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江苏省扬州市邗江中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,则( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
2. 同时满足两个条件:①定义域内是减函数 ②定义域内是奇函数的函数是( )
A. B. C. D. =
参考答案:
A
3. 已知M是△ABC内的一点,且,∠BAC=30°则△MBC、△MCA和△MAB的面积分别为,x,y;则的最小值为( )
A.20 B.19 C.16 D.18
参考答案:
D
4. 运行如右图所示的程序框图,则输出的结果S为( )
A.1008 B.2015
C.1007 D.
参考答案:
D
【知识点】程序框图.L1
解析:执行程序框图,有
k=1,S=0
满足条件n<2015,S=1,k=2;
满足条件n<2015,S=﹣1,k=3;
满足条件n<2015S=2,k=4;
满足条件n<2015S=﹣2,k=5;
满足条件n<2015S=3,k=6;
满足条件n<2015S=﹣3,k=7;
满足条件n<2015S=4,k=8;
…
观察规律可知,有
满足条件n<2015S=1006,k=2012;
满足条件n<2015S=﹣1006,k=2013;
满足条件n<2015S=1007,k=2014;
满足条件n<2015,S=﹣1007,k=2015;
不满足条件n<2015,输出S的值为﹣1007.
故选:D.
【思路点拨】程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+(﹣1)k﹣1?k,根据计算变量n判断程序终止运行时的k值,利用并项求和求得S.
5. 某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,侧视图是边长为2的正方形,则此四面体的外接球的体积是( )
A.12π B.48π C.4π D.32π
参考答案:
C
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图知该几何体为棱锥,其中SC⊥平面ABCD,此四面体的外接球为正方体的外接球,正方体的对角线长为2,外接球的半径为,即可求出此四面体的外接球的体积.
【解答】解:由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD,其中SC⊥平面ABCD,此四面体的外接球为正方体的外接球,正方体的对角线长为2,外接球的半径为
所以四面体的外接球的体积=4.
故选:C.
6. 设复数z=﹣2+i(i是虚数单位),z的共轭复数为,则|(2+z)?|等于( )
A. B.2 C.5 D.
参考答案:
A
【考点】复数代数形式的乘除运算;复数求模.
【分析】把z代入(2+z)?,利用复数代数形式的乘法运算化简,再由复数模的计算公式计算.
【解答】解:∵z=﹣2+i,
∴(2+z)?=(2﹣2+i)?(﹣2﹣i)=i(﹣2﹣i)=1﹣2i,
则|(2+z)?|=.
故选:A.
7. 已知抛物线的准线与x轴交于A点,焦点是F,P是抛物线上的任意一点,当取得最小值时,点P恰好在以A,F为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 若直线与幂函数的图象相切于点,则直线的方程为
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
9. 已知向量,,且,则m=
A. B. C. 0 D.
参考答案:
A
【分析】
结合向量垂直满足数量积为0,代入坐标,建立等式,计算参数,即可。
【详解】,结合向量垂直判定,建立方程,可得,解得,故选A。
【点睛】考查了向量垂直的判定,考查了向量数量积坐标运算,难度中等。
10. 函数y=cos2(x﹣)的一条对称轴为( )
A.x=﹣ B.x= C. x= D.x=﹣
参考答案:
D
【考点】弧长公式;二倍角的余弦.
【分析】利用倍角公式可得函数y=cos(2x﹣)+,由2x﹣=kπ,k∈Z,解得对称轴方程,k取值为﹣1即可得出.
【解答】解:∵==cos(2x﹣)+,
∴令2x﹣=kπ,k∈Z,解得对称轴方程为:x=+,k∈Z,
∴当k=﹣1时,一条对称轴为x=﹣.
故选:D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知参数方程,(参数),则该曲线上的点与定点的距离的最小值是 .
参考答案:
12. 已知函数在区间()上存在零点,则n= .
参考答案:
5
函数是连续的单调增函数,
, , 所以函数的零点在之间,所以n=5
13. △ABC为等腰直角三角形,OA=1,OC为斜边AB上的高,P为线段OC的中点,则= .
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】数形结合;向量法;平面向量及应用.
【分析】可分别以CB,CA两直线为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,根据条件容易求出CA=CB=,从而可确定图形上各点的坐标,从而得出向量的坐标,然后进行数量积的坐标运算即可.
【解答】解:如图,分别以边CB,CA所在直线为x,y轴,建立如图所示平面直角坐标系;
根据条件知CA=CB=;
∴A(0,),B(,0),O(),P();
∴;
∴.
故答案为:.
【点评】考查建立平面直角坐标系,利用向量坐标解决向量问题的方法,建立完坐标系能够求出图形上点的坐标,从而求出向量的坐标,向量数量积的坐标运算.
14. 已知两个非零向量e1、e2不共线,若ke1+e2与e1+ke2也不共线,则实数k满足的条件是____________.
参考答案:
略
15. 已知实数满足,则的最大值为 .
参考答案:
略
16. 直线的倾斜角为,则的值是___________
参考答案:
3
略
17. 所在平面上一点满足,若的面积
为,则的面积为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分13分)
已知椭圆:的左焦点,离心率为。
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设,,过的直线交椭圆于两点,求的值。
参考答案:
(Ⅰ),由得,椭圆方程为
(Ⅱ)(理科若直线斜率不存在,则=
设直线,
由得 所以
故的最小值为,此时.
(文科将理科解答中的t变为1即可)
19. (本小题满分12分) 已知函数
(1)若对任意的恒成立,求实数的取值范围;
(2)当时,设函数,若,求证
参考答案:
(1)————————1分
,即在上恒成立
设
,时,单调减,单调增,所以时,有最大值————3分
,所以——————————5分
(2)当时,,
,所以在上是增函数,上是减函数—————6分
因为,所以
即
同理——————————————————8分
所以
又因为当且仅当“”时,取等号——————————10分
又,——————————11分
所以
所以
所以:————————————12分
略
20. 已知:函数.
(1) 若,且在上的最大值为,最小值为,令,求的表达式;
(2) 在(1)的条件下,求证:;
(3)设,证明对任意的,.
参考答案:
(1)∵
由得 ∴.
当,即时,,故;
当,即时,,故.
∴
(2)∵当时,,∴函数在上为减函数;
当时,,∴函数在上为增函数,
∴当时,取最小值,,
故.
(3)∵当时,抛物线开口向上,对称轴为,
∴函数在上为增函数,
(或由得,∴函数在上为增函数)
不妨设,由得
∴
令,
∵抛物线开口向上,对称轴为,且
∴函数在上单调递增,∴对任意的,
有,即
21. (12分)某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,(万元).当年产量不小于80千件时,(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
参考答案:
【考点】: 函数模型的选择与应用.
【专题】: 函数的性质及应用.
【分析】: (1)分两种情况进行研究,当0<x<80时,投入成本为(万元),根据年利润=销售收入﹣成本,列出函数关系式,当x≥80时,投入成本为,根据年利润=销售收入﹣成本,列出函数关系式,最后写成分段函数的形式,从而得到答案;
(2)根据年利润的解析式,分段研究函数的最值,当0<x<80时,利用二次函数求最值,当x≥80时,利用基本不等式求最值,最后比较两个最值,即可得到答案.
解:(1)∵每件商品售价为0.05万元,
∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元,
①当0<x<80时,根据年利润=销售收入﹣成本,
∴=;
②当x≥80时,根据年利润=销售收入﹣成本,
∴=.
综合①②可得,.
(2)由(1)可知,,
①当0<x<80时,=,
∴当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950万元;
②当x≥80时,=1200﹣200=1000,
当且仅当,即x=100时,L(x)取得最大值L(100)=1000万元.
综合①②,由于950<1000,
∴当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元.
【点评】: 本小题主要考查函数模型的选择与应用.解决实际问题通常有四个步骤:(1)阅读理解,认真审题;(2)引进数学符号,建立数学模型;(3)利用数学的方法,得到数学结果;(4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立数学模型.本题建立的数学模型为分段函数,对于分段函数的问题,一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解.属于中档题.
22. 如图,已知矩形ABCD的边AB=2 ,BC=,点E、F分别是边AB、CD的中点,沿AF、EC分别把三角形ADF和三角形EBC折起,使得点D和点B重合,记重合后的位置为点P。
(1)求证:平面PCE平面PCF;
(2)设M、N分别为棱PA、EC的中点,求直线MN与平面PAE所成角的正弦;
(3)求二面角A-PE-C的大小。
参考答案:
(1)证明:
(4分)
(2)如图,建立坐标系,则
,
易知是平面PAE的法向量, 设MN与平面PAE 所成的角为
(9分)
(3) 易知是平面PAE的法向量,设平面PEC的法向量
则
所以
所以二面角A-PE-C的大小为 (14分)
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