江苏省扬州市邗江中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析

江苏省扬州市邗江中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，则（    ）    A、      B、       C、     D、 参考答案： D 2. 同时满足两个条件：①定义域内是减函数   ②定义域内是奇函数的函数是（    ） A． B．          C．   D． = 参考答案： A 3. 已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=30°则△MBC、△MCA和△MAB的面积分别为，x，y；则的最小值为（   ） A．20 B．19 C．16 D．18 参考答案： D 4. 运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S为（     ） A.1008 B.2015 C.1007 D. 参考答案： D 【知识点】程序框图．L1    解析：执行程序框图，有 k=1，S=0 满足条件n＜2015，S=1，k=2； 满足条件n＜2015，S=﹣1，k=3； 满足条件n＜2015S=2，k=4； 满足条件n＜2015S=﹣2，k=5； 满足条件n＜2015S=3，k=6； 满足条件n＜2015S=﹣3，k=7； 满足条件n＜2015S=4，k=8； … 观察规律可知，有 满足条件n＜2015S=1006，k=2012； 满足条件n＜2015S=﹣1006，k=2013； 满足条件n＜2015S=1007，k=2014； 满足条件n＜2015，S=﹣1007，k=2015； 不满足条件n＜2015，输出S的值为﹣1007． 故选：D． 【思路点拨】程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1?k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得S． 5. 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（　　） A．12π B．48π C．4π D．32π 参考答案： C 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为，即可求出此四面体的外接球的体积． 【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为 所以四面体的外接球的体积=4． 故选：C． 6. 设复数z=﹣2+i（i是虚数单位），z的共轭复数为，则|（2+z）?|等于（　　） A． B．2 C．5 D． 参考答案： A 【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模． 【分析】把z代入（2+z）?，利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的计算公式计算． 【解答】解：∵z=﹣2+i， ∴（2+z）?=（2﹣2+i）?（﹣2﹣i）=i（﹣2﹣i）=1﹣2i， 则|（2+z）?|=． 故选：A． 7. 已知抛物线的准线与x轴交于A点，焦点是F，P是抛物线上的任意一点，当取得最小值时，点P恰好在以A，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（     ） A．         B．       C.         D． 参考答案： B 8. 若直线与幂函数的图象相切于点，则直线的方程为 A． B．   C．   D． 参考答案： B 略 9. 已知向量，，且，则m=　　 A. B. C. 0 D. 参考答案： A 【分析】 结合向量垂直满足数量积为0，代入坐标，建立等式，计算参数，即可。 【详解】，结合向量垂直判定，建立方程，可得，解得，故选A。 【点睛】考查了向量垂直的判定，考查了向量数量积坐标运算，难度中等。 10. 函数y=cos2(x﹣)的一条对称轴为（　　） A．x=﹣ B．x= C． x= D．x=﹣ 参考答案： D 【考点】弧长公式；二倍角的余弦． 【分析】利用倍角公式可得函数y=cos（2x﹣）+，由2x﹣=kπ，k∈Z，解得对称轴方程，k取值为﹣1即可得出． 【解答】解：∵==cos（2x﹣）+， ∴令2x﹣=kπ，k∈Z，解得对称轴方程为：x=+，k∈Z， ∴当k=﹣1时，一条对称轴为x=﹣． 故选：D． 　 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知参数方程，（参数），则该曲线上的点与定点的距离的最小值是             . 参考答案： 12. 已知函数在区间（）上存在零点，则n=          ． 参考答案： 5 函数是连续的单调增函数,  , , 所以函数的零点在之间,所以n=5   13. △ABC为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB上的高，P为线段OC的中点，则=     ． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用． 【分析】可分别以CB，CA两直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件容易求出CA=CB=，从而可确定图形上各点的坐标，从而得出向量的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可． 【解答】解：如图，分别以边CB，CA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系； 根据条件知CA=CB=； ∴A（0，），B（，0），O（），P（）； ∴； ∴． 故答案为：． 【点评】考查建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，建立完坐标系能够求出图形上点的坐标，从而求出向量的坐标，向量数量积的坐标运算． 14. 已知两个非零向量e1、e2不共线，若ke1+e2与e1+ke2也不共线，则实数k满足的条件是____________. 参考答案： 略 15. 已知实数满足,则的最大值为             ． 参考答案： 略 16. 直线的倾斜角为，则的值是___________ 参考答案： 3 略 17. 所在平面上一点满足，若的面积 为，则的面积为          ． 参考答案：        三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分13分） 已知椭圆：的左焦点，离心率为。 （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设，，过的直线交椭圆于两点，求的值。 参考答案： （Ⅰ）,由得,椭圆方程为 （Ⅱ）（理科若直线斜率不存在,则= 设直线, 由得   所以     故的最小值为,此时.   （文科将理科解答中的t变为1即可） 19. (本小题满分12分) 已知函数 （1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，设函数，若，求证 参考答案： （1）————————1分 ，即在上恒成立 设 ，时，单调减，单调增，所以时，有最大值————3分 ，所以——————————5分 （2）当时，, ,所以在上是增函数，上是减函数—————6分 因为，所以 即 同理——————————————————8分 所以 又因为当且仅当“”时，取等号——————————10分 又，——————————11分 所以 所以 所以：————————————12分 略 20. 已知：函数. (1) 若，且在上的最大值为，最小值为，令，求的表达式； (2) 在(1)的条件下，求证：； (3）设，证明对任意的，. 参考答案： （1）∵ 由得 ∴. 当，即时，,故； 当，即时，，故. ∴ (2）∵当时，，∴函数在上为减函数； 当时，，∴函数在上为增函数， ∴当时，取最小值，, 故. (3）∵当时，抛物线开口向上，对称轴为， ∴函数在上为增函数， (或由得，∴函数在上为增函数） 不妨设，由得 ∴ 令， ∵抛物线开口向上，对称轴为，且 ∴函数在上单调递增，∴对任意的， 有，即 21. （12分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． （1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 参考答案： 【考点】： 函数模型的选择与应用． 【专题】： 函数的性质及应用． 【分析】： （1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为（万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案； （2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案． 解：（1）∵每件商品售价为0.05万元， ∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元， ①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本， ∴=； ②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本， ∴=． 综合①②可得，． （2）由（1）可知，， ①当0＜x＜80时，=， ∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元； ②当x≥80时，=1200﹣200=1000， 当且仅当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元． 综合①②，由于950＜1000， ∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元． 【点评】： 本小题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题建立的数学模型为分段函数，对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解．属于中档题． 22. 如图，已知矩形ABCD的边AB=2 ,BC=,点E、F分别是边AB、CD的中点，沿AF、EC分别把三角形ADF和三角形EBC折起，使得点D和点B重合，记重合后的位置为点P。      (1)求证：平面PCE平面PCF；  (2)设M、N分别为棱PA、EC的中点，求直线MN与平面PAE所成角的正弦；  (3)求二面角A-PE-C的大小。 参考答案： (1)证明:                                             (4分)  (2)如图,建立坐标系,则  , 易知是平面PAE的法向量,  设MN与平面PAE 所成的角为                          (9分) (3) 易知是平面PAE的法向量,设平面PEC的法向量 则 所以       所以二面角A-PE-C的大小为                                      (14分)