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河南省焦作市温县第六高级中学高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩(CUB)=( )
A. {0} B. {1} C.{0,1} D.{0,1,2,3,4}
参考答案:
B
由,集合,得:,则,故选B.
2. 已知函数,则其值域为
A.(0,1) B.(-1,0) C.(-1,1) D.[-1,1]
参考答案:
C
3. 圆C的方程为x2+y2-2x-2y-2=0,则该圆的半径,圆心坐标分别为
A . 2,(-2,1) B . 4,(1,1) C.2,(1,,1) D .,(1,2)
参考答案:
C
略
4. 2sin215°﹣1的值是( )
A. B.﹣ C.﹣ D.
参考答案:
C
【考点】GI:三角函数的化简求值.
【分析】直接利用二倍角的余弦化简求值.
【解答】解:2sin215°﹣1=﹣(1﹣2sin215°)=﹣cos30°=﹣.
故选:C.
5. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.π B.2π C.4π D.8π
参考答案:
B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个圆柱,代入圆柱体积公式,可得答案.
【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个圆柱,
圆柱的底面直径为2,
故圆柱的底面半径r=1,
圆柱的底面面积S=π,
圆柱的高h=2,
故圆柱的体积V=Sh=2π,
故选:B.
【点评】本题考查的知识点是圆柱的体积和表面积,简单几何体的三视图,难度中档.
6. 若 ,则( )
A 9 B C D
参考答案:
B
略
7. 一个正四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
8.
在△ABC中,则∠C的大小为 ( )
A、30° B、150° C、30°或150° D、60°或150°
参考答案:
A
9. 已知sinθ+cosθ=,,则sinθ﹣cosθ的值为( )
A. B.﹣ C. D.﹣
参考答案:
B
【考点】同角三角函数基本关系的运用.
【专题】三角函数的求值.
【分析】由题意可得可得1>cosθ>sinθ>0,2sinθcosθ=,再根据sinθ﹣cosθ=﹣,计算求得结果.
【解答】解:由sinθ+cosθ=,,可得1>cosθ>sinθ>0,1+2sinθcosθ=,
∴2sinθcosθ=.
∴sinθ﹣cosθ=﹣=﹣=﹣,
故选:B.
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,正弦函数、余弦函数的定义域和值域,属于基础题.
10. 不等式的解集( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 圆:和圆:交于A、B两点,则AB的垂直平分线的方程是
参考答案:
略
12. 在△ABC中,给出下列5个命题:①若,则;②若,则;③若,则;④若,则;⑤若,则其中正确命题的序号是__________.
参考答案:
①②④⑤
【分析】
根据三角形中大边对大角、正弦定理、同角三角函数的关系可判断①②④;利用特列法可判断③;利用正切函数的单调性可判断⑤.
【详解】在△ABC中,
,
故①②④正确;
若
则,
∴③错误;
,
∴;
∴,故⑤正确
答案①②④⑤
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断,综合考查三角形中的边角关系、正弦定理、同角三角函数的关系以及正切函数的单调性,属于难题.这种题型综合性较强,也是高考的命题热点,同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”,因此做这类题目更要细心、多读题,尽量挖掘出题目中的隐含条件,另外,要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手,然后集中精力突破较难的命题.
13. 某校高一年级有个学生,高二年级有个学生,高三年级有300个学生,采用分层抽样抽一个容量为45的样本,高一年级被抽取20人,高二年级被抽取10人,则此学校共有学生 人.
参考答案:
900
略
14. 直线2x﹣5y﹣10=0与坐标轴所围成的三角形面积是 .
参考答案:
5
【分析】求出直线与坐标轴的交点,即可求解三角形的面积.
【解答】解:直线2x﹣5y﹣10=0与坐标轴的交点坐标为(0,﹣2),(5,0),
所以直线2x﹣5y﹣10=0与坐标轴所围成的三角形面积是: =5.
故答案为:5.
15. 已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(9,3),则f(x)= .
参考答案:
【解答】解:∵幂函数f(x)=xα的图象经过点(9,3),
∴3=9α
∴
∴f(x)=
16. 若关于x的方程()在区间[1,3]有实根,则最小值是____.
参考答案:
【分析】
将看作是关于的直线方程,则表示点到点的距离的平方,根据距离公式可求出点到直线的距离最小,再结合对勾函数的单调性,可求出最小值。
【详解】将看作是关于的直线方程,
表示点与点之间距离的平方,
点(0,2)到直线的距离为,
又因为,令,
在上单调递增,所以,
所以的最小值为.
【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式以及对勾函数单调性的应用,意在考查学生转化思想的的应用。
17. “a<”是“一元二次方程x2-x+a=0有实数解”的________条件.
参考答案:
充分不必要
解析:若一元二次方程x2-x+a=0有实数解,则Δ≥0,即1-4a≥0,即a≤,又“a<”能推出“a≤”,
但“a≤”不能推出“a<”,
即“a<”是“一元二次方程x2-x+a=0有实数解”的充分不必要条件.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)设,
(1)求证:;
(2)求证:.
参考答案:
(1)证明:设,,则,………………4分
(2)证明:,可见.
再研究的单调性.
设,则.
因为,且,所以,,又,及
,则,即.………………8分
因此函数在上单调递增.…………………10分
而,故.……………………12分
19. 若函数f(x)=22x+2xa+a+1有零点,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】函数的零点与方程根的关系.
【分析】f(x)=22x+2xa+a+1=(2x)2+2xa+a+1,再由△=a2﹣4(a+1)≥0得a≥2+2或a≤2﹣2;从而讨论对称轴即可.
【解答】解:f(x)=22x+2xa+a+1=(2x)2+2xa+a+1,
△=a2﹣4(a+1)≥0;
解得,a≥2+2或a≤2﹣2;
若a≤2﹣2,
则y=t2+ta+a+1的对称轴x=﹣>0,
故数f(x)=22x+2xa+a+1有零点;
若a≥2+2,则
y=a+1<0;
故矛盾;
综上所述,a≤2﹣2.
20. (本小题满分12分)
如图,左侧的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,
它的正视图和侧视图如图(单位:).
(1)求该多面体的体积;
(2)证明:平面∥平面.
参考答案:
(1)所求多面体的体积.……6分
(2)如图,在长方体中,依题意分别为的中点.
连接,则四边形为平行四边形,. ……9分
分别为的中点,
,从而∥.
平面,, ∥平面. ……12分
21. (10分)如图所示,某住宅小区有一个矩形休闲广场ABCD,其中AB=40 米,BC=30 米,根据小区业主建议,需将其扩大成矩形区域EFGH,要求A、B、C、D四个点分别在矩形EFGH的四条边(不含顶点)上.设∠BAE=θ,EF长为y米.
(1)将y表示成θ的函数;
(2)求矩形区域EFGH的面积的最大值.
参考答案:
考点: 三角函数的最值;函数解析式的求解及常用方法;三角函数中的恒等变换应用.
专题: 三角函数的求值.
分析: (1)由几何图形结合解直角三角形知识将y表示成θ的函数;
(2)直接由矩形面积等于长乘宽列出面积关于θ的表达式,结合三角函数的化简与求值得答案.
解答: (1)如图,
由∠BAE=θ,∠E=90°,得∠ABE=90°﹣θ,
再由∠ABC=90°,得∠CBF=θ,同理∠DCG=θ.
由AB=40(米),BC=30(米),四边形ABCD为矩形,得DC=40(米),
因此,EF=EB+BF=40sinθ+30cosθ(米),
因此y=40sinθ+30cosθ(0°<θ<90°);
(2)+2500sinθcosθ
=1200+1250sin2θ,(0°<θ<90°).
因此θ=45°时,SEFGH取到最大值,最大值为2450.
因此,矩形区域EFGH的面积的最大值为2450平方米.
点评: 本题考查了简单的数学建模思想方法,考查了三角函数的化简与求值,正确将y表示成θ的函数是解答该题的关键,是中档题.
22. (本小题满分12分)
函数在同一个周期内,当时取最大值1,
当时,取最小值。
(1)求函数的解析式
(2)若函数满足方程求在内的所有实数根之和.
参考答案:
(1)
又因
又
函数
(2)的周期为
在内恰有3个周期,
并且方程在内有6个实根,且
同理,
故所有实数之和为
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