山西省忻州市神华希望中学2022-2023学年高二数学理上学期期末试卷含解析

山西省忻州市神华希望中学2022-2023学年高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中，若D2=E2＞4F，则圆的位置满足（　　） A．截两坐标轴所得弦的长度相等 B．与两坐标轴都相切 C．与两坐标轴相离 D．上述情况都有可能 参考答案： A 【考点】圆的一般方程． 【分析】在圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中，若D2=E2＞4F，则圆心的横坐标、纵坐标相等，即可得出结论． 【解答】解：在圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中，若D2=E2＞4F，则圆心的横坐标、纵坐标相等或互为相反数， ∴圆心到两坐标轴的距离相等， 故选A． 　 2. 设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为_____ _____． 参考答案： -4 3. 设则二次曲线与必有（    ） A．不同的顶点   B．相同的离心率 C．相同的焦点 D．以上都不对 参考答案： C 4. 函数上的最大值和最小值之和为，则的值为（    ） A．     B．    C．   D． 参考答案： A 5. 已知变量满足，目标函数是，则有(　　) A．            B．无最小值 C．无最大值           D．既无最大值，也无最小值 参考答案： C 略 6. 已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使=，则该椭圆的离心率的取值范围为（　　） A．（0，） B．（） C．（0，） D．（，1） 参考答案： D 【考点】正弦定理；椭圆的简单性质． 【分析】由“”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围． 【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理得： 则由已知得：， 即：aPF1=cPF2 设点P（x0，y0）由焦点半径公式， 得：PF1=a+ex0，PF2=a﹣ex0 则a（a+ex0）=c（a﹣ex0） 解得：x0== 由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则＞﹣a， 整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜﹣﹣1或e＞﹣1，又e∈（0，1）， 故椭圆的离心率：e∈（﹣1，1）， 故选D． 7. 设,集合是奇数集,集合是偶数集.若命题,则 A． B． C． D． 参考答案： D 8. 有关命题的说法错误的是 (  )  A.命题“若 则 ”的逆否命题为：“若, 则”. B.“”是“”的充分不必要条件. C.若为假命题，则、均为假命题. D.对于命题：存在使得. 则：对于任意， 均有   参考答案： C 9. 下列说法正确的是                                        （     ） A．命题“设，若，则”为真命题； B．“”是“”的充分不必要条件；[ C．设p：“所有正数的对数均为正数”，q：“”，则为真； D．命题“”的否定是“”． 参考答案： C 10. “a=﹣1”是“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【分析】由题意需要把﹣1代入直线方程，判断斜率之积是否为﹣1；再由直线垂直的等价条件求出两直线垂直时a的值，再判断充分性和必要性是否成立． 【解答】解：当a=﹣1时，直线分别为x﹣y+6=0与4x+4y+9=0，则两直线垂直； 当直线a2x﹣y+6=0与4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直时，则有4a2+（a﹣3）=0，解得a=﹣1或， 故选A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设的内角的对边分别为,.   (I)求 (II)若,求. 参考答案： (Ⅰ)因为, 所以. 由余弦定理得,, 因此,. (Ⅱ) 法二：由(Ⅰ)知,所以 故或, 因此,或. 略 12. 直线x+y+1=0的倾斜角是　   　． 参考答案： 135° 【考点】直线的一般式方程． 【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角． 【解答】解：直线x+y+1=0的斜率k=﹣1， ∴直线x+y+1=0的倾斜角α=135°． 故答案为：135°． 13. 方程有两个根，则的范围为           参考答案： 14. 已知直线与抛物线交于两点，则线段的中点坐标是 _________． 参考答案： 15. 过点（1，2）总可以作两条直线与圆 x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0 相切，则实数k的取值范围是　　． 参考答案： （﹣，﹣3）∪（2，） 【考点】点与圆的位置关系． 【分析】把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的并集即为实数k的取值范围． 【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+k）2+（y+1）2=16﹣k2， 所以16﹣k2＞0，解得：﹣＜k＜， 又点（1，2）应在已知圆的外部， 把点代入圆方程得：1+4+k+4+k2﹣15＞0，即（k﹣2）（k+3）＞0， 解得：k＞2或k＜﹣3， 则实数k的取值范围是（﹣，﹣3）∪（2，）． 故答案为：（﹣，﹣3）∪（2，） 16. 在的展开式中，的系数为         . 参考答案： -10 17. 函数的最大值为__________. 参考答案： ． 【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用求最值．   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知直线l1：x+y﹣3m=0和l2：2x﹣y+2m﹣1=0的交点为M． （Ⅰ）若点M在第四象限，求实数m的取值范围； （Ⅱ）当直线l1在y轴上的截距为3是，求过点M且与直线l2垂直的直线方程． 参考答案： 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的截距式方程． 【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆． 【分析】（1）联立方程，求出方程组的解，得到M的坐标，根据点M在第四象限，得到关于m的不等式解得即可， （2）根据l1在y轴上的截距为3，求出m=1，即可求出M的坐标，设过点M且与直线l2垂直的直线方程x+2y+c=0，将M的坐标代入即可求出c的值，问题得以解决． 【解答】解：（1）由，解得x=，y=， ∴交点为M的坐标为（，）， ∵点M在第四象限， ∴， 解得﹣1＜m＜， （Ⅱ）∵直线l1在y轴上的截距为3m， ∴3m=3，解得m=1， ∴M（，）， 设过点M且与直线l2垂直的直线方程x+2y+c=0， 将点M（，）代入解得c=﹣， 故所求的直线方程为3x+6y﹣16=0． 【点评】本题考查直线的一般式方程，涉及直线的垂直关系和直线的截距式方程，属基础题． 19. （本小题满分14分） 在数列中，对于任意，等式成立，其中常数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求证：数列为等比数列； （Ⅲ）如果关于n的不等式的解集为，求b和c的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）解：因为，            所以，，             解得 ，.          ………………………… 3分 （Ⅱ）证明：当时，由，     ① 得，               ② 将①，②两式相减，得 ,   化简，得，其中.         ………………… 5分 因为， 所以 ，其中.      ………………………… 6分 因为 为常数，    所以数列为等比数列.     …………………… 8分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，      ……………………… 9分     所以， 11分     又因为，     所以不等式化简为，     当时，考察不等式的解， 由题意，知不等式的解集为， 因为函数在R上单调递增， 所以只要求 且即可， 解得；     …………………… 13分 当时，考察不等式的解， 由题意，要求不等式的解集为， 因为， 所以如果时不等式成立，那么时不等式也成立， 这与题意不符，舍去. 所以，.                  ………………………… 14分 20. 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗? 请用你的计算数据说明理由．   参考答案：   21. 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a10=15，且a3、a4、a7成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；等差数列的前n项和． 【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，（d≠0），依题意，解方程组可求得，从而可得数列{an}的通项公式； （Ⅱ）由于bn==，于是Tn=+++…+，利用错位相减法即可求得数列{bn}的前n项和Tn． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，（d≠0）， 由已知得：，即，解之得：， ∴an=2n﹣5，（n∈N*）． （Ⅱ）∵bn==，n≥1． Tn=+++…+，① Tn=+++…++，② ①﹣②得： Tn=+2（++…+）﹣=﹣+， ∴Tn=﹣1﹣（n∈N*）． 【点评】本题考查等差数列的通项公式与错位相减法求和，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，考查运算能力，属于中档题． 22. 在平面直角坐标系xoy中，己知定点F（l，0），点P在y轴上运动，点M在x轴上，点N 为平面内的动点，且满足可．求动点N的轨迹C的方程． 参考答案： 【考点】轨迹方程． 【分析】设点N（x，y），M（a，0），P（0，b），由已知条件推导出点M（﹣x，0），P（0，）．由此能求出动点N的轨迹C的方程． 【解答】解：设点N（x，y），M（a，0），P（0，b）． ∵+=可知，∴点P是MN的中点， ∴a=﹣x，b=， ∴点M（﹣x，0），P（0，）． ∴=（﹣x，﹣），=（1，﹣）， ∵，∴﹣x+=0，即y2=4x． ∴动点N的轨迹C的方程为y2=4x