2022-2023学年广东省惠州市艺园中学高一数学理月考试卷含解析

2022-2023学年广东省惠州市艺园中学高一数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在边长为1的正三角形ABC中，设，，则?=（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】根据向量加法及条件便有：，，由条件可得到三向量的长度及其夹角，从而进行数量积的运算即可． 【解答】解：如图，根据条件： = ===． 故选A． 【点评】考查向量加法的几何意义，向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，注意正确确定向量的夹角． 2. 双曲线﹣=1的实轴长、虚轴长、焦点坐标都正确的是（　　） A．2a=4，2b=6，F（±5，0） B．2a=6，2b=4，F（±1，0） C．2a=2，2b=4，F（0，±5） D．2a=2，2b=4，F（±，0） 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】确定双曲线的几何量，即可得出结论． 【解答】解：双曲线﹣=1中a=，b=2，c=， ∴2a=2，2b=4，F（±，0）， 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，是基础题，确定双曲线的几何量是关键． 3. 已知函数的定义域为，值域为[0,1]，则的取值范围为（   ） A．(0,3]         B．      C.           D． 参考答案： D 由题函数的定义域为，值域为， 所以当时，；当时，或； 所以当时，，当时，， 所以，故选D.   4. 圆A：x2+y2+4x+2y+1=0与圆B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．内含 参考答案： C 【考点】圆与圆的位置关系及其判定． 【专题】直线与圆． 【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系． 【解答】解：把圆x2+y2+4x+2y+1=0和x2+y2﹣2x﹣6y+1=0分别化为标准方程得： （x+2）2+（y+1）2=4，（x﹣1）2+（y﹣3）2=9， 故圆心坐标分别为（﹣2，﹣1）和（1，3），半径分别为R=2和r=3， ∵圆心之间的距离d==5，R+r=5， 则两圆的位置关系是相外切． 故选：C．． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，位置关系分别是：当0≤d＜R﹣r时，两圆内含；当d=R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离（其中d表示两圆心间的距离，R，r分别表示两圆的半径）． 5. 下图是由哪个平面图形旋转得到的                                               A             B             C            D 参考答案： A 6. 在下列各对应关系中，是从A到B的映射的有（    ） A．⑴⑶⑷ B．⑵⑶⑸ C．⑴⑵⑷⑸ D．⑵⑷⑸ 参考答案： D 略 7. 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（　　） A. B. C. D. 参考答案： C 设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y， 由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4， 它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2， 由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比， 由图可知所求的概率为：= 8. 设、是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是  （   ） A．若，，则     B．若，，则   C．若，，则     D．若，，则 参考答案： B 9. 已知地球的半径为，同步卫星在赤道上空的轨道上，它每24小时绕地球一周，所以它定位于赤道上某一点的上空。如果此点与北京在同一条子午线上，北京的纬度为，则在北京观察此卫星的仰角的余弦值为(    ) A．                     B． C．                            D． 参考答案： B 10. 已知a=tan1，b=tan2，c=tan3，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b 参考答案： B 【考点】正切函数的图象． 【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的图像与性质． 【分析】利用正切函数的单调性以及三角函数的诱导公式进行化简比较即可． 【解答】解：a=tan1＞1，b=tan2=﹣tan（π﹣2）＜0，c=tan3=﹣tan（π﹣3）＜0． ∵＞π﹣2＞π﹣3＞0， ∴tan（π﹣2）＞tan（π﹣3）＞0， ∴﹣tan（π﹣2）＜﹣tan（π﹣3）＜0． 综上可得，a＞0＞c＞b， 故选：B． 【点评】本题主要考查函数值的大小比较，考查诱导公式、正切函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的单调增区间为        ． 参考答案： 试题分析：，或，在时递减，在时递增，又单调递减，所以原函数单调减区间是． 考点：函数的单调性． 【名师点晴】本题考查复合函数的单调性，函数，，的值域为，且，则复合函数的单调性与的关系是：同增或同减时，是单调递增，当的单调性相反时，是单调递减．求函数的单调区间必先求函数的定义域，象本题由得或，然后在区间和上分别研究其单调性即可． 12. 命题“"x?R，x2-x+3>0”的否定是                     参考答案： $ x?R，x2-x+3≤0 13. 数列{an}满足，设Sn为数列的前n项和，则__________． 参考答案： 【分析】 先利用裂项求和法将数列的通项化简，并求出，由此可得出的值. 【详解】，. ， 因此，，故答案为：. 【点睛】本题考查裂项法求和，要理解裂项求和法对数列通项结构的要求，并熟悉裂项法求和的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.   14. 已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=　     　． 参考答案： 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系． 【分析】利用“1=sin2θ+cos2θ”，再将弦化切，利用条件，即可求得结论． 【解答】解：sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ== ∵tanθ=2 ∴= ∴sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ= 故答案为： 15. 函数在区间上的最小值为      ． 参考答案：   解析： 16. 数列{an}定义为，则_______. 参考答案： 【分析】 由已知得两式，相减可发现原数列的奇数项和偶数项均为等差数列，分类讨论分别算出奇数项的和和偶数项的和，再相加得原数列前的和 【详解】 两式相减得 数列的奇数项，偶数项分别成等差数列， ， ，， 数列的前2n项中所有奇数项的和为： ， 数列的前2n项中所有偶数项的和为： 【点睛】对于递推式为，其特点是隔项相减为常数，这种数列要分类讨论，分偶数项和奇数项来研究，特别注意偶数项的首项为，而奇数项的首项为. 17. （5分）函数f（x）=Asin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）的最大值为2，相邻两条对称轴的距离为，则f（x）=           ． 参考答案： 2sin（2x﹣） 考点： 正弦函数的图象． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 由函数的最大值求出A，由周期求出ω，可得函数的解析式． 解答： 由函数的最大值为2，可得A=2， 再根据函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，可得?=，求得ω=2， ∴函数f（x）=2sin（2x﹣）， 故答案为：2sin（2x﹣）． 点评： 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的图象和性质，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数为定义域为R的奇函数． （1）求实数a和b的值，并判断并证明函数f(x)在(1,+∞) 上的单调性； （2）已知，且不等式对任意的恒成立，求实数k的取值范围． 参考答案： （1）， ∴，  ------------------------------------2分 任取，且 --------------------------5分 ∵ ∴----------------------------------6分 （2）    -------------------------------------7分   ∵∴--------------------.8分 ----------------------------------------.10分 ∵，∴-----------------------------12分 19. 已知函数.    （Ⅰ）若为偶函数，求的值；    （Ⅱ）若在上有最小值9，求的值. 参考答案： 20. （1）求值： （2）化简： 参考答案： （1）     …….5分 （2）     …….10分 21. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，求此山的高度CD的长. 参考答案： 解：由题意得在 又AB=600，由正弦定理得： 在直角三角形DCB中 即山的高度为m.   22. 已知函数f（x）=． （1）判断f（x）的奇偶性； （2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明； （3）是否存在实数t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题． 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性； （2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明； （3）结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可． 【解答】解：（1）函数的定义域为（﹣∞，+∞）， 则f（﹣x）===﹣=﹣f（x）， 则f（x）为奇函数． （2）f（x）===1﹣， 则f（x）在R上的单调性递增， 证明：设x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣（1﹣）=（﹣）=， ∵x1＜x2， ∴＜， ∴﹣＜0， 即f（x1）﹣f（x2）＜0， 即f（x1）＜f（x2），即函数为增函数． （3）若存在实数t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立， 则f（x2﹣t2）≥﹣f（x﹣t）=f（t﹣x）． 即x2﹣t2≥t﹣x． 即x2+x≥t2+t恒成立， 设y=x2+x=（x+）2﹣， ∵x∈[1，2]， ∴y∈[2，6]， 即t2+t≤2， 即t2+