2022-2023学年广西壮族自治区南宁市横县第二高级中学高一数学理月考试题含解析

2022-2023学年广西壮族自治区南宁市横县第二高级中学高一数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞1，|φ|＜），y=f（x）的部分图象如图，则f（）=（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出ω，根据函数过（0.1），过（ ），确定φ的值，A的值，求出函数的解析式，然后求出 即可． 【解答】解：由题意可知T=，所以ω=2， 函数的解析式为：f（x）=Atan（2x+φ）， 因为函数过（0，1），所以，1=Atanφ…①， 函数过（），0=Atan（+φ）…②， 解得：φ=，A=1． ∴f（x）=tan（2x+）． 则f（）=tan（）= 故选B． 2. 若函数y=x2+ax+3为偶函数，则a=(     ) A．2 B．1 C．﹣1 D．0 参考答案： D 【考点】二次函数的性质． 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】可设y=f（x），从而根据f（x）为R上的偶函数便有f（﹣1）=f（1），这样即可求出a． 【解答】解：设y=f（x），f（x）为R上的偶函数； ∴f（﹣1）=f（1）； 即4﹣a=4+a； ∴a=0． 故选D． 【点评】考查偶函数的定义，本题也可根据f（﹣x）=f（x）求a． 3. 设函数，则下列结论错误的是（　　） A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数 C．D（x）不是周期函数 D．D（x）不是单调函数 参考答案： C 【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法． 【分析】由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断C结论错误，故选D 【解答】解：A显然正确； ∵=D（x）， ∴D（x）是偶函数， B正确； ∵D（x+1）==D（x）， ∴T=1为其一个周期， 故C错误； ∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0， 显然函数D（x）不是单调函数， 故D正确； 故选：C． 4. （3分）式子（m＞0）的计算结果为（） A． 1 B． m C． m D． m 参考答案： A 考点： 有理数指数幂的化简求值． 专题： 计算题． 分析： 根据指数幂的运算性质进行计算即可． 解答： 原式=（?）÷ =÷ =1， 故选：A． 点评： 本题考查了指数幂的运算性质，是一道基础题． 5. 设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是（    ） A．奇函数        B．偶函数      C．既是奇函数又是偶函数     D．非奇非偶函数 参考答案： A 略 6. 已知角的终边过点，且，那么等于（   ） （A）             （B） （C） （D） 参考答案： A 7. 函数的定义域是       　． 参考答案： 略 8. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（     ）   A．    B．   C．      D．     参考答案： 9. 如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（　　） A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台 D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 参考答案： C 【考点】简单空间图形的三视图． 【分析】三视图复原，判断4个几何体的形状特征，然后确定选项． 【解答】解：如图（1）三视图复原的几何体是放倒的三棱柱； （2）三视图复原的几何体是四棱锥；（ 3）三视图复原的几何体是圆锥； （4）三视图复原的几何体是圆台． 所以（1）（2）（3）（4）的顺序为：三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台． 故选C． 12.已知向量（其中为坐标原点），则向量与夹角的取值范围为（     ） A.         B.          C.         D. 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则sinθ﹣cosθ的值是　　． 参考答案： 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系． 【分析】将已知等式两边平方求出2sinθcosθ的值小于0，由θ的范围判断出sinθ＞0，cosθ＜0，即sinθ﹣cosθ＜0，再利用完全平方公式计算即可求出sinθ﹣cosθ的值． 【解答】解：将sinθ+cosθ=两边平方得：（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=， ∴2sinθcosθ=﹣＜0， ∵θ∈（0，π）， ∴θ∈（，π）， ∴sinθ＞0，cosθ＜0， 即sinθ﹣cosθ＞0， ∴（sinθ﹣cosθ）2=1﹣2sinθcosθ=， 则sinθ﹣cosθ=． 故答案为： 【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 12. 若，则=　　． 参考答案： ﹣ 【考点】GI：三角函数的化简求值． 【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵cos（﹣θ）=， ∴sin2（﹣θ）=， ∴原式=cos[π﹣（﹣θ）]﹣sin2（﹣θ）=﹣cos（﹣θ）﹣sin2（﹣θ）=﹣﹣=﹣． 故答案为：﹣． 【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 13. 设，则     参考答案： 3 14. 的值域是_______ ； 参考答案： 略 15. 若a＞0，a≠1，则函数y=ax﹣1+2的图象一定过点　　． 参考答案： （1，3）； 【考点】指数函数的图象与性质． 【分析】利用指数函数过定点的性质进行判断． 【解答】解：方法1：平移法 ∵y=ax过定点（0，1）， ∴将函数y=ax向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y=ax﹣1+2，此时函数过定点（1，3）， 方法2：解方程法 由x﹣1=0，解得x=1， 此时y=1+2=3， 即函数y=ax﹣1+2的图象一定过点（1，3）． 故答案为：（1，3） 【点评】本题主要考查指数函数过定点的性质，如果x的系数为1，则可以使用平移法，但x的系数不为1，则用解方程的方法比较简单． 16. 已知数列{an}中，a1=1，an=2an﹣1+2n（n≥2），则an=　　． 参考答案： （2n﹣1）?2n﹣1 【考点】8H：数列递推式． 【分析】an=2an﹣1+2n（n≥2），可得﹣=1，利用等差数列的通项公式即可得出． 【解答】解：∵an=2an﹣1+2n（n≥2）， ∴﹣=1， 可得数列是等差数列，公差为1，首项为． ∴==， 解得an=（2n﹣1）?2n﹣1．n=1时也成立． ∴an=（2n﹣1）?2n﹣1． 故答案为：（2n﹣1）?2n﹣1． 17. 方程4x－2x＋1－3＝0的解是________． 参考答案： log23 考查指数方程和二次方程的求解，以及函数与方程的思想和转化思想，关键是把指数方程转化为二次方程求解． 把原方程转化为(2x)2－2·2x－3＝0，化为(2x－3)(2x＋1)＝0， 所以2x＝3，或2x＝－1(舍去)，两边取对数解得x＝log23. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 函数的定义域为且对一切，都有， 当时，有. (1)求的值； (2)判断的单调性并证明； (3)若，解不等式． 参考答案： 解：(1)令     (2)令         因为 >0即 是增函数；     (3)由可得，原不等式等价于       解得 . 略 19. 已知，求下列各式的值：（1）；（2）. 参考答案： 解析：（1） ， ∴， 又由得，∴， 所以. （2）（法一） ， （法二） 而 ∴，       又由得，∴，所以. 20. 已知等比数列{an}的公比，前n项和为Sn，且满足.，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，求数列{bn}的前n项和Mn； （3）若，{cn}的前n项和为Tn，且对任意的满足，求实数的取值范围. 参考答案： (1) . (2) ；(3) 【分析】 （1）利用等比数列通项公式以及求和公式化简，得到，由，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，利用等差数列的定义可得，化简即可求出，从而得到数列的通项公式。 （2）由（1）可得，利用错位相减，求出数列的前项和即可； （3）结合（1）可得，利用裂项相消法，即可得到的前项和，求出的最大值，即可解得实数的取值范围 【详解】（1）由得，所以， 由，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项， 得， 即， 即，即， 因为，所以，所以. （2）由于，所以， 所以， ， 两式相减得，， 所以 （3）由知， ∴ ， ∴， 解得或. 即实数的取值范围是 【点睛】本题考查等比数列通项公式与前项和，等差数列的定义，以及利用错位相减法和裂项相消法求数列的前项和，考查学生的计算能力，有一定综合性。 21. （本题满分9分）（1）求 的值 （2）已知，且，求的值 参考答案： （1）          …………4分 （2）    又 又                                     …………9分   22. 已知函数f（x）=﹣ax2，其中a∈R． （1）若a=1时，求函数f（x）的零点； （2）当a＞0时，求证：函数f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点． 参考答案： 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】（1）当a=1时，函数f（x）=﹣x2，令﹣x2=0，可得函数f（x）的零点． （2）当a＞0时，若x＞0，由函数f（x）=0得：ax2+2ax﹣1=0，进而可证得f（x）在（0，+∞）上有唯一零点． 【解答】解：（1）当a=1时，函数f（x）=﹣x2， 令﹣x2=0，可得可得 x=0，或x2+2x﹣1=0， 解得 x=0，或x=﹣1﹣，或x=﹣1+． 综上可得，当a=1时，函数f（x）的零点为 x=0，或x=﹣1﹣，或x=﹣1+ （2）证明：∵当a＞0时，x＞0，由函数f（x）=0得：ax2+2ax﹣1=0， 记g（x）=ax2+2ax﹣1， 则g（x）的图象是开口朝上的抛物线， 由g（0）=﹣1＜0得： 函数g（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点． ∴函数f（x）在（0，+∞）上有唯一零点