北京密云县新城子中学2022年高二数学理上学期期末试题含解析

北京密云县新城子中学2022年高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设，则（     ） A.      B.      C.     D. 参考答案： A 2. 复数集是由实数集和虚数集构成的,而实数集又可分为有理数集和无理数集两部分;虚数集也可分为纯虚数集和非纯虚数集两部分,则可选用(    )来描述之.   A.流程图   B.结构图  C.流程图或结构图中的任意一个  D.流程图和结构图同时用 参考答案： B 3. 某人参加一次考试，4道题中答对3道题则为及格，已知他的解题正确率为，则他能及格的概率为（   ） A.              B.            C.              D. 参考答案： B 4. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 参考答案： D 5. 已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程是   A.          B.            C.           D. 参考答案： B 6. 已知集合,则（   ） A.         B.         C.         D. 参考答案： B 7. 设[x]表示不超过x的最大整数，对任意实数x，下面式子正确的是（    ） A． [x]= ｜x｜     B．[x]≥ C．[x]> D．[x]> 参考答案： D 8. 设双曲线的离心率为，且它的一条准线为，则此双曲线的方程为                                         （ 　　）           A．                                              B．   C．                   D．  参考答案： D 9. 已知中，，，的对边分别为三角形的重心为. ，则        (   ）                           参考答案： B 10. 设随机变量X～B（2，P），随机变量Y～B（3，P），若P（X≥1）=，则P（Y≥1）等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型． 【分析】根据随机变量服从X～B（2，P）和P（X≥1）对应的概率的值，写出概率的表示式，得到关于P的方程，解出P的值，再根据Y符合二项分布，利用概率公式得到结果． 【解答】解：∵随机变量服从X～B（2，P），∴P（X≥1）=1﹣P（X=0）=1﹣（1﹣P）2=，解得P=． ∴P（Y≥1）=1﹣P（Y=0）=1﹣（1﹣P）3=， 故选：A． 【点评】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，本题解题的关键是根据所给的X对应的概率值，列出方程，求出概率P的值． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数导数是                     . 参考答案： 12. 以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，mn）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以mn为分母组成不属于A1，A2，…，An﹣1的分数集合An，其所有元素和为an；则a1+a2+…+an=　　． 参考答案： 【考点】数列的应用；元素与集合关系的判断；进行简单的合情推理． 【分析】由题意，可根据所给的规则进行归纳，探究出规律，再利用数列的有关知识化简即可得出结论 【解答】解：由题意a1= a2==﹣（）=﹣a1， a3=﹣a2﹣a1， … an=﹣an﹣1﹣…﹣a2﹣a1， 由上推理可得a1+a2+…+an== 由等差数列的求和公式得a1+a2+…+an== 故答案为 13. 点P是曲上任意一点，则点P到直线的最小距离为___________ 参考答案： 略 14. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件　   　时，有MN∥平面B1BDD1． 参考答案： M∈FH 【考点】直线与平面平行的判定． 【分析】根据平面FHN∥平面B1BDD1，可知平面FHN内任意一条直线都与平面B1BDD1平行，而点M在四边形EFGH上及其内部运动，所以M满足条件M∈FH． 【解答】解：∵HN∥DB，FH∥D1D， ∴面FHN∥面B1BDD1． ∵点M在四边形EFGH上及其内部运动 故M∈FH． 故答案为M∈FH 15. ________. 参考答案： 16. 程序框图如下： 如果上述程序运行的结果为S＝132，那么判断框中应填入            参考答案：   或 17. 设常数，若的二项展开式中项的系数为-10，则=        ． 参考答案： -2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，已知抛物线y2=4x，过点P（2，0）作斜率分别为k1，k2的两条直线，与抛物线相交于点A、B和C、D，且M、N分别是AB、CD的中点 （1）若k1+k2=0，，求线段MN的长； （2）若k1?k2=﹣1，求△PMN面积的最小值． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（1）若k1+k2=0，线段AB和CD关于x轴对称，利用，确定坐标之间的关系，即可求线段MN的长； （2）若k1?k2=﹣1，两直线互相垂直，求出M，N的坐标，可得|PM|，|PN|，即可求△PMN面积的最小值． 【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，则 设直线AB的方程为y=k1（x﹣2），代入y2=4x，可得y2﹣y﹣8=0 ∴y1+y2=，y1y2=﹣8， ∵，∴y1=﹣2y2，∴y1=4，y2=﹣2， ∴yM=1， ∵k1+k2=0， ∴线段AB和CD关于x轴对称， ∴线段MN的长为2； （2）∵k1?k2=﹣1，∴两直线互相垂直， 设AB：x=my+2，则CD：x=﹣y+2， x=my+2代入y2=4x，得y2﹣4my﹣8=0， 则y1+y2=4m，y1y2=﹣8， ∴M（2m2+2，2m）． 同理N（+2，﹣）， ∴|PM|=2|m|?，|PN|=?，| ∴S△PMN=|PM||PN|=（m2+1）=2（|m|+）≥4， 当且仅当m=±1时取等号， ∴△PMN面积的最小值为4． 19. △ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若c2=b2+a2，求B． 参考答案： 【考点】解三角形． 【分析】（Ⅰ）先由正弦定理把题设等式中边转化成角的正弦，化简整理求得sinB和sinA的关系式，进而求得a和b的关系． （Ⅱ）把题设等式代入余弦定理中求得cosB的表达式，把（Ⅰ）中a和b的关系代入求得cosB的值，进而求得B． 【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA， 即sinB（sin2A+cos2A）=sinA ∴sinB=sinA， = （Ⅱ）由余弦定理和C2=b2+a2，得cosB= 由（Ⅰ）知b2=2a2，故c2=（2+）a2， 可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB= 所以B=45° 20. （12分）已知复数z满足(z＋)－3z·i＝1－3i，求复数z. 参考答案： 略 21. （本小题满分12分）设A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，满足OA⊥OB(O 为坐标原点). 求证：(1)A、B两点的横坐标之积为；         (2)直线AB经过一个定点. 参考答案： 19. 证明:(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2),则y12=2px1、y22=2px2.      ∵OA⊥OB,  ∴x1x2+y1y2=0,  y12y22=4p2x1x2=4p2·(-y1y2).   ∴y1y2=-4p2,从而x1x2=4p2也为定值.    (2)∵y12-y22=2p(x1-x2),      ∴=.   ∴直线AB的方程为y-y1= (x-x1),  即y=x-·+y1,   y=x+,  亦即y=(x-2p). ∴直线AB经过定点(2p,0). 22. 已知O为坐标原点，椭圆C：的左焦点是F1，离心率为，且C上任意一点P到F1的最短距离为. （1）求C的方程； （2）过点的直线l（不过原点）与C交于两点E、F，M为线段EF的中点. （i）证明：直线OM与l的斜率乘积为定值； （ii）求△OEF面积的最大值及此时l的斜率. 参考答案： （1）由题意得， 解得， ∴，， ∴椭圆的方程为. （2）（i）设直线为：，，，， 由题意得， ∴， ∴，即， 由韦达定理得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴直线与的斜率乘积为定值. （ii）由（i）可知： ， 又点到直线的距离， ∴的面积 ， 令，则， ∴，当且仅当时等号成立， 此时，且满足， ∴面积的最大值是，此时的斜率为.