湖南省怀化市庄坪中学高三数学理联考试卷含解析

湖南省怀化市庄坪中学高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知直线 与抛物线y2=4x交于A，B两点（A在x轴上方），与x轴交于F点， ，则λ﹣μ=（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】KN：直线与抛物线的位置关系． 【分析】直线过抛物线的焦点F（1，0），把直线方程代入抛物线的方程解得A、B 的坐标，由 ，得到3λ+μ=1，2λ﹣ μ=0，解方程从而求得λ﹣μ的值． 【解答】解：直线 过抛物线的焦点F（1，0）， 把直线方程代入抛物线的方程y2=4x，解得 ，或 ， 不妨设A（3，2 ）、B （ ，﹣ ）． ∵ ， ∴（1，0）=（3λ，2λ）+（ μ，﹣ μ） =（3λ+ μ，2 λ﹣ μ ）． ∴3λ+ μ=1，2 λ﹣ μ=0， ∴λ= ，μ= ， 则λ﹣μ=﹣． 故选：B． 2. 已知正项等比数列=                                               （    ）          A．   B．2         C．4         D． 参考答案： A 3. 设，则对任意正整数，都成立的是（    ） A、      B、     C、       D、 参考答案： C 略 4. 若是的重心，分别是角的对边，若 ，则角（ ） A.       B.    C.        D. 参考答案： D 略 5. 已知数列的前项和，则数列的前6项和为（  ） A．         B．       C.         D． 参考答案： A 6. 数列{an}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都an+1=a1+an+n，则++…+=(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 考点：数列递推式． 专题：点列、递归数列与数学归纳法． 分析：对于任意的n∈N*都an+1=a1+an+n，可得an+1﹣an=n+1，利用“累加求和”可得an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=．于是=2．再利用“裂项求和”即可得出． 解答： 解：∵对于任意的n∈N*都an+1=a1+an+n， ∴an+1﹣an=n+1， ∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1 =n+（n﹣1）+…+2+1 =． ∴==2． ∴++…+=+…+ =2 =． 故选：B． 点评：本题考查了“累加求和”、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了计算能力，属于中档题． 7. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（    ） A．4个   B.6个   C. 10个    D.14个 参考答案： 【知识点】新定义. C  解：分以下两种情况讨论：（1）点P到其中两个点的的距离相等，到另外两个点的距离分别相等，且这两个距离相等，此时点P位于正四面体各棱的中点，符合条件的有6个点；（2）点P到其中三个点的的距离相等，到另外一个点的距离与它到其它三个点的距离不相等，此时点P在正四面体各侧面的中心，符合条件的有4个点；综上，满足题意的点共计10个，故答案选C. 【思路点拨】抓住已知条件中的关键点进行分类讨论即可. 8. 在等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20的值是  (      ) A．14             B．16             C．18             D．20 参考答案： B 9. 函数在区间[－3,3]的图象大致为（   ） A．                    B．         C．                   D． 参考答案： A 10. 己知等差数列的公差d≠0，且成等比数列，若a1=1，是数列前n项的和，则的最小值为        A．4                     B． 3                  C．               D．  参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知的展开式中含项的系数为－14，则         . 参考答案：   根据乘法分配律得 ，，.，，表示圆心在原点，半径为的圆的上半部分.当时，，故.   12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA=　  　． 参考答案：   【考点】正弦定理． 【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解． 【解答】解：∵A=2B， ∴sinA=sin2B=2sinBcosB， ∵b=a， ∴由正弦定理可得： ===2cosB， ∴cosB=， ∴cosA=cos2B=2cos2B﹣1=． 故答案为：． 　 13. 函数f（x）=（sin2x﹣cos2x）+2sinxcosx的最小正周期为　　，单调递增区间为　　． 参考答案： （1）π，（2）． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】（1）用三角恒等变换化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期； （2）根据三角函数的单调性，求出f（x）的单调增区间即可． 【解答】解：（1）∵函数f（x）=（sin2x﹣cos2x）+2sinxcosx =﹣cos2x+sin2x =2sin（2x﹣）， ∴f（x）的最小正周期为T==π； （2）∵f（x）=2sin（2x﹣）， ∴令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z； ∴2kπ﹣≤2x≤2kπ+π，k∈Z； ∴kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z； ∴函数f（x）的单调增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z． 故答案为：（1）π，（2）． 【点评】本题考查了三角函数的恒等变换问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目． 14. 若函数f ( x ) =（x ≥ 2）的最小值是0，则实数k的值是         。 参考答案： – 5或1 15.                 . 参考答案： 16. 若对于曲线（e为自然数对数的底数）的任意切线l1，总存在曲线的切线，使得，则实数a的取值范围为　    ． 参考答案： 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知过点M（1，1）的直线l与圆（x+1）2+（y﹣2）2=5相切，且与直线ax+y﹣1=0垂直，则实数a=　　． 参考答案： ． 【分析】由题意，直线ax+y﹣1=0的斜率﹣a==﹣，即可得出结论． 【解答】解：由题意，直线ax+y﹣1=0的斜率﹣a==﹣， ∴a=． 故答案为． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由． 参考答案： 解：（Ⅰ）设F(c，0)，当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0， ∴O到l的距离为＝， 由已知，得＝，∴c＝1． 由e＝＝，得a＝，b＝＝．……………………………………4分 （Ⅱ）假设C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(x1＋x2，y1＋y2)． 由（Ⅰ），知C的方程为＋＝1． 由题意知，l的斜率一定不为0，故不妨设l：x＝ty＋1． 由消去x并化简整理，得(2t2＋3)y2＋4ty－4＝0． 由韦达定理，得y1＋y2＝－， ∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝t(y1＋y2)＋2＝－＋2＝， ∴P(，－)． ∵点P在C上，∴＋＝1， 化简整理，得4t4＋4t2－3＝0，即(2t2＋3)(2t2－1)＝0，解得t2＝． 当t＝时，P(，－)，l的方程为x－y－＝0； 当t＝－时，P(，)，l的方程为x＋y－＝0． 故C上存在点P(，±)，使＝＋成立，此时l的方程为x±y－＝0．…………………………………………………………………………………14分       略 19. （本小题满分12分）    已知等差数列的各项互不相等，前两项的的和为10，设向量，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，其前n项和是，求； 参考答案： 20. （本小题满分13分）[来#源:中教%&*网~] 某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）. （１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间； （２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案. 参考答案： 解：（Ⅰ）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为 由题设有   期中均为1到200之间的正整数. （Ⅱ）完成订单任务的时间为其定义域为 易知，为减函数，为增函数.注意到 于是 （1）当时， 此时   ， 由函数的单调性知，当时取得最小值，解得 .由于 . 故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为. （2）当时， 由于为正整数，故，此时易知为增函数，则 . 由函数的单调性知，当时取得最小值，解得.由于 此时完成订单任务的最短时间大于. （3）当时， 由于为正整数，故，此时由函数的单调性知， 当时取得最小值，解得.类似（1）的讨论.此时 完成订单任务的最短时间为，大于. 综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数 分别为44,88,68. 【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想. 21. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和单调减区间； （2）将函数图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在区间0,]上的最小值。 参考答案： 考点：三角函数图像变换三角函数的图像与性质恒等变换综合 试题解析：（1）由已知得 由得： 所以函数的单调减区间 （2）将函数图象向右平移个单位长度后得到函数。 因为所以 所以当时， 22. 在直角坐标系xOy中，曲线（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为. （1）求曲线C1的极坐标方程； （2）已知点，直线l的极坐标方程为，它与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2的交点为Q，求的面积. 参考答案： （1）（2）1 【分析】 （1）首先把参数方程转化为普通方程，利用普通方程与极坐标方程互化的公式即可得到曲线的极坐标方程； （2）分别联立与的极坐标方程、与的极坐标方程，得到、两点的极坐标，即可求出的长，再计算出到直线的距离，由此即可得到的面积。