2022年湖南省衡阳市衡南县第九中学高一数学理期末试题含解析

2022年湖南省衡阳市衡南县第九中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，,，则的值等于（    ） A．          B． C．         D．   参考答案： A 略 2. 下列四条直线，倾斜角最大的是（    ） A. y=x+1   B. y=2x+1    C. y=?x+1    D. x=1 参考答案： C 直线方程y=x+1的斜率为1,倾斜角为45°， 直线方程y=2x+1的斜率为2,倾斜角为α(60°<α<90°)， 直线方程y=?x+1的斜率为?1,倾斜角为135°， 直线方程x=1的斜率不存在,倾斜角为90°. 所以C中直线的倾斜角最大。 本题选择C选项.   3. （5分）已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（2m，m+1）．若，则实数m的值为（） A． B． ﹣3 C． D． ﹣ 参考答案： B 考点： 平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 先求得得==（3，1），再由，则这两个向量的坐标对应成比例，解方程求得实数m的值，可得结论． 解答： 由题意可得==（3，1），若， 则这两个向量的坐标对应成比例，即 ， 解得m=﹣3， 故选：B． 点评： 本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题． 4. （5分）下列说法正确的是（） A． 某个村子里的高个子组成一个集合 B． 所有较小的正数组成一个集合 C． 集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一个集合 D． 这六个数能组成一个含六个元素的集合 参考答案： C 考点： 集合的含义． 专题： 计算题． 分析： 根据集合元素的确定性，可以判断A，B不正确，根据集合元素的无序性，可以判断C为正确，根据集合元素的互异性可以判断D错误 解答： A中，某个村子里的高个子不满足元素的确定性，故构不成集合； B中，较小的正数不满足元素的确定性，故构不成集合； C中，集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}元素一一对应相等，表示同一个集合 1，0.5，，，，这六个数中，0.5==，=，故组成的集合只含三个元素， 故选C 点评： 本题考查的知识点是集合元素的性质，熟练掌握集合元素的确定性，互异性和无序性是解答的关键． 5. （5分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（） A． AC⊥SB B． AB∥平面SCD C． AC⊥面SBD D． AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 参考答案： D 考点： 直线与平面垂直的性质；棱锥的结构特征． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： A．利用正方形的性质和线面垂直的性质与判定即可得出； B．利用正方形的性质和线面平行的判定定理即可得出； C．通过平移即可得出异面直线所成的角； D．利用线面垂直的判定与性质、线面角的定义、等腰三角形的性质即可得出． 解答： A．∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC． ∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD． 又∵SD∩DB=D． ∴AC⊥平面SDB，∴AC⊥SB． B．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC， 又AB?平面SCD，CD?平面SCD， ∴AB∥平面SCD． C．由A可知：AC⊥平面SDB． D．∵AB∥DC，∴∠SCD（为锐角）是AB与SC所成的角，∠SAB（为直角）是DC与SA所成的角； 而∠SCD≠∠SAB． ∴AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角不正确； 故选：D． 点评： 本题综合考查了空间位置关系和空间角、正方形的性质，考查了直线与平面垂直的性质，属于中档题． 6. 已知集合，由集合与的所有元素组成集合这样的实数共有        A、1个                  B、2个                   C、3个                D、4个 参考答案： C 7. 已知函数的图象如图所示，则它的一个可能的解析式为（   ） A．         B． C．   D． 参考答案： D 8. 如果在一次实验中，测得数对（x，y）的四组数值分别是A（1，2），B（2，3），C（3，6），D（4，7），则y与x之间的回归直线方程是（　　） A． =x+1.9 B． =1.8x C． =0.95x+1.04 D． =1.05x﹣0.9 参考答案： B 【考点】线性回归方程． 【专题】函数思想；分析法；概率与统计． 【分析】求出数据中心（，），逐个验证即可． 【解答】解： ==2.5， ==4.5． ∴线性回归方程经过点（2.5，4.5）． 对于A，当x=2.5时，y=2.5+1.9=4.4≠4.5， 对于B，当x=2.5时，y=1.8×2.5=4.5， 对于C，当x=2.5时，y=0.95×2.5+1.04=3.415≠4.5； 对于D，当x=2.5时，y=1.05×2.5﹣0.9=1.725≠4.5． 故选B． 【点评】本题考查了线性回归方程的特点，属于基础题． 9. 函数f（x）=mx2﹣2x+1有且仅有一个为正实数的零点，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，0]∪{1} C．（﹣∞，0）∪（0，1] D．（﹣∞，1） 参考答案： B 【考点】函数的零点． 【分析】当m=0时，满足条件．当m≠0时，函数f（x）=mx2﹣2x+1图象是抛物线，且与y轴的交点为（0，1），则得 ①对称轴x=＞0，且判别式△=4﹣4m=0；或者②对称轴x=＜0．分别求得m的范围，再取并集，即可得实数m的取值范围． 【解答】解：当m=0时，令f（x）=﹣2x+1=0，求得x=，满足条件． 当m≠0时，函数f（x）=mx2﹣2x+1图象是抛物线，且与y轴的交点为（0，1），由f（x）有且仅有一个正实数的零点， 则得 ①对称轴x=＞0，且判别式△=4﹣4m=0，求得m=1． 或者②对称轴x=＜0，解得 m＜0． 综上可得，实数m的取值范围{m|m=1，或m≤0}． 10. 如图是2012年在某大学自主招生考试的面试中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（　　） 　 A． 84，4.84 B． 84，1.6 C． 85，1.6 D． 85，4 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列中，，且数列为等差数列，则 _________ 参考答案： 12. 函数的值域为           。   参考答案： 略 13. 若二次函数的图象与两端点为A（0，3），B（3，0）的线段AB有两个不同的交点，则m的取值范围是          。 参考答案： 14. 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为____cm 参考答案： 15. （5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为   ． 参考答案： 8 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积． 解答： 矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2， 所以棱锥O﹣ABCD的体积为：=8． 故答案为：8 点评： 本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型． 16. 函数的图象必过定点，则点的坐标为___________. 参考答案： 试题分析：由已知可得，故定点为. 考点：函数图象的定点. 【方法点晴】本题主要考查函数图象的定点，属于中等题型.解决本题时可以先由函数采用图象平移法（即按过定点，再将向右平移个单位即得函数定点，亦可以由，得函数的定点为.因此解决此类题型有以下两种方法：1、图象平移法；2、直接法. 17. 函数的值域          ． 参考答案： [－1,7] =－sin2x+4sinx+4 当时， 当时， 则函数的值域   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知集合A={x|﹣3＜x≤4}，集合B={x|k+1≤x≤2k﹣1}，且A∪B=A，试求k的取值范围． 参考答案： 【考点】并集及其运算． 【分析】由A∪B=A说明集合B是集合A的子集，当集合B是空集时，符合题目条件，求出此时的a的范围，当B不是空集时，由两集合端点值之间的关系列不等式组求出a的范围，最后把两种情况求出的a的范围取并集即可． 【解答】解 因为A∪B=A，所以B?A，所以B可以是?，此时k+1＞2k﹣1，即k＜2； 当B≠?时，则k≥2，要使B?A，所以k+1＞﹣3且2k﹣1≤4，即k． 综上所述k的取值范围是：（﹣∞，]． 19. 化简下列各式： （1）sin（3π+α）+tan（α﹣π）sin（+α） （2）． 参考答案： 【考点】GI：三角函数的化简求值． 【分析】（1）直接利用诱导公式化简即可； （2）把1=tan替换，根据正切的和与差公式可得答案． 【解答】解：（1）sin（3π+α）+tan（α﹣π）sin（+α） 原式=﹣sinα+tanα?cosα=﹣sinα+=0； （2）． 原式==tan（45°﹣15°）=tan30°=． 20. 设数列{an}满足． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列的前n项和Sn． 参考答案： （1）；（2）. 【分析】 （1）在中，将代得： ，由两式作商得：，问题得解。 （2）利用（1）中结果求得，分组求和，再利用等差数列前项和公式及乘公比错位相减法分别求和即可得解。 【详解】（1）由n＝1得， 因为， 当n≥2时，， 由两式作商得：（n＞1且n∈N*）， 又因为符合上式， 所以（n∈N*）． （2）设， 则bn＝n＋n·2n， 所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1＋2＋…＋n）＋ 设Tn＝2＋2·22＋3·23＋…+（n－1）·2n－1＋n·2n，① 所以2Tn＝22＋2·23＋…（n－2）·2n－1＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，② ①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1， 所以Tn＝（n－1）·2n＋1＋2． 所以， 即． 【点睛】本题主要考查了赋值法及方程思想，还考查了分组求和法及乘公比错位相减法求和，考查计算能力及转化能力，属于中档题。 21. （本小题满分12分） 已知、、为的三个内角，其对边分别为、、， 若． (Ⅰ)求；           (Ⅱ)若，求的面积． 参考答案： 解：（Ⅰ）∵ ∴ ………………………………………………………2′ 又∵，  …………………………………4′     又∵ ， ．  ……………………………………5′ （Ⅱ）由余弦定理 得  ……………………………8′ 即：，  …………………………10′ …………………………………12′ 22. 已知函数（）， (1)若为的一个根，且函数的值域为，求的解析式； (2)在(1)的条件下，当时，是单调函数，求实数的取值范围. 参考答案： 1)      (2),对称轴为, ,解得. 略