广东省汕尾市德成中学高三数学理期末试卷含解析

广东省汕尾市德成中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 曲线的焦点恰好是曲线的右焦点，且曲线与曲线交点连线过点,则曲线的离心率是(　　) .  .      .     . 参考答案： D 2. 某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有          （    ）        A．种　　　          B．种　　　          C．种　　　　      D．种 参考答案： A 3. 圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 参考答案： B 【考点】圆与圆的位置关系及其判定． 【分析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可． 【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1 圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2 ∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2| ∴两圆的位置关系是相交． 故选 B 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，是基础题． 4. 下列函数中周期为且图象关于直线对称的函数是（ ） A．   B．   C．   D．   参考答案： B 略 5. 集合，则（   ）   A．                   B．                  C．                   D． 参考答案： C 考点：集合交集、并集和补集. 【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 6. 函数在区间上是增函数，且，则 A.              B.               C.               D. 参考答案： A 7. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点.若线段的中点到y          轴的距离为，则             （    ） A．2       B．        C．3       D．4 参考答案： C 略 8. 如图所示的程序框图中输出的结果为 A．2            B．－2 C． D．－ 参考答案： A 9. 已知函数是定义在R上的奇函数,且当时, ,则当在R上的解析式为(   ) A.B.C.D. 参考答案： C 10. 已知幂函数的部分对应值如下表： 则不等式的解集是 A．      B． C．   D．   参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知集合，，则=       ▲        ． 参考答案： 12. 若tan（θ+）=，则tanθ=        ． 参考答案： 【考点】两角和与差的正切函数． 【专题】三角函数的求值． 【分析】利用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值即可得解． 【解答】解：∵tan（θ+）===， ∴解得：tan． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题． 13. 已知0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（α﹣β）=﹣，sinα=，则sinβ的值为　　． 参考答案： ﹣ 【考点】两角和与差的余弦函数． 【分析】根据所给的角的范围和角的函数值，利用同角的三角函数之间的关系，写出角的函数值，进行角的变换，用α﹣（α﹣β）代替α，用两角差的正弦公式求出结果． 【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0， ∴0＜α﹣β＜π， ∵cos（α﹣β）=﹣，sinα=， ∴sin（α﹣β）=，cosα=， ∴sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=×（﹣）﹣×=﹣， 故答案为： 14. 把正方形沿对角线折成直二面角，则与平面所成角为          ， 参考答案： 略 15. 已知等差数列{}中，，若且，则=      ； 参考答案： 10 16. 若函数f(x)的反函数为，则f(4)＝   ▲    ． 参考答案： －2 17.      设集合,若,且的最大值为9,则的值是                  . 参考答案： 答案：3 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (φ为参数)，直线的参数方程为 (t为参数)，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为. (1)求点的直角坐标，并求曲线的普通方程； (2)设直线与曲线的两个交点为，，求的值. 参考答案： (1)由极值互化公式知：点的横坐标，点的纵坐标， 所以，消去参数的曲线的普通方程为：. (2)点在直线上，将直线的参数方程代入曲线的普通方程得： ，设其两个根为，，所以：，， 由参数的几何意义知：. 19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，PD⊥平面ABCD，DP=DC，E是PC的中点，过点D作DF⊥PB交PB于点F．     （Ⅰ）求证：PA∥平面BDE； （Ⅱ）若AD⊥BD，求证：PC⊥DF； （Ⅲ）若四边形ABCD为正方形，在线段PA上是否存在点G，使得二面角E-BD-G的平面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说面理由． 参考答案： （1）（2） 略   （3） .=1 20. (本小题满分12分)如图,在斜三棱柱中,侧面⊥底面,侧棱与底面成60°的角,.底面是边长为2的正三角形,其重心为点, 是线段上一点,且. (1)求证://侧面; (2)求平面与底面所成锐二面角的余弦值; 参考答案： 解法1:(1)延长B1E交BC于点F, ∽△FEB,BE=EC1,∴BF=B1C1=BC, 从而点F为BC的中点. ∵G为△ABC的重心,∴A、G、F三点共线.且, 又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B.                                 …………5分 (2) ∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°的角,∴∠A1AB=60°,    又AA1=AB=2,取AB的中点O,则AO⊥底面ABC. 以O为原点建立空间直角坐标系O—如图, 则,,,,,. ∵G为△ABC的重心,∴.,∴, ∴.      又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B. …………6分 (2)设平面B1GE的法向量为,则由得 可取 又底面ABC的一个法向量为 设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,则. 故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的余弦值为.                 …………12分 21. （本小题满分12分）设函数. （1）求函数的最小值； （2）设，讨论函数的单调性； （3）斜率为的直线与交于,两点，求证：. 参考答案： （1）解：f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得． ∵当时，f'（x）＜0；当时， f'（x）＞0， ∴当时，．----------------- 4分 （2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），． ①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数； ②当a＜0时， 令F'（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得； 令F'（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得． 综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数； 当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减．------------------------------------8分 （3）证：． 要证，即证，等价于证，令， 则只要证，由t＞1知lnt＞0， 故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）． ①设g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），则， 故g（t）在[1，+∞）上是增函数， ∴当t＞1时，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）． ②设h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），则h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数， ∴当t＞1时，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）． 由①②知（*）成立，得证．---------------------------------12分 22. （本小题12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件． （1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数的表达式； （2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 参考答案： (1)当02 000.…………………………11分 所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．………………………12分