吉林省长春市第一一二中学高一数学理测试题含解析

吉林省长春市第一一二中学高一数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数f（x）=2sin（2x+）的图象为M，则下列结论中正确的是（　　） A．图象M关于直线x=﹣对称 B．由y=2sin2x的图象向左平移得到M C．图象M关于点（﹣，0）对称 D．f（x）在区间（﹣，）上递增 参考答案： C 【考点】正弦函数的图象． 【分析】利用正弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+）的图象为M，令x=﹣，可得f（x）=0， 可得图象M关于点（﹣，0）对称，故图象M不关于直线x=﹣对称，故C正确且A不正确； 把y=2sin2x的图象向左平移得到函数y=2sin2（x+）=2sin（2x+）的图象，故B不正确； 在区间（﹣，）上，2x+∈（0，π），函数f（x）=2sin（2x+）在区间（﹣，）上没有单调性，故D错误， 故选：C． 2. 函数的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】利用根的存在定理，分别判断，各区间端点处函数值的符合是否相反，从而确定零点所在的区间． 【解答】解：函数在（0，+∞）上单调递增． 因为，， ，， 所以， 所以根据根的存在性定理可知函数的零点所在的区间为． 故选D． 3. 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列三个函数：，，，则（）． A．，，为“同形”函数 B．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数 C．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数 D．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数 参考答案： B ∵， ， ， ， 则，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数， 选． 4. 若一个命题的逆命题为真,则        (     )                                       A．它的逆否命题一定为真             B．它的原命题一定为真   C．它的原命题一定为假               D．它的否命题一定为真 参考答案： D 5. 为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（　　） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 参考答案： D 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】按照函数图象的平移法则，直接求出所求函数的表达式，可得结果． 【解答】解：函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点，横坐标向右平移单位，纵坐标不变，可得函数y=sin（2x﹣）的图象． 故选：D． 6. 下列说法正确的为 ①如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行； ②如果两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线平行； ③如果两条直线同时平行于一个平面，那么这两条直线平行； ④如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．(   ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 参考答案： D 【分析】 ①由平行线的传递性，根据公里四得到其正确性； ②如果两条直线同时垂直于第三条直线，则两直线可以平行，可以相交，也可以异面，从而得到其错误； ③如果两条直线同时平行于一个平面，则两直线可以平行，可以相交，也可以异面从而得到其错误； ④根据线面垂直的性质得到其正确性； 从而得到正确的结果. 【详解】①由平行线的传递性：平行于同一直线的两直线平行，所以正确； ②如果两条直线同时垂直于第三条直线，则两直线可以平行，可以相交，也可以异面，所以不正确； ③如果两条直线同时平行于一个平面，则两直线可以平行，可以相交，也可以异面，所以不正确； ④垂直于同一平面的两直线平行，所以正确； 所以正确的说法是①④， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关空间立体几何的问题，涉及到的知识点有直线平行的传递性，直线的垂直关系，线面平行，线面垂直，属于简单题目. 7. 圆和圆的公切线条数为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： B 【分析】 判断两圆的位置关系，根据两圆的位置关系判断两圆公切线的条数. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为. 圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为. 圆心距为，由于，即， 所以，两圆相交，公切线的条数为，故选：B. 【点睛】本题考查两圆公切线的条数，本质上就是判断两圆的位置关系，公切线条数与两圆位置的关系如下： ①两圆相离条公切线；②两圆外切条公切线；③两圆相交条公切线； ④两圆内切条公切线；⑤两圆内含没有公切线. 8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足，则通项公式an等于(     )． A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 代入求得；根据可证得数列为等比数列，从而利用等比数列通项公式求得结果. 【详解】当时，    当且时， 则，即 数列是以为首项，为公比的等比数列    本题正确选项：C 【点睛】本题考查数列通项公式的求解，关键是能够利用得到数列为等比数列，属于常规题型. 9. 如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量（    ） A．          B． C．            D． 参考答案： A 略 10. 若角的终边经过点，则（  ） A．         B．       C.        D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在约束条件下，目标函数z=ax+by(a>0，b>0)的最大值为1，则ab的最大值等于_______ 参考答案： 略 12. 方程的实根个数为                    . w.w.w.k.s 参考答案： 2 13. △ABC中，已知A（2，1），B（﹣2，3），C（0，1），则BC边上的中线所在的直线的一般式方程为　　． 参考答案： x+3y﹣5=0 【考点】IG：直线的一般式方程． 【分析】利用中点坐标公式可得：线段BC的中点D（﹣1，2）．可得：BC边上的中线所在的直线的点斜式方程，即可化为一般式方程． 【解答】解：线段BC的中点D（﹣1，2）． 可得：BC边上的中线所在的直线的方程：y﹣1=（x﹣2）， 一般式方程为x+3y﹣5=0． 故答案为：x+3y﹣5=0． 14. 已知是正常数，，，则有成立，当且仅当“”取等号，利用上述结论求（）的最小值为______. 参考答案： 25 15. 已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为　　 参考答案： 32 【考点】BA：茎叶图． 【分析】根据中位数相同求出m的值，从而求出甲的平均数即可． 【解答】解：由乙的数据是：21，32，34，36得中位数是33， 故m=3， 故=（27+33+36）=32， 故答案为：32． 16. 若幂函数y=（m2﹣2m﹣2）x﹣4m﹣2在x∈（0，+∞）上为减函数，则实数m的值是　　． 参考答案： 3 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】根据给出的函数为幂函数，由幂函数概念知m2﹣m﹣1=1，再根据函数在（0，+∞）上为减函数，得到幂指数应该小于0，求得的m值应满足以上两条． 【解答】解：因为函数y=（m2﹣2m﹣2）x﹣4m﹣2既是幂函数又是（0，+∞）的减函数， 所以，?，解得：m=3． 故答案为：m=3． 17. 下列说法中正确的有：　　 ①若0＜α＜，则sinα＜α＜tanα ②若α是第二象限角，则是第一或第三象限角； ③与向量=（3，4）共线的单位向量只有=，）； ④函数f（x）=2x﹣8的零点是（3，0）． 参考答案： ①② 【考点】2K：命题的真假判断与应用． 【分析】①，利用单位圆及三角函数线，可得可得0＜α＜时，则sinα＜α＜tanα， ②，若α是第二象限角，则， ，是第一或第三象限角； ③，与向量=（3，4）共线的单位向量有=，），； ④，函数f（x）=2x﹣8的零点3． 【解答】解：对于①，如图，利用单位圆及三角函数线，可得AT＞（劣弧）＞PM， 可得若0＜α＜，则sinα＜α＜tanα，故①正确   对于②，若α是第二象限角，则， ， ∴是第一或第三象限角，故②正确； 对于③，与向量=（3，4）共线的单位向量有=，），，故③错； 对于④，函数f（x）=2x﹣8的零点为3．故④错． 故答案为：①② 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知在中，角所对的边分别为；且a＝3，c＝2， ＝150°，求边的长和。 参考答案： 略 19. 计算： （Ⅰ）； （Ⅱ）已知log73=a，log74=b，求log748．（其值用a，b表示） 参考答案： 【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值；换底公式的应用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）直接利用有理指数幂的运算法则化简求值即可． （Ⅱ）直接利用对数的运算性质，求出结果即可． 【解答】解：（Ⅰ） = = = （Ⅱ）log748 =log73+log716 =log73+2log74 =a+2b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 【点评】本题考查对数的运算法则，有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力． 20. 已知函数f（x）=5sinxcosx﹣5cos2x+（其中x∈R），求： （1）函数f（x）的最小正周期； （2）函数f（x）的单调区间； （3）函数f（x）图象的对称轴和对称中心． 参考答案： 【考点】H6：正弦函数的对称性；H1：三角函数的周期性及其求法；H5：正弦函数的单调性． 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x ）的解析式为 5sin（2x﹣），故此函数的周期为 T==π． （2）由 2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围即为增区间，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围即为减区间． （3）由2x﹣=kπ+，k∈z 求得对称轴方程：x=+，由 2x﹣=kπ，k∈z 求得对称中心（，0）． 【解答】解：（1）函数f（x）=5sinxcosx﹣5cos2x+=﹣+ =5（sin2x﹣）=5sin（2x﹣）， 故此函数的周期为T==π．   （2）由 2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得kπ﹣≤x≤kπ+， 故增区间为：，其中k∈Z， 由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+， 故减区间：，其中k∈Z． （3）由2x﹣=kπ+，k∈Z，可得x=+，故对称轴方程：x=+． 由2x﹣=kπ，k∈Z可得x=，故函数图象的对称中心为：（，0），其中，k∈Z． 【点评】本题考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性、周期性、对称性，把函数f（x）的解析式化为5sin（2x﹣） 是解题的突破口，属于中档题． 21. 已知函数是R上的奇函数。 (1)求m的值； (2)证明在R上单调递减； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实 数k的取值范围。 参考答案： 解：(1) 法一：由函数是上的奇函数知道其图像必经过原点， 即必有，即，解得            …………3分 法二：由题意知在时恒成立， 即在时