江西省赣州市长塘中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

江西省赣州市长塘中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在矩形ABCD中，|AB|=3，|AC|=5，，，若=x+y，则x+y的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 参考答案： D 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】由已知利用勾股定理可得|AD|，从而可得=3， ==4，由向量的加法可得=+=3+4，利用平面向量的基本定理及其意义即可得解x，y的值，进而得解． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，|AB|=3，|AC|=5， ∴利用勾股定理可得：|AD|=4， ∵=， =， ∴=3， ==4， ∴=+=3+4， ∴x=3，y=4，可得：x+y=7． 故选：D． 　 2. 函数的定义域是（    ） A．         B．     C．   D． 参考答案： B 3. 以Sn表示等差数列{an}的前n项和，若a2+a7﹣a5=6，则S7=(     ) A．42 B．28 C．21 D．14 参考答案： A 【考点】等差数列的前n项和． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】由题意和通项公式易得a4=6，又可得S7=7a4，代值计算可得． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， ∵a2+a7﹣a5=6，∴（a1+d）+（a1+6d）﹣（a1+4d）=6， ∴a1+3d=6，即a4=6， ∴S7=（a1+a7）=×2a4=7a4=42 故选：A 【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题． 4. （3分）若loga3＜logb3＜0，则（　　） 　 A． 0＜a＜b＜1 B． 0＜b＜a＜1 C． a＞b＞1 D． b＞a＞1 参考答案： 考点： 对数函数的单调区间． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 化loga3＜logb3＜0为log3b＜log3a＜0，利用函数的单调性求解． 解答： ∵loga3＜logb3＜0， ∴＜＜0， 即log3b＜log3a＜0， 故0＜b＜a＜1， 故选B． 点评： 本题考查了对数的运算及对数函数单调性的利用，属于基础题． 5. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（    ） 参考答案： A 6. 命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 参考答案： D 全称命题的否定式特称命题，所以原命题的否定为，，选D. 7. 若（，i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 参考答案： A 【分析】 化简可得，根据两复数相等的原则，解出a，b，即可得结果 【详解】由题意得， 所以， 所以，所以复数在复平面内对应的点为（3，-2）在第四象限 【点睛】本题考查两复数相等的概念，即两复数实部与实部相等，虚部与虚部相等，属基础题。   8. 复数满足，则复数在复平面内对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： 由得，，则复数在复平 面内对应的点为，该点在第一象限，故选． 9. 要得到函数的图象，只要将函数的图象 （A）向左平移单位             （B）向右平移单位 （C）向右平移单位                 （D）向左平移单位 参考答案： C 略 10. 已知条件：（）则它的充要条件的是(    ) （A）（B）（C）（D） >  参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足，则的最大值是         。 参考答案： 1 12. 函数，则的值等于       参考答案： 8 13. 若||=2，||=，与的夹角为45°，要使k—与垂直，则k=    . 参考答案： 2 14. 则函数 的零点个数为 ． 参考答案： 8 15. 若向量，则与夹角的余弦值等于_____ 参考答案： 【分析】 利用坐标运算求得；根据平面向量夹角公式可求得结果. 【详解】    本题正确结果： 【点睛】本题考查向量夹角的求解，明确向量夹角的余弦值等于向量的数量积除以两向量模长的乘积. 16. 命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题，则实数m取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，1] 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】由x的范围求出tanx的范围，再由tanx＜m恒成立求出m的范围，结合补集思想求得命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题的m的取值范围． 【解答】解：当时，tanx∈[0，1]， 若tanx＜m恒成立，则m＞1． ∵命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题， ∴m≤1． ∴实数m取值范围是（﹣∞，1]． 故答案为：（﹣∞，1]． 17. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果S=  ▲  ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知两锐角的正弦值，是实系数方程的两根.若满足且试求数列 参考答案： 解：假设存在实数，使方程的两根是一个直角三角形的两锐角的正弦， 则 ， . 　当时，原方程为，，不合题意． 　当时，原方程为，，符合题意．           从而 是等比数列, =. 19. （本小题满分14分）已知函数在处有极值． （Ⅰ）求实数的值；      （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）令，若曲线在处的切线与两坐标轴分别交于，两点（为坐标原点），求的面积． 参考答案： （Ⅰ）因为， 所以。由，可得 ，． 经检验时，函数在处取得极值，所以． （Ⅱ）， ．而函数的定义域为， 当变化时，，的变化情况如下表： 极小值 由表可知，的单调减区间为，的单调减区间为． 20. (本题满分13分) 已知，求下列各式的值： （I） ； （II）. 参考答案： 由已知得tan α＝.                ……………………3分 (1)原式＝    ……………………8分 (2) 原式=sin2α＋sin αcos α＋2 ＝sin2α＋sin αcos α＋2(cos2α＋sin2α) ……………………13分 21. 如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，A1B⊥AC1． （1）求证：平面A1BC⊥平面ABC1； （2）若直线AA1与底面ABC所成的角为60°，求直线AA1与平面ABC1所成角的正弦值． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）推导出BC⊥侧面ACC1A1，所以AC1⊥BC，再由A1B⊥AC1，得到AC1⊥面A1BC，由此能证明面ABC1⊥面A1BC． （2）利用等体积方法，求出A1到平面ABC1的距离，即可求直线AA1与平面ABC1所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：因为底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，所以BC⊥AC 因为侧面ACC1A1⊥底面ABC，侧面ACC1A1∩底面ABC=AC， 所以BC⊥侧面ACC1A1，所以AC1⊥BC， 又A1B⊥AC1，而A1B∩BC=B， 所以AC1⊥面A1BC， 又AC1?面ABC1，所以面ABC1⊥面A1BC； （2）解：由题意，∠A1AC=60°，四边形ACC1A1是菱形． 设AC=2，则AB=2，AC1=2，BC1=2，∴== 设A1到平面ABC1的距离为h，则=， ∴h=， ∴直线AA1与平面ABC1所成角的正弦值==． 22. 某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量（单位：千克）整理得下表： 日需求量 140 150 160 170 180 190 200 频数 5 10 8 8 7 7 5 以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率． （1）若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X（单位：元），求X的分布列及其数学期望； （2）若该超市计划一天购进A水果150千克或160千克，请以当天A水果获得的利润的期望值为决策依据，在150千克与160千克之中选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？ 参考答案： （1）若水果日需求量为千克，则元， 且，若水果日需求量不小于千克， 则元，且． 故的分布列为：   680 750 0.1 0.9 元． （2）设该超市一天购进水果160千克，当天的利润为（单位：元） 则的可能取值为，即， 的分布列为： 660 730 800 0.1 0.2 0.7 ， 因为，所以该超市应购进千克， 若剩余的水果以元/千克的价格退回水果基地，同理可得的分布列分别为： 670 750 0.1 0.9   640 720 800 0.1 0.2 0.7 因为， 所以该超市还是应购进160千克．