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江西省赣州市长塘中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在矩形ABCD中,|AB|=3,|AC|=5,,,若=x+y,则x+y的值为( )
A.2 B.4 C.5 D.7
参考答案:
D
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【分析】由已知利用勾股定理可得|AD|,从而可得=3, ==4,由向量的加法可得=+=3+4,利用平面向量的基本定理及其意义即可得解x,y的值,进而得解.
【解答】解:∵在矩形ABCD中,|AB|=3,|AC|=5,
∴利用勾股定理可得:|AD|=4,
∵=, =,
∴=3, ==4,
∴=+=3+4,
∴x=3,y=4,可得:x+y=7.
故选:D.
2. 函数的定义域是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 以Sn表示等差数列{an}的前n项和,若a2+a7﹣a5=6,则S7=( )
A.42 B.28 C.21 D.14
参考答案:
A
【考点】等差数列的前n项和.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】由题意和通项公式易得a4=6,又可得S7=7a4,代值计算可得.
【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,
∵a2+a7﹣a5=6,∴(a1+d)+(a1+6d)﹣(a1+4d)=6,
∴a1+3d=6,即a4=6,
∴S7=(a1+a7)=×2a4=7a4=42
故选:A
【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质,属基础题.
4. (3分)若loga3<logb3<0,则( )
A. 0<a<b<1 B. 0<b<a<1 C. a>b>1 D. b>a>1
参考答案:
考点: 对数函数的单调区间.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: 化loga3<logb3<0为log3b<log3a<0,利用函数的单调性求解.
解答: ∵loga3<logb3<0,
∴<<0,
即log3b<log3a<0,
故0<b<a<1,
故选B.
点评: 本题考查了对数的运算及对数函数单调性的利用,属于基础题.
5. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )
参考答案:
A
6. 命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
参考答案:
D
全称命题的否定式特称命题,所以原命题的否定为,,选D.
7. 若(,i为虚数单位),则复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
参考答案:
A
【分析】
化简可得,根据两复数相等的原则,解出a,b,即可得结果
【详解】由题意得,
所以,
所以,所以复数在复平面内对应的点为(3,-2)在第四象限
【点睛】本题考查两复数相等的概念,即两复数实部与实部相等,虚部与虚部相等,属基础题。
8. 复数满足,则复数在复平面内对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
由得,,则复数在复平
面内对应的点为,该点在第一象限,故选.
9. 要得到函数的图象,只要将函数的图象
(A)向左平移单位 (B)向右平移单位
(C)向右平移单位 (D)向左平移单位
参考答案:
C
略
10. 已知条件:()则它的充要条件的是( )
(A)(B)(C)(D) >
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足,则的最大值是 。
参考答案:
1
12. 函数,则的值等于
参考答案:
8
13. 若||=2,||=,与的夹角为45°,要使k—与垂直,则k= .
参考答案:
2
14. 则函数
的零点个数为 .
参考答案:
8
15. 若向量,则与夹角的余弦值等于_____
参考答案:
【分析】
利用坐标运算求得;根据平面向量夹角公式可求得结果.
【详解】
本题正确结果:
【点睛】本题考查向量夹角的求解,明确向量夹角的余弦值等于向量的数量积除以两向量模长的乘积.
16. 命题“对任意,tanx<m恒成立”是假命题,则实数m取值范围是 .
参考答案:
(﹣∞,1]
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】由x的范围求出tanx的范围,再由tanx<m恒成立求出m的范围,结合补集思想求得命题“对任意,tanx<m恒成立”是假命题的m的取值范围.
【解答】解:当时,tanx∈[0,1],
若tanx<m恒成立,则m>1.
∵命题“对任意,tanx<m恒成立”是假命题,
∴m≤1.
∴实数m取值范围是(﹣∞,1].
故答案为:(﹣∞,1].
17. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果S= ▲ .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知两锐角的正弦值,是实系数方程的两根.若满足且试求数列
参考答案:
解:假设存在实数,使方程的两根是一个直角三角形的两锐角的正弦,
则
,
.
当时,原方程为,,不合题意.
当时,原方程为,,符合题意.
从而 是等比数列,
=.
19. (本小题满分14分)已知函数在处有极值.
(Ⅰ)求实数的值; (Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)令,若曲线在处的切线与两坐标轴分别交于,两点(为坐标原点),求的面积.
参考答案:
(Ⅰ)因为,
所以。由,可得 ,.
经检验时,函数在处取得极值,所以.
(Ⅱ),
.而函数的定义域为,
当变化时,,的变化情况如下表:
极小值
由表可知,的单调减区间为,的单调减区间为.
20. (本题满分13分) 已知,求下列各式的值:
(I) ;
(II).
参考答案:
由已知得tan α=. ……………………3分
(1)原式=
……………………8分
(2) 原式=sin2α+sin αcos α+2
=sin2α+sin αcos α+2(cos2α+sin2α)
……………………13分
21. 如图,在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥底面ABC,底面ABC是等腰直角三角形,CA=CB,A1B⊥AC1.
(1)求证:平面A1BC⊥平面ABC1;
(2)若直线AA1与底面ABC所成的角为60°,求直线AA1与平面ABC1所成角的正弦值.
参考答案:
【考点】直线与平面所成的角;平面与平面垂直的判定.
【分析】(1)推导出BC⊥侧面ACC1A1,所以AC1⊥BC,再由A1B⊥AC1,得到AC1⊥面A1BC,由此能证明面ABC1⊥面A1BC.
(2)利用等体积方法,求出A1到平面ABC1的距离,即可求直线AA1与平面ABC1所成角的正弦值.
【解答】(1)证明:因为底面ABC是等腰直角三角形,CA=CB,所以BC⊥AC
因为侧面ACC1A1⊥底面ABC,侧面ACC1A1∩底面ABC=AC,
所以BC⊥侧面ACC1A1,所以AC1⊥BC,
又A1B⊥AC1,而A1B∩BC=B,
所以AC1⊥面A1BC,
又AC1?面ABC1,所以面ABC1⊥面A1BC;
(2)解:由题意,∠A1AC=60°,四边形ACC1A1是菱形.
设AC=2,则AB=2,AC1=2,BC1=2,∴==
设A1到平面ABC1的距离为h,则=,
∴h=,
∴直线AA1与平面ABC1所成角的正弦值==.
22. 某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果,然后以15元/千克的价格出售,若有剩余,则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地,为了确定进货数量,该超市记录了A水果最近50天的日需求量(单位:千克)整理得下表:
日需求量
140
150
160
170
180
190
200
频数
5
10
8
8
7
7
5
以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.
(1)若该超市一天购进A水果150千克,记超市当天A水果获得的利润为X(单位:元),求X的分布列及其数学期望;
(2)若该超市计划一天购进A水果150千克或160千克,请以当天A水果获得的利润的期望值为决策依据,在150千克与160千克之中选其一,应选哪一个?若受市场影响,剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地,又该选哪一个?
参考答案:
(1)若水果日需求量为千克,则元,
且,若水果日需求量不小于千克,
则元,且.
故的分布列为:
680
750
0.1
0.9
元.
(2)设该超市一天购进水果160千克,当天的利润为(单位:元)
则的可能取值为,即,
的分布列为:
660
730
800
0.1
0.2
0.7
,
因为,所以该超市应购进千克,
若剩余的水果以元/千克的价格退回水果基地,同理可得的分布列分别为:
670
750
0.1
0.9
640
720
800
0.1
0.2
0.7
因为,
所以该超市还是应购进160千克.
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