江苏省泰州市民兴实验中学高二数学理下学期期末试卷含解析

江苏省泰州市民兴实验中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知A，B，C，D四点在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（   ） A. 4π B. 8π C. 16π D. 32π 参考答案： C 【分析】 由底面积不变,可得高最大时体积最大, 即与面垂直时体积最大, 设球心为,半径为,在直角中,利用勾股定理列方程求出半径，即可求出球的表面积. 【详解】 根据,可得直角三角形的面积为3, 其所在球的小圆的圆心在斜边的中点上, 设小圆的圆心为,  由于底面积不变,高最大时体积最大,  所以与面垂直时体积最大, 最大值为为, 即,如图, 设球心为,半径为, 则在直角中,即,  则这个球的表面积为,故选C. 【点睛】本题主要考球的性质、棱锥的体积公式及球的表面积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质. 2. 数列{an}的首项为1，{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)则（    ） A．    B．       C．    D． 参考答案： A 3. 下列说法错误的是（　　） A．“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是真命题 B．“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题 C．如果命题“?p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题 D．“”是“θ=30°”的充分不必要条件 参考答案： D 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；四种命题的真假关系． 【分析】x，y互为相反数?x+y=0；“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”是真命题，故它的逆否命题一定是真命题；命题“?p”与命题“p或q”都是真命题，则p是假命题，q是真命题；“”不能推出“θ=30°”． 【解答】解：x，y互为相反数?x+y=0，故A成立； ∵“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”是真命题，故它的逆否命题一定是真命题，故B成立； 命题“?p”与命题“p或q”都是真命题，则p是假命题，q是真命题，故C成立； “”不能推出“θ=30°”，故D不成立． 故选D． 【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意四种命题的真假关系的应用． 4. 已知动点P在曲线上移动，则点与点P连线中点的轨迹方程是 （A）      （B）      （C）    （D） 参考答案： C 略 5. 若平面α，β的法向量分别为u＝(－2, 3，－5)，v＝(3，－1, 4)，则(　　)． A．α∥β                        B．α⊥β C．α、β相交但不垂直            D．以上均不正确 参考答案： C 6. 下列四个命题： ①对立事件一定是互斥事件； ②若A、B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)； ③若事件A、B、C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1； ④若事件A、B满足P(A)＋P(B)＝1，则A、B是对立事件．其中错误命题的个数是 (　　) A．0      B．1         C．2  D．3 参考答案： D 略 7. 在△ABC中，，，，则角B的大小为（    ） A. B. C. D. 或 参考答案： A 【分析】 首先根据三角形内角和为，即可算出角的正弦、余弦值，再根据正弦定理即可算出角B 【详解】在△ABC中有,所以,所以,又因为,所以，所以,因为，，所以由正弦定理得，因为,所以。所以选择A 【点睛】本题主要考查了解三角形的问题，在解决此类问题时常用到：1、三角形的内角和为。2、正弦定理。3、余弦定理等。属于中等题。 8. 用反证法证明命题: “a, b∈N, 若ab不能被5整除, 则 a与b都不能被5整除”时, 假设的内容应为 （　　） A. a, b都能被5整除    B. a, b不都能被5整除 C. a, b至少有一个能被5整除    D. a, b至多有一个能被5整除 参考答案： C 9. 在中，已知，则(      )                                      参考答案： B 10. 在△ABC中，点O是BC边的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若,则的最大值为  (    ） A．  1           B．             C．             D． 2 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若其中为虚数单位，则____________． 参考答案： 3 略 12. 圆心是，且经过原点的圆的标准方程为_______________________; 参考答案： 略 13. 化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为　　． 参考答案： x2+y2=0或x﹣1=0 【考点】Q8：点的极坐标和直角坐标的互化． 【分析】由极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0可得ρ=0或ρcosθ﹣1=0，再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得出． 【解答】解：由极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0可得ρ=0或ρcosθ﹣1=0， ρ=0表示原点O（0，0）． 由ρcosθ﹣1=0，化为x﹣1=0． 综上可知：所求直角坐标方程为x2+y2=0或x﹣1=0． 14. 观察按下列顺序排列的等式：，……，猜想第（）个等式应为_          _. 参考答案： 9(n-1)+n=10n-9 15. 已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为　　． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义． 【分析】设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离． 【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知 AA1=3m，BB1=m ∴△ABC中，AC=2m，AB=4m， 直线AB方程为 与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0 所以AB中点到准线距离为 故答案为 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决． 16. 圆关于原点对称的圆的方程为         _ 参考答案： 略 17. 在数列中，，则的值为__________. 参考答案： 4021 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 己知等比数列所有项均为正数，首，且成等差数列． (I)求数列的通项公式； (II)数列的前n项和为，若，求实数的值． 参考答案： （Ⅰ）设数列的公比为，由条件得成等差数列，所以  解得  由数列的所有项均为正数,则=2   数列的通项公式为=  （Ⅱ）记,则  若不符合条件；    若， 则，数列为等比数列，首项为，公比为2, 此时    又＝,所以 19. （2016秋?厦门期末）设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an﹣2． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）数列{bn﹣an}是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（I）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．利用等比数列的通项公式即可得出an． （Ⅱ）由数列{bn﹣an}是首项为1，公差为3的等差数列，可得bn﹣an=3n﹣2，bn=2n+3n﹣2．再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2． 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），化为an=2an﹣1． ∴数列{an}是等比数列，首项与公比都为2． 则． （Ⅱ）∵数列{bn﹣an}是首项为1，公差为3的等差数列， ∴bn﹣an=1+3（n﹣1）=3n﹣2． ∴bn=2n+3n﹣2． 则Tn=+=2n+1﹣2+﹣n． 【点评】本小题主要考查通过递推关系求数列通项以及数列求和等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想，属于中档题． 20. 在△ABC中，sin2B=sinAsinC． （1）若，，成等差数列，求cosB的值； （2）若=4，求△ABC面积的最大值． 参考答案： 【考点】正弦定理；余弦定理． 【分析】（1）根据等差数列的定义以及三角恒等变换求出sinB，从而求出cosB的值即可； （2）求出三角形的面积的解析式，令f（x）=8sin3x，（0＜x＜π），根据函数的单调性求出三角形面积的最大值即可． 【解答】解：（1））若，，成等差数列， 则=+===， 故sinB=，cosB=±； （2）若=4，即=4，b2=16sin2B， ∵sin2B=sinAsinC， ∴ac=b2， ∴S△ABC=b2sinB=8sin3B，（0＜B＜π）， 令f（x）=8sin3x，（0＜x＜π）， 则f′（x）=24sin2xcosx， 令f′（x）＞0，解得：x＜， 令f′（x）＜0，解得：x＞， 故f（x）在（0，π）递增， 故f（x）在（0，）递增，在（，π）递减， f（x）max=f（）=8， 故三角形面积的最大值是8． 【点评】本题考查了正弦定理的应用，考查等差数列以及导数的应用，是一道中档题． 21. （本小题满分12分）：已知圆的方程为，定直线的方程为．动圆与圆外切，且与直线相切． （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）斜率为的直线与轨迹相切于第一象限的点，过点作直线的垂线恰好经过点，并交轨迹于异于点P的点，记为轨迹与直线围成的封闭图形的面积，求的值。 参考答案： 解：（1）设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为，则           ，且    ———2分     可得 ． 由于圆C1在直线的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线的上方，所以有，从而得，整理得，即为动圆圆心C的轨迹的方程．5分 （2）如图示，设点P的坐标为，则切线的斜率为，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为．由于该直线经过点A（0,6），所以有，得．因为点P在第一象限，所以，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为．              ———9分 把直线PQ的方程与轨迹的方程联立得，解得或4，可得点Q的坐标为．所以                ．  ———12分 22. 已知a为实数，。 (1)求导数；（2）若，求在区间[－2,2]上的最大值和最小值。 参考答案： (1)    (2)最大值为,最小值为