湖南省衡阳市常宁大堡中学2022-2023学年高二数学理联考试卷含解析

湖南省衡阳市常宁大堡中学2022-2023学年高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. (B)若，，且和的等差中项是1，则的最小值是(    ) A. B. C. D.1 参考答案： B 2. 某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（　　） A．8万元 B．10万元 C．12万元 D．15万 参考答案： C 【考点】频率分布直方图． 【分析】由频率分布直方图得0.4÷0.1=4，也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍． 【解答】解：由频率分布直方图得0.4÷0.1=4 ∴11时至12时的销售额为3×4=12 故选C 3. 椭圆的两个焦点是，为椭圆上与不共线的任意一点，为的内心，延长交线段于点，则等于（    ） A． B． C． D． 参考答案： A 略 4. 把“二进制”数化为“五进制”数是（    ） A．         B．         C．         D． 参考答案： C 5. 已知复数（），且，则满足的轨迹方程是（    ） A． B．Ks5u C． D． 参考答案： A 略 6. 双曲线y =( k > 0 )的离心率用e = f ( k )来表示，则f ( k )（    ） （A）在( 0，+ ∞ )上是增函数                 （B）在( 0，+ ∞ )上是减函数 （C）在( 0，1 )上是增函数，在( 1，+ ∞ )上是减函数           （D）是常数 参考答案： D 7. 直线的倾斜角大小是（     ） A．         B．       C．        D． 参考答案： C 直线斜率为，故倾斜角为，故选.   8. 已知是等比数列，，则公比=      (     ) A．       B．        C．2         D． 参考答案： D 9. 用秦九韶算法计算多项式在时的值时，的值为（　　　） Ａ　1　　Ｂ2　　　Ｃ3　　　Ｄ4　　 参考答案： B 10. 椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则||=（　　） A． B． C． D．4 参考答案： C 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】先根据椭圆的方程求得椭圆的左准线方程，进而根据椭圆的第二定义求得答案． 【解答】解：椭圆的左准线方程为x=﹣=﹣． ∵=e=，∴|PF2|=． 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一个箱子中装有6个白球和5个黑球，如果不放回地依次抽取2个球，则在第1次抽到黑球的条件下，第2次仍抽到黑球的概率是　_________　． 参考答案： 12. 已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=       ． 参考答案： 3 考点：椭圆的应用；椭圆的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：利用△PF1F2的面积=求解，能得到b的值． 解答： 解：由题意知△PF1F2的面积=， ∴b=3， 故答案为3． 点评：主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识． 13. 设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是　   　． 参考答案： b＜a＜c 【考点】指数函数的图象与性质． 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，可判断三个式子的大小． 【解答】解：函数y=0.6x为减函数； 故a=0.60.6＞b=0.61.5， 函数y=x0.6在（0，+∞）上为增函数； 故a=0.60.6＜c=1.50.6， 故b＜a＜c， 故答案为：b＜a＜c 14. 已知椭圆，F1和F2是椭圆的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于，两点，若△ABF2的内切圆半径为1，，，则椭圆离心率为 . 参考答案：     15. 在等比数列中，已知，则该数列的前15项的和                   。 参考答案： 11 16. 已知是双曲线的左焦点，定点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为____________. 参考答案： 9 略 17. 在圆内，经过点（，）有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项，最长弦长为，且公差，]，则n的取值集合是_____________ 参考答案： {4，5，6}      ∴圆心(，0)，半径为 依题意， 由 得 得  得，7）  ∴{4，5，6} 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q为AD中点． （1）求证：AD⊥PB； （2）若平面PAD⊥平面ABCD，且M为PC的中点，求四棱锥M﹣ABCD的体积． （3）在（2）的条件下，求二面角P﹣AB﹣D的正切值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理先证明AD⊥平面PQB即可． （2）连接QC，作MH⊥QC与H，根据棱锥的体积公式进行求解即可． （3）根据二面角的定义作出二面角的平面角，得到∠POQ即为二面角P﹣AB﹣D的平面角，利用三角形的边角关系进行求解． 【解答】证明：（1）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD， 又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD， 又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB， 又∵PB?平面PQB，∴AD⊥PB； （2）连接QC，作MH⊥QC与H ∵PQ⊥AD，PQ?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴平面PAD⊥平面ABCD ∴PQ⊥平面ABCD，又QC?平面ABCD，PQ⊥QC， ∴PQ∥MH∴MH⊥平面ABCD， 又PM=PC，∴MH=PQ==， 在菱形ABCD中，BD=2， S△ABD==， ∴SABCD=2S△ABD=2，   VM﹣ABCD=SABCD?MH==1， （3）解：过Q作QO⊥AB于O，连接OP 由（2）知PQ⊥平面ABCD，∴则OQ为斜线OP的射影 由射影定理知AB⊥OP， ∴∠POQ即为二面角P﹣AB﹣D的平面角， 在Rr△PQB中，PQ=，OQ=， ∴tan∴∠POQ=2 故二面角P﹣AB﹣D的正切值为2． 19. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)，g(x)＝2x2－4x－16， (1)求不等式g(x)<0的解集； (2)若|f(x)|≤|g(x)|对任意x∈R恒成立，求a,b； (3)在(2)的条件下，若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立， 求实数m的取值范围．   参考答案： (1)g(x)＝2x2－4x－16<0，∴(x＋2)(x－4)<0，∴－22)， 即x2－4x＋7≥m(x－1)． ∴对一切x>2，均有不等式≥m成立．                  ……………10分 而＝(x－1)＋－2 ≥2－2＝2(当x＝3时等号成立) ∴实数m的取值范围是(－∞，2]．                             ……………12分 20. 已知a∈R，命题p：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“?x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”． （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用． 【分析】（1）由于命题p：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可； （2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a的取值范围．由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可知：命题p与命题q必然一真一假，解出即可． 【解答】解：（1）∵命题p：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a， 根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可， 也就是1﹣a≥0，解得a≤1， ∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；    （2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1， 命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1． ∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题， ∴命题p与命题q必然一真一假， 当命题p为真，命题q为假时，， 当命题p为假，命题q为真时，， 综上：a＞1或﹣2＜a＜1． 21. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）若△ABC为锐角三角形，且，求的取值范围. 参考答案： （1）（2） 【分析】 （1）根据正弦定理可得，结合C的范围，化简整理，即可求解。 （2）由正弦定理得，，所求， 又为锐角三角形，可求得，根据的单调性，即可求解。 【详解】（1）由题意及正弦定理得，，    所以， 因为，所以， 所以，故．    （2）由正弦定理得，，所以，， 所以     ，    由得，    所以，故，    所以的取值范围为．   22. 已知，：关于的方程有两个不等实根；：方程表示双曲线。若“”为假，求实数的取值范围. 参考答案： 若真，则，解得                     …………………2分 若真，则，解得               …………………4分 因为为假，则与都为假                     …………………………6分 即，解得                       …………………………8分 综上的取值范围为                          …………………………10分