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湖南省衡阳市常宁大堡中学2022-2023学年高二数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (B)若,,且和的等差中项是1,则的最小值是( )
A. B. C. D.1
参考答案:
B
2. 某商场在国庆黄金周的促销活动中,对10月1日9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为3万元,则11时至12时的销售额为( )
A.8万元 B.10万元 C.12万元 D.15万
参考答案:
C
【考点】频率分布直方图.
【分析】由频率分布直方图得0.4÷0.1=4,也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍.
【解答】解:由频率分布直方图得0.4÷0.1=4
∴11时至12时的销售额为3×4=12
故选C
3. 椭圆的两个焦点是,为椭圆上与不共线的任意一点,为的内心,延长交线段于点,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
4. 把“二进制”数化为“五进制”数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 已知复数(),且,则满足的轨迹方程是( )
A. B.Ks5u
C. D.
参考答案:
A
略
6. 双曲线y =( k > 0 )的离心率用e = f ( k )来表示,则f ( k )( )
(A)在( 0,+ ∞ )上是增函数 (B)在( 0,+ ∞ )上是减函数
(C)在( 0,1 )上是增函数,在( 1,+ ∞ )上是减函数 (D)是常数
参考答案:
D
7. 直线的倾斜角大小是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
直线斜率为,故倾斜角为,故选.
8. 已知是等比数列,,则公比= ( )
A. B. C.2 D.
参考答案:
D
9. 用秦九韶算法计算多项式在时的值时,的值为( )
A 1 B2 C3 D4
参考答案:
B
10. 椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则||=( )
A. B. C. D.4
参考答案:
C
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】先根据椭圆的方程求得椭圆的左准线方程,进而根据椭圆的第二定义求得答案.
【解答】解:椭圆的左准线方程为x=﹣=﹣.
∵=e=,∴|PF2|=.
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个箱子中装有6个白球和5个黑球,如果不放回地依次抽取2个球,则在第1次抽到黑球的条件下,第2次仍抽到黑球的概率是 _________ .
参考答案:
12. 已知F1、F2是椭圆C:(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b= .
参考答案:
3
考点:椭圆的应用;椭圆的简单性质.
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:利用△PF1F2的面积=求解,能得到b的值.
解答: 解:由题意知△PF1F2的面积=,
∴b=3,
故答案为3.
点评:主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识.
13. 设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是 .
参考答案:
b<a<c
【考点】指数函数的图象与性质.
【分析】利用指数函数和幂函数的单调性,可判断三个式子的大小.
【解答】解:函数y=0.6x为减函数;
故a=0.60.6>b=0.61.5,
函数y=x0.6在(0,+∞)上为增函数;
故a=0.60.6<c=1.50.6,
故b<a<c,
故答案为:b<a<c
14. 已知椭圆,F1和F2是椭圆的左、右焦点,过F1的直线交椭圆于,两点,若△ABF2的内切圆半径为1,,,则椭圆离心率为 .
参考答案:
15. 在等比数列中,已知,则该数列的前15项的和 。
参考答案:
11
16. 已知是双曲线的左焦点,定点,点是双曲线右支上的动点,则的最小值为____________.
参考答案:
9
略
17. 在圆内,经过点(,)有n条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列的首项,最长弦长为,且公差,],则n的取值集合是_____________
参考答案:
{4,5,6}
∴圆心(,0),半径为
依题意,
由 得
得 得,7) ∴{4,5,6}
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,其中PA=PD=AD=2,∠BAD=60°,Q为AD中点.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)若平面PAD⊥平面ABCD,且M为PC的中点,求四棱锥M﹣ABCD的体积.
(3)在(2)的条件下,求二面角P﹣AB﹣D的正切值.
参考答案:
【考点】二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(1)根据线面垂直的性质定理先证明AD⊥平面PQB即可.
(2)连接QC,作MH⊥QC与H,根据棱锥的体积公式进行求解即可.
(3)根据二面角的定义作出二面角的平面角,得到∠POQ即为二面角P﹣AB﹣D的平面角,利用三角形的边角关系进行求解.
【解答】证明:(1)∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD,
又∵底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,∴BQ⊥AD,
又PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PQB,
又∵PB?平面PQB,∴AD⊥PB;
(2)连接QC,作MH⊥QC与H
∵PQ⊥AD,PQ?平面PAD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴平面PAD⊥平面ABCD
∴PQ⊥平面ABCD,又QC?平面ABCD,PQ⊥QC,
∴PQ∥MH∴MH⊥平面ABCD,
又PM=PC,∴MH=PQ==,
在菱形ABCD中,BD=2,
S△ABD==,
∴SABCD=2S△ABD=2,
VM﹣ABCD=SABCD?MH==1,
(3)解:过Q作QO⊥AB于O,连接OP
由(2)知PQ⊥平面ABCD,∴则OQ为斜线OP的射影
由射影定理知AB⊥OP,
∴∠POQ即为二面角P﹣AB﹣D的平面角,
在Rr△PQB中,PQ=,OQ=,
∴tan∴∠POQ=2
故二面角P﹣AB﹣D的正切值为2.
19. 已知函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R),g(x)=2x2-4x-16,
(1)求不等式g(x)<0的解集;
(2)若|f(x)|≤|g(x)|对任意x∈R恒成立,求a,b;
(3)在(2)的条件下,若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,
求实数m的取值范围.
参考答案:
(1)g(x)=2x2-4x-16<0,∴(x+2)(x-4)<0,∴-22),
即x2-4x+7≥m(x-1).
∴对一切x>2,均有不等式≥m成立. ……………10分
而=(x-1)+-2
≥2-2=2(当x=3时等号成立)
∴实数m的取值范围是(-∞,2]. ……………12分
20. 已知a∈R,命题p:“?x∈[1,2],x2﹣a≥0”,命题q:“?x∈R,x2+2ax+2﹣a=0”.
(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】复合命题的真假;命题的真假判断与应用.
【分析】(1)由于命题p:“?x∈[1,2],x2﹣a≥0”,令f(x)=x2﹣a,只要x∈[1,2]时,f(x)min≥0即可;
(2)由(1)可知,当命题p为真命题时,a≤1,命题q为真命题时,△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,解得a的取值范围.由于命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,可知:命题p与命题q必然一真一假,解出即可.
【解答】解:(1)∵命题p:“?x∈[1,2],x2﹣a≥0”,令f(x)=x2﹣a,
根据题意,只要x∈[1,2]时,f(x)min≥0即可,
也就是1﹣a≥0,解得a≤1,
∴实数a的取值范围是(﹣∞,1];
(2)由(1)可知,当命题p为真命题时,a≤1,
命题q为真命题时,△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,解得a≤﹣2或a≥1.
∵命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,
∴命题p与命题q必然一真一假,
当命题p为真,命题q为假时,,
当命题p为假,命题q为真时,,
综上:a>1或﹣2<a<1.
21. 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角C的大小;
(2)若△ABC为锐角三角形,且,求的取值范围.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)根据正弦定理可得,结合C的范围,化简整理,即可求解。
(2)由正弦定理得,,所求,
又为锐角三角形,可求得,根据的单调性,即可求解。
【详解】(1)由题意及正弦定理得,,
所以,
因为,所以,
所以,故.
(2)由正弦定理得,,所以,,
所以
,
由得,
所以,故,
所以的取值范围为.
22. 已知,:关于的方程有两个不等实根;:方程表示双曲线。若“”为假,求实数的取值范围.
参考答案:
若真,则,解得 …………………2分
若真,则,解得 …………………4分
因为为假,则与都为假 …………………………6分
即,解得 …………………………8分
综上的取值范围为 …………………………10分
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