上海昂立中学生教育(上南分校)高一数学理上学期期末试题含解析

上海昂立中学生教育(上南分校)高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m（如图所示），则旗杆的高度为(     ) A．10 m B．30 m C．10m D．10m 参考答案： B 【考点】解三角形． 【专题】数形结合；数形结合法；解三角形． 【分析】由题意作图可得已知数据，由正弦定理可得BD，进而可得CD． 【解答】解：由题意可得在△ABD中，∠BAD=45°，∠ABD=105°，∠ADB=30°， 由正弦定理可得BD===20， ∴CD=BDsin60°=20×=30， 故选：B． 【点评】本题考查解三角形的实际应用，从实际问题中抽象出三角形是解决问题的关键，属中档题． 2. 含有三个实数的集合可表示为,也可表示为,则的值为( ) A．0             B．         C．           D．1 参考答案： C 3. 若α为锐角且cos（）=，则sin（）=（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【考点】运用诱导公式化简求值． 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值． 【分析】由已知直接结合诱导公式求得sin（）的值． 【解答】解：∵cos（）=， ∴sin（）=sin[]=cos（）=． 故选：A． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，关键是对诱导公式的记忆，是基础题． 参考答案： 4. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A．      B．      C．      D． 参考答案： C 5. 已知奇函数f（x）、偶函数g（x）的图象分别如图①②所示，若方程f[g（x）]=0，g[f（x）]=0的实根个数分别为a，b，则a+b等于（　　） A．10 B．14 C．7 D．3 参考答案： A 【考点】函数的图象． 【分析】先利用奇函数和偶函数的图象性质判断两函数的图象，再利用图象由外到内分别解方程即可得两方程解的个数，最后求和即可． 【解答】解：由图可知，图1为f（x）图象，图2为g（x）的图象，m∈（﹣2，﹣1），n∈（1，2） ∴方程f（g（x））=0?g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1?x=﹣1，x=1，x=m，x=0，x=n，x=﹣2，x=2，∴方程f（g（x））=0有7个根，即a=7； 而方程g（f（x））=0?f（x）=a或f（x）=0或f（x）=b?f（x）=0?x=﹣1，x=0，x=1， ∴方程g（f（x））=0 有3个根，即b=3． ∴a+b=10 故选：A． 6. 已知函数的图象是连续不间断的，对应值表如下： 1 2 3 4 5 6 12.04 13.89 －7.67 10.89 －34.76 －44.67 则函数存在零点的区间有(　 　) （A）区间[1,2]和[2,3]           （B）区间[2,3]和[3,4] （C）区间[2,3]和[3,4]和[4,5]     （D）区间[3,4]和[4,5]和[5,6] 参考答案： C 7. 在平面直角坐标系中，直线与圆相交于A，B两点，则弦AB的长等于 A. B. C. D. 1 参考答案： B 8. 已知向量，，若，则实数k等于（） A.          B. 3          C. -7           D. -2 参考答案： B 9. 在△ABC中，若，则△是             （    ） A．等边三角形      B．等腰三角形    C．不等边三角形      D．直角三角形 参考答案： B 略 10. 函数的零点所在的区间为（   ）. A. [1，2]         B. [2，3]        C. [3，4]   D. [5，6] 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是___km． 参考答案： 5 【分析】 根据题意，画出图形，运用正弦定理，求解. 【详解】根据题意，画出如下图的示意图：点A为开始出发点，点C为灯塔，点B是船沿南偏东60°的方向航行15 km后的位置. 所以有，利用正弦定理可得： . 【点睛】本题考查了正弦定理的应用. 12. 已知，则=        ． 参考答案： 13. 不等式|2x﹣1|﹣|x+2|＞0的解集为　　． 参考答案： 【考点】绝对值三角不等式． 【分析】不等式可化为|2x﹣1|＞|x+2|，两边平方整理可得（3x+1）（x﹣3）＞0，即可得出不等式的解集． 【解答】解：不等式可化为|2x﹣1|＞|x+2|， 两边平方整理可得（3x+1）（x﹣3）＞0， ∴x＜﹣或x＞3， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 14. 已知向量， ，，且，则向量，的夹角＝　　　　　。 参考答案： 15. 已知平面向量，满足|| = ，|| = ，且与的夹角为，则=   . 参考答案： 16. 如果的定义域为[-1,2]，则的定义域为         .       参考答案： [- , ] 17. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，则A=______ 参考答案： 【分析】 利用正弦定理将角化边，将用表示出来，用余弦定理，即可求得 【详解】因为，故可得； 因为，故可得； 综合即可求得. 由余弦定理可得. 又因为，故可得. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用正弦定理将角化边，以及用余弦定理解三角形，属综合中档题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在半径为2，圆心角为的扇形金属材料中剪出一个四边形MNQP，其中M、N两点分別在半径OA、OB上，P、Q两点在弧上，且OM=ON，MN∥PQ． （1）若M、N分別是OA、OB中点，求四边形MNQP面积的最大值． （2）PQ=2，求四边形MNQP面积的最大值． 参考答案： 【考点】HN：在实际问题中建立三角函数模型；HW：三角函数的最值． 【分析】（1）设∠AOP=∠BOQ=θ∈（0，），则∠POQ=﹣2θ，且此时OM=ON=1，利用分割法，即可求四边形MNQP面积的最大值． （2）PQ=2，可知∠POQ=，∠AOQ=∠BOP=，利用分割法，即可求四边形MNQP面积的最大值． 【解答】解：（1）连接OP，OQ，则四边形MNQP为梯形． 设∠AOP=∠BOQ=θ∈（0，），则∠POQ=﹣2θ，且此时OM=ON=1， 四边形MNQP面积S=sinθ+sinθ+×2sin（﹣2θ）﹣=﹣4sin2θ+2sinθ+， ∴sinθ=，S取最大值； （2）设OM=ON=x∈（0，2）， 由PQ=2可知∠POQ=，∠AOQ=∠BOP=， ∴sin=， ∴四边形MNQP面积S=x+x+﹣x2=﹣x2+x+， ∴x=，S取最大值为． 19. (本小题满分12分)设是三角形的内角，且和是关于方程的两个根. （1）求的值； （2）求的值. 参考答案： 略 20. 已知函数， （1）求函数的定义域；            （2）求的值； 参考答案： 解：（1）要使函数有意义      得且      所以函数的定义域为  （2）依题意，得        略 21. 设函数． （1）求函数f(x)的最大值和最小正周期； （2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若，，C为锐角，求sinA． 参考答案： （1），； （2）． （1） .................4分   当，即时，. 最小正周期..................6分 （2）由（1）得，得. 因为角C为锐角，所以.................8分 由，得，..............10分 所以 .....................12分 22. 已知函数f（x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x）（a∈R）的图象关于y轴对称． （1）求函数f（x）的定义域； （2）求a的值； （3）若函数g（x）=x﹣2f（x）﹣2t有两个不同的零点，求实数t的取值范围． 参考答案： 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】（1）由对数函数的定义即可求出函数的定义域， （2）根据偶函数的性质，即可求出a的值， （3）解法一：根据函数零点定理可得关于t的方程组，解得即可，解法二：分别作出函数y=x2+x﹣1（﹣1＜x＜1）和y=2t的图象，由图象可得． 【解答】解：（1）由解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（﹣1，1）． （2）依题意，可知f（x）为偶函数，所以f（﹣x）=f（x），即log2（1﹣x）+alog2（1+x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x）， 即（a﹣1）[log2（1+x）﹣log2（1﹣x）]=0，即在（﹣1，1）上恒成立，所以a=1． （3）解法一：由（2）可知， 所以g（x）=x2+x﹣1﹣2t，它的图象的对称轴为直线． 依题意，可知g（x）在（﹣1，1）内有两个不同的零点， 只需，解得． 所以实数t的取值范围是． 解法二：由（2）可知， 所以g（x）=x2+x﹣1﹣2t． 依题意，可知g（x）在（﹣1，1）内有两个不同的零点，即方程2t=x2+x﹣1在（﹣1，1）内有两个不等实根， 即函数y=2t和y=x2+x﹣1在（﹣1，1）上的图象有两个不同的交点． 在同一坐标系中，分别作出函数y=x2+x﹣1（﹣1＜x＜1）和y=2t的图象，如图所示． 观察图形，可知当，即时，两个图象有两个不同的交点． 所以实数t的取值范围是．