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河南省商丘市会停镇第二中学高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 半径为的圆中,有一条弧长度为,则此弧所对的圆心角为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 下列对象能确定一个集合的是( )
A.第一象限内的所有点 B.某班所有成绩较好的学生
C.高一数学课本中的所有难题 D.所有接近1的数
参考答案:
A
【考点】集合的含义.
【分析】根据集合元素应满足确定性,分析四个答案中的元素是否满足确定性,即可得到答案.
【解答】解:A、平面直角坐标系第一象限内的所有点,具有确定性,可以构成集合,故本选项正确;
B、某班所有成绩较好的学生,不具有确定性,不可以构成集合,故本选项错误;
C、高一数学课本中的所有难题,不具有确定性,不可以构成集合,故本选项错误;
D、所有接近1的数,不具有确定性,不可以构成集合,故本选项错误;
故选:A.
3. 根据表格中的数据,可以断定方程的一个根所在的区间是( )
0
1
2
3
4
1
2.72
7.39
20.09
54.60
5
7
9
11
13
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 函数的定义域是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. c函数的最大值为( )
A. B.2 C. D.
参考答案:
B
略
6. 在数列{an}中,a1=4,an+1=2an﹣1,则a4等于( )
A.7 B.13 C.25 D.49
参考答案:
C
【考点】8H:数列递推式.
【分析】由an+1=2an﹣1,变形为:an+1﹣1=2(an﹣1),利用等比数列的通项公式即可得出.
【解答】解:由an+1=2an﹣1,变形为:an+1﹣1=2(an﹣1),
∴数列{an﹣1}是等比数列,公比为2,首项为3.
∴an﹣1=3×2n﹣1.即an=3×2n﹣1+1.
则a4=3×23+1=25.
故选:C.
7. (3分)已知函数f(x)=,x∈R,则f()=()
A. B. C. D.
参考答案:
D
考点: 函数的值.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 利用函数的性质求解.
解答: 函数f(x)=,x∈R,
∴f()==.
故选:D.
点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.
8. 一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图
如图(2)示,则该几何体的体积为
A.7 B. C. D.
参考答案:
D
略
9. 等比数列{an}的前n项和为,,则
A.-4 B. 6 C. -4或- D. -6或4
参考答案:
B
10. (5分)函数定义域为()
A. (0,2] B. (0,2) C. (0,1)∪(1,2] D. (﹣∞,2]
参考答案:
C
考点: 对数函数的值域与最值.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由函数的解析式可得,,即 ,解此不等式组,求得函数的定义域.
解答: 由函数的解析式可得,,即 ,
解得 0<x<1,1<x≤2,故函数的 定义域为{x|0<x≤2,且x≠1},
故选C.
点评: 本题主要考查求函数的定义域的方法,注意函数的定义域是函数各个部分定义域的交集,属于中档题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 经过点,且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线的方程是__________________________.
参考答案:
12. (3分)已知集合A={﹣2,3,4m﹣4},集合B={3,m2}.若B?A,则实数m= .
参考答案:
2
考点: 集合的包含关系判断及应用.
专题: 计算题.
分析: 根据子集的定义,可得若B?A,则B中元素均为A中元素,但m2=﹣2显然不成立,故m2=4m﹣4,解方程可得答案.
解答: ∵集合A={﹣2,3,4m﹣4},集合B={3,m2}.
若B?A,
则m2=4m﹣4,即m2﹣4m+4=(m﹣2)2=0
解得:m=2
故答案为:2
点评: 本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用,熟练掌握子集的定义是解答的关键.
13. 已知函数(其中,)的部分图象如图所示,则________,________.
参考答案:
2 ;
由图知函数的周期是,又知,,时,,故答案为(1);(2).
【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质,属于中档题.利用图象先求出周期,用周期公式求出,利用特殊点求出,正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键,由特殊点求时,可以先求出的所有的值,再根据题设中的条件,取特殊值即可.
14. 定义集合运算“*”:A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},称为A,B两个集合的“卡氏积”.若A={x|x2﹣2|x|≤0,x∈N},b={1,2,3},则(a×b)∩(b×a)= .
参考答案:
{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】根据新概念的定义,写出a×b与b×a,再根据交集的定义进行计算即可.
【解答】解:集合A={x|x2﹣2|x|≤0,x∈N}={x|0≤|x|≤2x∈N}={0,1,2},
b={1,2,3},
所以a×b={(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)},
b×a={(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)};
所以(a×b)∩(b×a)={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.
故答案为:{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.
15. 若实数x,y满足x>y>0,且,则x+y的最小值为 .
参考答案:
【考点】基本不等式.
【分析】实数x,y满足x>y>0,且+=1,可得x+y===,利用基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:实数x,y满足x>y>0,且+=1,
则x+y===≥=.
当且仅当y=,x=时取等号.
故答案为:.
16. 当且时,函数恒过定点 .
参考答案:
(2,3)
根据对数运算公式得到 ,过定点。
17. 函数的值域为 .
参考答案:
[﹣2,+∞)
【考点】对数函数的图象与性质.
【分析】令f(x)=﹣x2+2x+8,再用复合函数的单调性求解.
【解答】解:令f(x)=﹣x2+2x+8,
由f(x)>0,解得:﹣2<x<4,
而f(x)=﹣(x﹣1)2+9,
对称轴x=1,开口向下,
f(x)的最大值是9,
故值域是(0,9],
f(x)→0时,y→+∞,
f(x)=9时,y=﹣2,
故函数的值域为:[﹣2,+∞),
故答案为:[﹣2,+∞).
【点评】本题主要考查用复合函数的单调性来求函数的值域.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数).
(1)以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;
(2)已知,圆C上任意一点M,求面积的最大值.
参考答案:
(1);(2).
分析】
(1)圆C的参数方程为,通过三角函数的平方关系式消去参数θ,得到普通方程.通过x=ρcosθ,y=ρsinθ,得到圆C的极坐标方程;
(2)求出点M(x,y)到直线AB:x﹣y+2=0的距离,表示出△ABM的面积,通过两角和的正弦函数,结合绝对值的几何意义,求解△ABM面积的最大值.
【详解】(1)圆的参数方程为(为参数).
所以普通方程为,
∴圆的极坐标方程:.
(2)设点,
则点M到直线的距离为,
的面积,
所以面积的最大值为.
【点睛】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容.本小题考查考生的方程思想与数形结合思想,对运算求解能力有一定要求.
19. 为绘制海底地貌图,测量海底两点C, D间的距离,海底探测仪沿水平方向在A, B两点进行测量, A,B, C, D在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得 同时测得海里。
(1)求AD的长度;
(2)求C, D之间的距离.
参考答案:
(1)如图所示,在中
由正弦定理可得, , .
(2),
,
在中,由余弦定理得,
即(海里).
答: , , 间的距离为海里.
20. 设定义域为的函数
(Ⅰ)在平面直角坐标系内作出函数的图象,
并指出的单调区间(不需证明);
(Ⅱ)若方程有两个解,求出的取值范围(只需简单说明,不需严格证明).
(Ⅲ)设定义为的函数为奇函数,且当时,求的解析式.
参考答案:
解 (Ⅰ)如图. ………3分
单增区间:,
单减区间, ………5分
注意:写成开区间不扣分,写成中间的不得分.
(Ⅱ)在同一坐标系中同时作出图象,由图可知有两个解
须或即或 …8分
(漏一个扣1分)
(Ⅲ)当时,
,
因为为奇函数,所以,………10分
且,所以………12分
略
21. (本题10分)求下列不等式的解集:
(1); (2)。
参考答案:
(1);(2)。
22. 已知 ||=1,||=。
(1)若//,求·;
(2)若,的夹角为135°,求 |+| .
参考答案:
解析:(I)∵//,
①若,共向,则 ·=||?||=,
②若,异向,则·=-||?||=-。
(II)∵,的夹角为135°, ∴ ·=||?||?cos135°=-1,
∴|+|2=(+)2 =2+2+2·=1+2-2=1,
∴。
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