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江苏省镇江市实验中学2022年高三数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设是正实数,以下不等式 ( )
① ,② ,③ ,④
恒成立的序号为
(A) ①、③ (B) ①、④ (C) ②、③ (D) ②、④
参考答案:
D
2. 若实数x,y满足,则(x﹣3)2+y2的最小值是( )
A. B.8 C.20 D.2
参考答案:
A
【考点】简单线性规划.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】先画出满足条件的平面区域,根据(x﹣3)2+y2的几何意义求出其最小值即可.
【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:
,
由图象得P(3,0)到平面区域的最短距离dmin=,
∴(x﹣3)2+y2的最小值是:.
故选:A.
【点评】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道基础题.
3. 已知集合,则是
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 设集合,,,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
5. 已知x1,x2(x1<x2)是方程4x2﹣4kx﹣1=0(k∈R)的两个不等实根,函数定义域为[x1,x2],g(k)=f(x)max﹣f(x)min,若对任意k∈R,恒只有成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
考点: 函数恒成立问题;函数的最值及其几何意义.
专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
分析: 先求f′(x)=,根据x1,x2(x1<x2)是方程4x2﹣4kx﹣1=0(k∈R)的两个不等实根,结合图象可知,当x∈[x1,x2]时,4x2﹣4kx﹣1≤0,则可判断导数分子的符号,因此可判断导数的符号,由此得到g(k),则利用分离常数的方法求结论中a的范围,此时只需求出关于k的函数的最值即可.
解答: 解:由已知f′(x)=,
又因为x1,x2(x1<x2)是方程4x2﹣4kx﹣1=0(k∈R)的两个不等实根,结合图象可知,当x∈[x1,x2]时,4x2﹣4kx﹣1≤0,
所以﹣[4x2﹣4kx﹣1﹣3]恒成立,故f′(x)>0在[x1,x2]恒成立,故f(x)在定义域内是增函数,
所以g(k)=f(x)max﹣f(x)min=f(x2)﹣f(x1)=①,又因为x1,x2(x1<x2)是方程4x2﹣4kx﹣1=0(k∈R)的两个不等实根,
所以,代入①式化简后得:g(k)=,由对任意k∈R,恒成立得:
,结合k2≥0,所以,
故a的取值范围是a.
故选A.
点评: 本题考查了不等式的恒成立问题,一般是分离参数转化为函数的最值求解,本题的关键是利用已知条件判断出函数f(x)的单调性,再用韦达定理实现对g(k)表达式的化简.
6. 设命题p:若定义域为R的函数不是偶函数,则,.
命题q:在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.则下列判断错误的是( )
A.为真 B.为假 C.p为假 D.为真
参考答案:
A
函数不是偶函数,仍然可,使,故为假
,在上都是增函数,为假,
故为假
故答案选
7. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的n等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
C
【考点】程序框图.
【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【解答】解:当n=1时,a=,b=4,满足进行循环的条件,
当n=2时,a=,b=8满足进行循环的条件,
当n=3时,a=,b=16满足进行循环的条件,
当n=4时,a=,b=32不满足进行循环的条件,
故输出的n值为4,
故选C.
8. 若,则的值为( )
A. B.0 C. 2 D.
参考答案:
A
9. 下列函数中,在区间(﹣1,1)上为减函数的是( )
A.y=ln(x+1) B.y=2﹣x C.y= D.y=cosx
参考答案:
B
【考点】函数单调性的性质.
【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】逐一判断各个选项中函数在区间(﹣1,1)上的单调性,从而得出结论.
【解答】解:由于y=ln(x+1)在区间(﹣1,1)上为增函数,故排除A;
由于函数y=2﹣x =在区间(﹣1,1)上为减函数,故满足条件;
由于函数y==﹣在区间(﹣1,1)上为增函数,故排除C;
由于函数y=cosx在区间(﹣1,1)上没有单调性,例如cos(﹣)=cos,故排除D,
故选:B.
【点评】本题主要考查函数的单调性的判断,属于基础题.
10. 阅读如图所示的程序框图,则输出的S=( )
A.45 B.35
C.21 D.15
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CD⊥AB,垂足为D,且AD=5DB,设∠COD=,则tan的值为 .
参考答案:
12. 运行如图语句,则输出的结果T= .
参考答案:
625
考点: 伪代码.
专题: 计算题;图表型.
分析: 本题所给的是一个循环结构的算法语句,由图可以看出,此是一个求等差数列和的算法语句,由公式计算出T的值,即可得到答案.
解答: 解:T=1,I=3,
第1次循环,T=1+3,I=5<50,符合循环条件,
第2次循环,T=1+3+5,I=7<50,符合循环条件,
…,
第23次循环,T=1+3+…+47,I=49<50,符合循环条件,
第24次循环,T=1+3+…+49,I=51>50,不符合循环条件,输出T,
∴T=1+3+…+49==625,
∴输出的结果T=625.
故答案为:625.
点评: 本题考查了伪代码,即循环结构的算法语句,解题的关键是理解题设中语句的意义,从中得出算法,由算法求出输出的结果.属于基础题.
13. 对正整数n,设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为,则数列= .
参考答案:
略
14. 已知函数是定义域为的偶函数. 当时, 若关于的方程有且只有7个不同实数根,则实数的取值范围是 .
参考答案:
.
15. 巳知函数分别是二次函数和三次函数的导函数,它们在同一坐标系内的图象如图所示.
(1)若,则 ;
(2)设函数,则的大小关系为 (用“<”连接).
参考答案:
16. 某地为了调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中,抽取若干人组成调查小组,有关数据见下表,则调查小组的总人数为 ;若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告,则其中恰好有1人来自公务员的概率为 。
相关人员数
抽取人数
公务员
32
x
教师
48
y
自由职业者
64
4
参考答案:
9,
略
17. 在等腰△ABC中,CA=CB=6,∠ACB=120°,点M满足=2,则?等于 .
参考答案:
0
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由向量加法的三角形法则得出=+,再利用向量数量积的运算性质求出结果.
【解答】解:等腰△ABC中,CA=CB=6,∠ACB=120°,且=2,
∴=+
=+(﹣)
=+,
∴?=(+)?
=?+
=×6×6×cos120°+×62
=0.
故答案为:0.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos2+acos2=c.
(Ⅰ)求证:a,c,b成等差数列;
(Ⅱ)若C=,△ABC的面积为2,求c.
参考答案:
【考点】数列与三角函数的综合;正弦定理;余弦定理的应用.
【分析】(Ⅰ)利用正弦定理以及两角和与差的三角函数,三角形的内角和,化简求解即可.
(Ⅱ)利用三角形的面积以及余弦定理化简求解即可.
【解答】解:(Ⅰ)证明:由正弦定理得:
即,
∴sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA=3sinC…
∴sinB+sinA+sin(A+B)=3sinC
∴sinB+sinA+sinC=3sinC…
∴sinB+sinA=2sinC
∴a+b=2c…
∴a,c,b成等差数列.…
(Ⅱ)
∴ab=8…
c2=a2+b2﹣2abcosC
=a2+b2﹣ab
=(a+b)2﹣3ab
=4c2﹣24.…
∴c2=8得…
19. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知不等式.
(1)如果不等式当时恒成立,求的范围;
(2)如果不等式当时恒成立,求的范围.
参考答案:
(1)或;(2).
试题分析:(1)整理成关于的一次函数,只需即可;(2)分离参数,只需即可.
考点:1、数形结合法求解不等式恒成立问题;2、分离参数法解答不等式恒成立问题.
20. (本小题满分14分)
(1)已知是公差为的等差数列,是与的等比中项,求该数列前10项和;
(2)若数列满足,,试求的值.
参考答案:
(1)设数列的首项为,公差为,则.
根据题意,可知道,即(
解得
(2)解法一:由,经化简可得
数列是首项为,公差为的等差数列.
.
解法二:分别把代入可得:
,,,,,
因此,猜想.
.
21. 坐标系与参数方程
已知某圆的极坐标方程为
(1)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程;
(2)若点在该圆上,求的最大值和最小值.
参考答案:
解:(1)
即
(2)圆的参数方程为:
略
22. (本小题满分12分)甲、乙两个围棋队各派出三名选手、、和、、并按、、和、、的出场顺序进行擂台赛(擂台赛规则是:败者被打下擂台,胜者留在台上与对方下一位进行比赛,直到一方选手全部被打下擂台比赛结束),已知胜的概率为,而、和、、五名选手的实力相当,假设各盘比赛结果相互独立.
(Ⅰ)求到比赛结束时共比赛三盘的概率;
(Ⅱ)求到比赛结束时选手胜二盘的概率.
参考答案:
(I)设到比赛结束时共比赛三盘为事件,
再设在这比赛过程中,胜出为事件,胜出为事件……………2分
则, ………………6分
(II)到比赛结束时选手胜二盘为事件,
则,……………11分
答:到比赛结束时共比赛三盘的概率;到比赛结束时选手胜二盘的概率为………………12分
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