是(　　) A．46，45，56        B．46，45，53 C．47，45，56       D．45，47，53 参考答案： A 8. 已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2 参考答案： D 【考点】6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值． 【解答】解：f′（x）=3x2﹣12； ∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0； ∴x=2是f（x）的极小值点； 又a为f（x）的极小值点； ∴a=2． 故选D． 9. 设则（    ） A．都不大于           B．都不小于       C．至少有一个不大于   D．至少有一个不小于 参考答案： C 10. 已知数列{an}为等差数列，且a1+a7+a13=4π，则cos（a2+a12）=（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】等差数列的性质；三角函数的化简求值． 【分析】由等差数列的性质化简a1+a7+a13=4π，并求出a7的值，代入所求的式子后，由等差数列的性质、诱导公式化简后求值． 【解答】解：∵数列{an}为等差数列，且a1+a7+a13=4π， ∴3a7=4π，解得a7=， ∴cos（a2+a12）=cos2a7=cos=cos（2π+） =cos =， 故选：B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 双曲线4x2﹣y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的距离等于　　． 参考答案： 17 【考点】双曲线的定义． 【分析】首先将双曲线方程化成标准方程，从而得出参数a、b的值，然后根据双曲线的定义得出|PF1﹣PF2|=2a，根据题中的已知数据，可以求出点P到另一个焦点的距离． 【解答】解：将双曲线4x2﹣y2+64=0化成标准形式： ∴a2=64，b2=16 P到它的一个焦点的距离等于1，设PF1=1 ∵|PF1﹣PF2|=2a=16 ∴PF2=PF1±16=17（舍负） 故答案为：17 【点评】本题考查了双曲线的定义与标准方程，属于基础题．利用圆锥曲线的第一定义解题，是近几年考查的常用方式，请同学们注意这个特点． 12. 根据下列对于几何结构特征的描述，说出几何体的名称： （１）   由个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他面都是全等的矩形； （２）   一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形．   参考答案： （１）五棱柱；    （２）圆锥． 13. 已知复数,,,它们所对应的点分别为、、,若，则的值是___________. 参考答案： 5 略 14. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的一条准线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线重合，则实数p的值是　  　． 参考答案： 3 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由已知可得双曲线的准线方程及其抛物线的准线方程即可得出p． 【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣． 由双曲线得a2=3，b2=1，c=2． 取此双曲线的一条准线x=﹣． 由题意可得﹣=﹣，∴p=3． 故答案为：3． 【点评】熟练掌握双曲线与抛物线的标准方程及其性质是解题的关键． 　 15. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（　　） A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到． 【解答】解：由双曲线的离心率为， 则e==，即c=a， b===a， 由双曲线的渐近线方程为y=x， 即有y=x． 故选D． 16. =　　． 参考答案： 17. 设集合，若，则实数的取值范围为            ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 (1) 若的解集是，求实数a，b的值． (2) 若且恒成立，求实数a的取值范围．   参考答案： 解: (1) 由题意得：且是方程的两个根. ………………3分 所以，，解得                  ……………7分 ⑵ 由， 而恒成立 , 即: 恒成立.                ……………8分 时，成立；………10分 所以  ,解得 ，  ………13分 此为所求的的取值范围        ………………14分   19. 命题：关于的不等式对一切恒成立，命题：指数函数是增函数，若或为真、且为假，求实数的取值范围. 参考答案： 由或为真，且为假得与中有且只有一个为真 ①真假得 ②若假真得 综上或 20. （13分）如图，在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中， （1）在正方体的12条棱中，与棱AA1是异面直线的有几条（只要写出结果） （2）证明：AC∥平面A1BC1； （3）证明：AC⊥平面BDD1B1． 参考答案： 【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离． 【分析】（1）画出正方体ABCD﹣A1B1C1D1，根据异面直线的概念即可找出与棱AA1异面的棱． （2）连接AC，A1C1，则A1C1∥AC，利用线面平行的判定定理即可证明； （3）由DD1⊥面AC，知DD1⊥AC，由DD1⊥BD，能够证明AC⊥平面BDD1B1． 【解答】解：（1）与棱AA1异面的棱为：CD，C1D1，BC，B1C1，共4条． （2）证明：连接AC，A1C1，则A1C1∥AC， ∵AC?平面A1BC1，A1C1?平面A1BC1， ∴AC∥平面A1BC1； （3）证明：∵DD1⊥面AC，AC?平面AC，∴DD1⊥AC， ∵AC⊥BD，DD1∩BD=D，BD?平面BDD1B1，DD1?平面BDD1B1 ∴AC⊥平面BDD1B1． 【点评】考查异面直线的概念，直线与平面垂直的证明，直线与平面平行的判定，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题． 21. 已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行． （Ⅰ）求k的值； （Ⅱ）求f（x）的单调区间； （Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）由题意，求出函数的导数，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值； （II）由（I）知， =，x∈（0，+∞），利用导数解出函数的单调区间即可； （III）先给出g（x）=xf'（x），考查解析式发现当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2一定成立，由此将问题转化为证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立，利用导数求出函数在（0，1）上的最值，与1+e﹣2比较即可得出要证的结论． 【解答】解：（I）函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）， ∴=，x∈（0，+∞）， 由已知，，∴k=1． （II）由（I）知， =，x∈（0，+∞）， 设h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2）， 当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，当x∈（ e﹣2，1）时，h'（x）＜0， 可得h（x）在x∈（0，e﹣2）时是增函数，在x∈（ e﹣2，1）时是减函数，在（1，+∞）上是减函数， 又h（1）=0，h（e﹣2）＞0，又x趋向于0时，h（x）的函数值趋向于1 ∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0， 当x＞1时h（x）＜0，从而f'（x）＜0． 综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）． （III）由（II）可知，当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2，故只需证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立． 当0＜x＜1时，ex＞1，且g（x）＞0，∴． 设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2）， 当x∈（0，e﹣2）时，F'（x）＞0，当x∈（ e﹣2，1）时，F'（x）＜0， 所以当x=e﹣2时，F（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2． 所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2． 综上，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2． 【点评】本题考查利用导数研究函数的最值及曲线上某点处的切线方程，解题的关键是灵活利用导数工具进行运算及理解导数与要解决问题的联系，此类题运算量大，易出错，且考查了转化的思想，判断推理的能力，综合性强，是高考常考题型，学习时要严谨认真，注意总结其解题规律． 22. 已知函数f（x）=lnx﹣x+1． （1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程； （2）证明：不等式lnx≤x﹣1恒成立． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1