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河南省开封市小陈乡民开中学高一数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={0,2,4},则(?UA)∩B为( )
A.{0,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}
参考答案:
A
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】由全集U及A求出A的补集,找出A补集与B的交集即可
【解答】解:∵全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={0,2,4},
∴?UA={0,4},
则(?UA)∩B={0,4}.
故选:A
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键,属于基础题.
2. 已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A.4x+2y=5 B.4x﹣2y=5 C.x+2y=5 D.x﹣2y=5
参考答案:
B
【考点】直线的点斜式方程;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系;中点坐标公式.
【专题】计算题.
【分析】先求出中点的坐标,再求出垂直平分线的斜率,点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程,再化为一般式.
【解答】解:线段AB的中点为,kAB==﹣,
∴垂直平分线的斜率 k==2,
∴线段AB的垂直平分线的方程是 y﹣=2(x﹣2)?4x﹣2y﹣5=0,
故选B.
【点评】本题考查两直线垂直的性质,线段的中点坐标公式,以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法.
3. 已知集合,则实数x满足的条件是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
4. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其侧面积等于( )
A. B.2 C.2 D.6
参考答案:
D
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】本题考查立体几何中的三视图,考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力.由图可知,棱柱的底面边为2,高为1,代入柱体体积公式易得答案.
【解答】解:由正视图知:
三棱柱是以底面边长为2,
高为1的正三棱柱,
∴底面是边长为2的等边三角形,故底面积S==,
侧面积为3×2×1=6,
故选D.
5. 已知,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B 解析:
6. 已知入射光线所在直线的方程为2x-y-4=0,经x轴反射,则反射光线所在直线的方程是
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 直线截圆得的劣弧所对的圆心角是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
设劣弧所对的圆心角为,圆心到直线的距离为,所以。
8. 下列函数是偶函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 若P={(,y)|2-=3},Q={(,)|+2=4},则P∩Q=
A {(,-)} B (,-) C {(2,1)} D(2,1)
参考答案:
C
10. 若,则的值为( )
A.-1 B. C.1 D.1或
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在四棱锥P-ABCD中, PC⊥底面ABCD,底面为正方形,.记四棱锥P-ABCD的外接球与三棱锥的外接球的表面积分别为,则=__________.
参考答案:
12. 已知角α的终边上一点,且,则tanα的值为 .
参考答案:
±1
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】利用正弦函数的定义求出m,利用正切函数的定义求出tanα的值.
【解答】解:由题意,,∴,
∴tanα=±1.
故答案为±1.
【点评】本题考查三角函数的定义,考查学生的计算能力,比较基础.
13. 已知集合,则实数a的值是________.
参考答案:
0
【分析】
根据可以知,即可得出实数a的值.
【详解】,
,
,解得或1,时不满足集合元素的互异性,
舍去,
.
故答案为:0.
【点睛】本题主要考查的是集合间的关系,是基础题.
14. 已知数列中,,则数列通项公式是=______________.
参考答案:
略
15. 已知且,则
参考答案:
-26
16. 函数的定义域为A,若且时总有,则称为单函数.例如,函数=2+1()是单函数.下列结论:①函数(xR)是单函数;②指数函数(xR)是单函数;③若为单函数,且,则;④若在定义域上是单调函数,则一定是单函数.其中结论正确是_________.(写出所有你认为正确的编号)
参考答案:
17. 点(2,3,4)关于x轴的对称点的坐标为_____
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,已知三棱锥A—BPC中,AP⊥PC, AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形。
(1)求证:DM∥平面APC;
(2)求证:平面ABC⊥平面APC;
(3)若BC=4,AB=20,求三棱锥D—BCM的体积.
参考答案:
解:(Ⅰ)∵M为AB中点,D为PB中点,
∴MD//AP, 又∴MD平面ABC
∴DM//平面APC
(Ⅱ)∵△PMB为正三角形,且D为PB中点。
∴MD⊥PB
又由(Ⅰ)∴知MD//AP, ∴AP⊥PB
又已知AP⊥PC ∴AP⊥平面PBC,
∴AP⊥BC, 又∵AC⊥BC
∴BC⊥平面APC, ∴平面ABC⊥平面PAC
(Ⅲ)∵AB=20
∴MB=10 ∴PB=10
又BC=4,
∴
又MD
∴VD-BCM=VM-BCD=
略
19. (本小题满分12分)
某公司计划用不超过50万元的资金投资两个项目,根据市场调查与项目论证,项目的最大利润分别为投资的和,而最大的亏损额为投资的和,若要求资金的亏损额不超过8万元,问投资者对两个项目的投资各为多少万元,才能使利润最大?最大利润为多少?
参考答案:
设投资者对A、B两个项目的投资分别为万元。
则由题意得下列不等式组
投资者获得的利润设为,则有
当时,获得最大利润,最大利润为24万元
20. 已知函数g(x)=x2﹣(m﹣1)x+m﹣7.
(1)若函数g(x)在[2,4]上具有单调性,求实数m的取值范围;
(2)若在区间[﹣1,1]上,函数y=g(x)的图象恒在y=2x﹣9图象上方,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】二次函数的性质;函数单调性的判断与证明.
【分析】(1)求出函数的对称轴,根据二次函数的单调性求出m的范围即可;
(2)问题转化为x2﹣(m+1)x+m+2>0对任意x∈[﹣1,1]恒成立,设h(x)=x2﹣(m+1)x+m+2,求出函数的对称轴,通过讨论对称轴的范围,求出m的范围即可.
【解答】解:(1)对称轴x=,且图象开口向上.
若函数g(x)在[2,4]上具有单调性,
则满足≤2或≥4,
解得:m≤5或m≥9;
(2)若在区间[﹣1,1]上,函数y=g(x)的图象恒在y=2x﹣9图象上方,
则只需:x2﹣(m﹣1)x+m﹣7>2x﹣9在区间[﹣1,1]恒成立,
即x2﹣(m+1)x+m+2>0对任意x∈[﹣1,1]恒成立,
设h(x)=x2﹣(m+1)x+m+2其图象的对称轴为直线x=,且图象开口向上
①当≥1即m≥1时,h(x)在[﹣1,1]上是减函数,
所以h(x)min=h(1)=2>0,
所以:m≥1;
②当﹣1<<1,即﹣3<m<1,函数h(x)在顶点处取得最小值,
即h(x)min=h()=m+2﹣>0,解得:1﹣2<m<1;
③当≤﹣1即m≤﹣3时,h(x)在[﹣1,1]上是增函数,
所以,h(x)min=h(﹣1)=2m+4>0,解得:m>﹣2,
此时,m∈?;
综上所述:m>1﹣2.
【点评】本题考查了二次函数的性质,考查函数的单调性以及分类讨论思想,是一道中档题.
21. 已知数列{an}为递增的等差数列,其中,且成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设记数列{bn}的前n项和为Tn,求使得成立的m的最小正整数.
参考答案:
(1);(2)2.
【分析】
(1)利用待定系数法,设出首项和公差,依照题意列两个方程,即可求出通项公式;
(2)由,容易想到裂项相消法求的前n项和为,然后,恒成立问题最值法求出m的最小正整数.
【详解】(1)在等差数列中,设公差为d≠0,
由题意,得,
解得.
∴an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1;
(2)由(1)知,an=2n﹣1.
则=,
∴Tn==.
∵Tn+1﹣Tn==>0,
∴{Tn}单调递增,而,
∴要使成立,则,得m,
又m∈Z,则使得成立的m的最小正整数为2.
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的基本性质和定义,待定系数法求通项公式,裂项相消求数列的前n项和,以及恒成立问题的一般解法,意在考查学生综合运用知识的能力。
22. 写出下列命题的否定,并判断真假.
(1)正方形都是菱形;
(2)?x∈R,使4x-3>x;
(3)?x∈R,有x+1=2x;
(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集.
参考答案:
解:(1)命题的否定:正方形不都是菱形,是假命题.
(2)命题的否定:?x∈R,有4x-3≤x.因为当x=2时,4×2-3=5>2,所以“?x∈R,有4x-3≤x”是假命题.
(3)命题的否定:?x∈R,使x+1≠2x,因为当x=2时,x+1=2+1=3≠2×2,所以“?x∈R,使x+1≠2x”是真命题.
(4)命题的否定:集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集,是假命题.
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