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2022-2023学年云南省昆明市高级职业中学高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 定义在R上的函数f(x)满足，且当时，.若对任意的，不等式恒，则实数m的最大值是（ ）
A． -1 B． C. D．
参考答案：
C
函数为偶函数,且当时,函数为减函数,时,函数为增函数.若对任意的，不等式恒成立，则,即,所以.当时,,所以,解得,所以.当,时,不等式成立,当时,,无解,故,的最大值为.
2. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，，则角的最大值为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
参考答案：
B
3. 方程的根为x1，方程的根为x2，则( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
4. 已知是定义在R上的偶函数, 且在上是增函数, 则一定有
A. B. ≥
C. D. ≤
参考答案：
C
5. 已知三点A(1，1)、B(-1，0)、C(3,-1)，则等于 （ ）
A．-2 B．-6 C．2 D．3
参考答案：
A
6. 设全集为实数集，，，则图1中阴影部分所表示的集合是 （ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
7. 我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长，专家预测经过年可能增长到原来的倍，则函数的图像大致为（ ）
参考答案：
D
试题分析：设初始年份的荒漠化土地面积为，则1年后荒漠化土地面积为，2年后荒漠化土地面积为，3年后荒漠化土地面积为，所以年后荒漠化土地面积为，依题意有即，，由指数函数的图像可知，选D.
考点：1.指数函数的图像与性质；2.函数模型及其应用.
8. 满足的集合共有 （ ）
A．6个 B．5个 C．8个 D．7个
参考答案：
D
略
9. 已知函数，下面结论错误的是
A. 函数的最小正周期为2 B. 函数在区间［0，］上是增函数
C.函数的图象关于直线＝0对称 D. 函数是奇函数
参考答案：
D
10. 若集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={1,3,4,7}，B={1,2,4,6,7}，则（ ）
A．{3,6} B．{5} C．{2,3,5,6} D．{1,2,3,4,5,6,7}
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （3分）f（x）=x2+2x+1，x∈[﹣2，2]的最大值是 ．
参考答案：
9
考点： 二次函数的性质．
专题： 计算题．
分析： 先求对称轴，比较对称轴和区间的位置关系，看谁离对称轴最远即可．
解答： ∵f（x）=x2+2x+1，
∴开口向上，对称轴x=﹣1，
∵开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大
∴f（x）在[﹣2，2]上的最大值为f（2）=9
故答案为 9．
点评： 本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大，开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越小．
12. 过点(1,3)作直线l，若l经过点(a,0)和(0,b)，且a，b∈N*，则可作出的l的个数为___________条．
参考答案：
2
13. 下列4个命题：
①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40；
②四边形为长方形，，，为中点，在长方形内随机取一点，取得的点到的距离大于1的概率为；
③把函数的图象向右平移个单位，可得到的图象；
④已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为.
其中正确的命题有 ．(填上所有正确命题的编号)
参考答案：
③④
14. 函数f（x）=1﹣的最大值是 ．
参考答案：
1
【考点】函数的值域．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】由观察法可直接得到函数的最大值．
【解答】解：∵≥0，
∴1﹣≤1，
即函数f（x）=1﹣的最大值是1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了函数的最大值的求法，本题用到了观察法，属于基础题．
15. 已知分别是的角所对的边且，点是的内心，若，则__________
参考答案：
略
16. 将二进制数101101（2）化为十进制结果为 ．
参考答案：
45
【考点】进位制．
【分析】由题意知101 101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25计算出结果即可选出正确选项．
【解答】解：101101（2）
=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25
=1+4+8+32
=45．
故答案为：45．
17.
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
已知,，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
参考答案：
（Ⅰ）由题知：，
因为，所以，故
（Ⅱ）因为所以，又，故
从而
19. 已知（为常数）．
（1）求的递增区间；
（2）若时，的最大值为4，求的值；
（3）求出使取最大值时的集合．
参考答案：
解（1）当 2分
即时，单调递增， 4分
的递递增区间为； 5分
（2）， ， 6分
8分
当时，有最大值为 9分
； 10分
（3）当R，则取最大值时， 12分
， 13分
当R，使取得最大值时的集合为． 14分
略
20. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，VC垂直于⊙O所在的平面，且AB=4，VC=3．
（Ⅰ）若点D在△VCB内，且DO∥面VAC，作出点D的轨迹，说明作法及理由；
（Ⅱ）求三棱锥V﹣ABC体积的最大值，并求取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角的大小．
参考答案：
【考点】MI：直线与平面所成的角；J3：轨迹方程．
【分析】（Ⅰ）取VB，CB的中点，分别记为E，F，连结E，F，由E，F分别为VB、CB的中点，得EF∥VC，从而DO∥面VAC，由此得到D点轨迹是EF．
（Ⅱ）设d为点C到直线AB的距离，由VC⊥面ABC，得到d=2，即C是的中点时，（VV﹣ABC）max=4，此时VC⊥BC，AC⊥BC，从而BC⊥面VAC，进而∠CAB是直线AB与面VAC所成的角，由此能求出三棱锥V﹣ABC体积取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角为45°．
【解答】解：（Ⅰ）取VB，CB的中点，分别记为E，F，
连结E，F，则线段EF即为点D的轨迹，如图所示．
理由如下：
∵E，F分别为VB、CB的中点，
∴EF∥VC，
又EF?面VAC，VC?面VAC，
又D∈EF，OD?面EOF，
∴DO∥面VAC，
∴D点轨迹是EF．
（Ⅱ）设d为点C到直线AB的距离，
∵VC⊥面ABC，
∴
=
=，
∵d∈（0，2]，∴当d=2，即C是的中点时，
（VV﹣ABC）max=4，
∵VC⊥面ABC，BC?面ABC，∴VC⊥BC，
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴AC⊥BC，
∵AC∩VC=C，∴BC⊥面VAC，
∴AC是AB在面VAC上的射影，
∴∠CAB是直线AB与面VAC所成的角，
∵C是的中点，
∴CA=CB，∴∠CAB=45°，
∴三棱锥V﹣ABC体积取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角为45°．
21. （12分）一个圆的圆心在直线x-y-1=0上,与直线4x+3y+14=0相切,在3x+4y+10=0上截得弦长为6,求圆的方程
参考答案：
由圆心在直线x-y-1=0上,可设圆心为（a,a-1）,半径为r,由题意可得
,经计算得a=2,r=5
所以所求圆的方程为
22. 一直线 l 过直线 l1：2x﹣y=1 和直线 l2：x+2y=3 的交点 P，且与直线 l3：x﹣y+1=0 垂直．
（1）求直线 l 的方程；
（2）若直线 l 与圆 C：（x﹣a）2+y 2=8 （a＞0）相切，求 a．
参考答案：
【考点】圆的切线方程．
【分析】（1）由解得P的坐标，再求出直线斜率，即可求直线 l 的方程；
（2）若直线 l 与圆 C：（x﹣a）2+y 2=8 （a＞0）相切，a＞0且C到直线l的距离为，由此即可求 a．
【解答】解：（1）由解得P（1，1）…
又直线l与直线l3：x﹣y+1=0垂直，故l的斜率为﹣1
所以l：y﹣1=﹣（x﹣1）…
即直线l的方程为x+y﹣2=0…（4分
（2）由题设知C（a，0），半径…
因为直线l与圆C：（x﹣a）2+y2=8相切，∴a＞0且C到直线l的距离为…
∴
得a=6或a=﹣2（舍） …
∴a=6．…
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